【北师大版·数学】2024年中考二轮复习之特殊平行四边形

试卷更新日期：2024-03-28 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，将线段 $A B$ 水平向右平移a个单位长度得到线段 $E F$ ，若四边形 $E C D F$ 为菱形时，则a的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，连接EF，FG，CH和HE.若AD=2AB，则下列结论正确的是（）

A、EF=AB B、EF= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ AB C、EF= $\sqrt{3}$ AB D、EF= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ AB

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3. 任意一条线段EF的垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）

A、△EGF为等腰三角形 B、△EGH为等边三角形 C、四边形EGFH为菱形 D、△EHF为等腰三角形

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4. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） $S_{Δ AOB} = S_{四边形 DEOF}$ 中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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5. 如图，已知在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E$ ， $D F$ 分别是 $∠ O A D$ 与 $∠ O D C$ 的平分线， $A E$ 的延长线与 $D F$ 相交于点 $G$ ，则下列结论：① $A G ⊥ D F$ ；② $E F // A B$ ；③ $A B = A F$ ；④ $A B = 2 E F$ ．其中正确的结论是（）

A、①② B、③④ C、①②③ D、①②③④

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6. 如图，在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，MN=2，设AM=x，在下列关于△PMN是等腰三角形和对应P点个数的说法中，
①当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；

②当P点有8个时，x=2 $\sqrt{2}$ ﹣2；

③当△PMN是等边三角形时，P点有4个；

④当0＜x＜4 $\sqrt{2}$ ﹣2时，P点最多有9个．

其中结论正确是（　　）

A、①② B、①③ C、②③ D、③④

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7. 下列命题中真命题是（）

A、有一组对边平行的四边形是平行四边形 B、有一个角为90°的四边形为矩形 C、（3，﹣2）关于原点的对称点为（﹣3，2） D、有两边和一角相等的两个三角形全等

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8. 如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠后，点C落在点F处，再将其打开、展平，得折痕DE．连接CF、BF、EF，延长BF交AD于点G．则下列结论：①BG＝DE；②CF⊥BG；③sin∠DFG＝ $\frac{1}{2}$ ；④S_△DFG＝ $\frac{12}{5}$ ，其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 下列说法中正确的是（）

A、8的立方根是2 B、函数y= $\frac{1}{x - 1}$ 的自变量x的取值范围是x>1 C、同位角相等 D、两条对角线互相垂直的四边形是菱形

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10. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线距离之和PE+PF是（）

A、4.8 B、5 C、6 D、7.2

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二、填空题

11. 如图，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=5，则BD的长为。

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12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是.

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13. 菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为cm² ．

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14. 如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S_△FAB：S_{四边形CBFG}=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD²=FQ•AC，其中正确的结论的个数是．

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15. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = \frac{1}{2} B C = a$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上运动（不与点 $A$ ， $C$ 重合），以 $B D$ 为边作正方形 $B D E F$ ，使点 $A$ 在正方形 $B D E F$ 内，连接 $E C$ ，则下列结论：
① $Δ B C D ≅ Δ E C D$ ；②当 $C D = 2 A D$ 时， $∠ A D E = 30 °$ ；

③点 $F$ 到直线 $A B$ 的距离为 $a$ ；④ $Δ C D E$ 面积的最大值是 $\frac{3}{8} a^{2}$ .

其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

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三、作图题

16. 如图， $Δ A B D$ 中， $∠ A B D = ∠ A D B$ ．

(1)、作点 $A$ 关于 $B D$ 的对称点 $C$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）所作的图中，连接 $B C$ ， $D C$ ，连接 $A C$ ，交 $B D$ 于点 $O$ ．
①求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

②取 $B C$ 的中点 $E$ ，连接 $O E$ ，若 $O E = \frac{13}{2}$ ， $B D = 10$ ，求点 $E$ 到 $A D$ 的距离．

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四、解答题

17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，BE∥CD，CE∥AB．试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．

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18. 如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB的度数.

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19. 已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．

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五、综合题

20. 如图，线段AD是△ABC的角平分线.

(1)、尺规作图：作线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F：（保留痕迹，不写作法）

(2)、在（1）所作的图中，连接DE，DF，求证：四边形AEDF是菱形.

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21. 如图

(1)、如图1，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，AE∥BD，DE∥AC，则四边形AODE是何种特殊四边形？（请直接写出）

(2)、如图2，已知四边形ABCD是菱形，DF∥AC，CF∥DB，求证：四边形DOCF是矩形。

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22. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、若AB＝ $\sqrt{5}$ ．OE＝2，求线段CE的长．

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23.
如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2 $\sqrt{3}$ ，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．

(1)、填空：点B的坐标为；

(2)、是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

(3)、①求证： $\frac{D E}{D B}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；
②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．

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