2024年北师大版数学八（下）期中专项复习2 直角三角形

试卷更新日期：2024-03-28 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知一个三角形的三边长度如下，则能够判断这个三角形是直角三角形的是（）

A、 $1$ ， $1$ ， $1$ B、 $1$ ， $2$ ， $\sqrt{3}$ C、 $2$ ， $3$ ， $4$ D、 $6$ ， $8$ ， $9$

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2. 下列命题的逆命题是真命题的是（）

A、相等的角是对顶角 B、等边三角形是锐角三角形 C、若 $a = b$ ，则 $a^{2} = b^{2}$ D、全等三角形的面积相等

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3. 如图， $O A = 6$ ， $O B = 8$ ， $A B = 10$ ，点A在点O的北偏西 $40 °$ 方向，则点B在点O的（）

A、北偏东 $40 °$ B、北偏东 $50 °$ C、东偏北 $60 °$ D、东偏北 $70 °$

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4. 下列说法中正确的是（）．

A、在△ABC中，AB= $\sqrt{3}$ ， AC= $\sqrt{7}$ ， BC=1，△ABC是直角三角形 B、三个角都相等的三角形是等边三角形． C、若等腰三角形ABC的两边长a，b满足(a-3)²+|b-6|=0，则△ABC的周长为12 D、用反证法证明命题，“求证：等腰三角形的底角必为锐角”，第一步应先假设“等腰三角形的底角为锐角”

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5. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $B C$ 于点D， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E，且 $A B = 3 \sqrt{2}$ ，则 $Δ D E B$ 的周长为（）

A、 $9 c m$ B、 $3 \sqrt{2} c m$ C、 $6 \sqrt{2} c m$ D、 $10 c m$

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6. 满足下列条件的 $△ A B C$ 中，不是直角三角形的是（）

A、 $∠ B = ∠ A + ∠ C$ B、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 5 ： 12 ： 13$ C、 $a^{2} = b^{2} - c^{2}$ D、 $a ： b ： c = 5 ： 12 ： 13$

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7. 下列命题的逆命题是假命题的是（）

A、两直线平行，同位角相等 B、全等三角形的对应角相等 C、等边三角形三个角相等 D、直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和

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8. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 在△ABC中，三边长满足b²﹣a²=c² ，则互余的一对角是（）

A、∠A与∠B B、∠B与∠C C、∠A与∠C D、以上都不正确

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10. 如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是（）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上答案都不对

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二、填空题

11. 如图，已知 $∠ A C B = ∠ B D A = 90 °$ ，请你添加一个条件，使得 $△ A C B$ ≌ $△ B D A .$ 你添加的条件是： $.$ 写出一个符合题意的即可 $)$

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12. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=46°，则∠A的度数为．

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13. 命题“若 $a = b$ ，则 $- a = - b$ ”的逆命题是.

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14. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2．若将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，点A的对应点为A'，且点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为

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15. 如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD=3，DC=AB=5，AD=4，则AC=.

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三、解答题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12，求AC长．

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17. 如图，在四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，CD=6，AD=2 $\sqrt{5}$ ，若AC⊥BC，求证：AD∥BC．

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18. 如图，在边长为1的正方形网格上，有一个△ABC，它的各个顶点都在格子上，△ABC是直角三角形吗？为什么？

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四、综合题

19. 如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.

(1)、分别求出线段AB，CD的长度；

(2)、在图中画线段EF，使得EF的长为 $\sqrt{5}$ ，以AB，CD，EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.

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20. 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm．

(1)、求证：△ADC是直角三角形；

(2)、求BC的长

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21. 如图，点A，D，B，E在同一直线上， $A C = E F ， A D = B E ， ∠ C = ∠ F = 90 °$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≅ △ E D F$ ；

(2)、 $∠ A B C = 57 °$ ，求 $∠ A D F$ 的度数．

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22. 如图，已知等腰三角形 $A B C$ 的底边 $B C$ 长为10，点 $D$ 是 $A C$ 上的一点，其中 $B D = 8 ， C D = 6$ 。

(1)、求证： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、求 $A B$ 的长。

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23. 【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”.
如图，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内的一点，将 $△ A P C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转60°到 $△ A P^{^{'}} C^{^{'}}$ ，则可以构造出等边 $△ A P P^{^{'}}$ ，得 $A P = P P^{'}$ ， $C P = C P^{'}$ ，所以 $P A + P B + P C$ 的值转化为 $P P^{'} + P B + P^{'} C^{'}$ 的值，当 $B$ ， $P$ ， $P^{'}$ ， $C$ 四点共线时，线段 $B C$ 的长为所求的最小值，即点 $P$ 为 $△ A B C$ 的“费马点”.

(1)、【拓展应用】
如图1，点 $P$ 是等边 $△ A B C$ 内的一点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ，将 $△ P A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转60°得到 $△ A P^{^{'}} C^{^{'}}$ .
①若 $P A = 3$ ，则点 $P$ 与点 $P^{'}$ 之间的距离是 ▲ ；
②当 $P A = 3$ ， $P B = 5$ ， $P C = 4$ 时，求 $∠ A P^{'} C$ 的大小；

(2)、如图2，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内的一点，且 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $P A + P B + P C$ 的最小值.

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