【北师大版·数学】2024年中考二轮复习之图形的变化

试卷更新日期：2024-03-28 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（）

A、黄金分割数 B、平均数 C、众数 D、中位数

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2. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ A C$ ，交 $A D$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B D$ ，垂足为 $F$ ，则 $O E + E F$ 的值为（）

A、 $\frac{48}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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3.
如图，已知E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（　　）

A、（2，1） B、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ） C、（2，﹣1） D、（2，﹣ $\frac{1}{2}$ ）

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4. 如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C^' ，以下说法中错误的是（）

A、AO：AA^'=1：2 B、点C，O，C’在同一直线上 C、S_△ABC：S_△A'B'C'=1：4 D、BC∥B'C^'

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5. 已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论：

①△BCE≌△ACF②△CEF为正三角形③∠AGE=∠BEC④若AF=1，则EG=3FG正确的有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）

A、EH=HG B、四边形EFGH是平行四边形 C、AC⊥BD D、 $Δ A B O$ 的面积是 $Δ E F O$ 的面积的2倍

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7. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底（点O）20米的点A处，沿AO所在直线行走12米到达点B时，小明身影长度（）

A、变长2.5米 B、变短2米 C、变短2.5米 D、变短3米

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8. 下列命题中，真命题是（）

A、一个角相等，两边成比例的两个三角形相似 B、周长相等的两个矩形对角线相等 C、相似多边形都是位似多边形 D、一元二次方程 $x^{2} - 5 x = 3$ 的常数项为-3

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9. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、6 D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 如图，在 $△ A O B$ 中， $A$ ， $B$ 两点在 $x$ 轴的上方，以点 $O$ 为位似中心，在 $x$ 轴的下方按 $1 ： 2$ 的相似比作 $△ A O B$ 的位似图形 $△ A^{'} O B^{'}$ ．设点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标是 $(4 ， - 2)$ ，则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(2 ， - 1)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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二、填空题

11. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．

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12. 在某一时刻测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为m.

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13. 如图，四边形OABC中，AB∥OC，边OA在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点B在第一象限内，点D为AB的中点，CD与OB相交于点E，若△BDE、△OCE的面积分别为1和9，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象经过点B，则k=.

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，点D为 $B C$ 中点， $∠ C = 2 ∠ B A D$ ，则 $\frac{A D}{A C}$ 的值为．

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15. 如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°， $\tan ∠ A C B = \frac{1}{2} ， \frac{B O}{O D} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ C B D}}$ = ．

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三、作图题

16. 在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 的位置如图所示．
( 1 )画出与 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．
( 2 )以原点O为位似中心，在第四象限内作出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，且 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $△ A B C$ 的相似比为 $2 ： 1$ ．

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17. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 各顶点的坐标分别是 $A (4 ， 8) ， B (4 ， 4) ， C (10 ， 4)$ ， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于原点O位似， $A ， B ， C$ 的对应点分别为 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ ，其中 $B_{1}$ 的坐标是 $(2 ， 2)$ ．

(1)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A B C$ 的相似比是；

(2)、请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、 $B C$ 边上有一点 $M (a ， b)$ ，在 $B_{1} C_{1}$ 边上与点M对应点的坐标是；

(4)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积是．

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四、解答题

18. 如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，沿AE将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在BC边上．

(1)、求证：△ABF∽△FCE；

(2)、若AB＝8cm ， tan∠DAE＝ $\frac{1}{2}$ ，求AD的长．

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19. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F．

(1)、在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： ▲ ，使得OE＝OF，并说明理由；

(2)、若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的长．

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五、实践探究题

20. 已知点E是正方形ABCD内部一点，且∠BEC＝90°．

(1)、【初步探究】
如图1，延长CE交AD于点P．求证：△BEC∽△CDP；

(2)、【深入探究】
如图2，连接DE并延长交BC于点F，当点F是BC的中点时，求 $\frac{C E}{B E}$ 的值；

(3)、【延伸探究】
连接DE并延长交BC于点F，DF把∠BEC分成两个角，当这两个角的度数之比为1：2时，请直接写出 $\frac{C E}{B E}$ 的值．

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21. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：

(1)、【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE ，过点E作EF⊥DE交BC边于点F ，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A'处，当∠BEF＝25°，则∠FEA'＝°．

(2)、【特例探究】如图2，连接DF ，当点A'恰好落在DF上时，求证：AE＝2A'F ．

(3)、【深入探究】如图3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD ，且AD＝mAB ，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．

(4)、【拓展探究】如图4，若把正方形ABCD改成菱形ABCD ，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．

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六、综合题

22. 如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．

(1)、求证：CE是⊙O的切线；

(2)、若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半径．

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23. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是对角线 $A C$ 上的一点，且 $A E = \frac{1}{n} A C (n > 2)$ ，将线段 $A E$ 绕着点 $E$ 顺时针旋转至 $E F$ ，记旋转角为 $α (0 < α \leq 180 °)$ ，连接 $A F$ 、 $C F$ ，并以 $C F$ 为斜边在其上方作 $△ C F G ∽ △ C A D$ ，连接 $D G$ ．

(1)、特例探究：如图1，当 $n = 3$ ， $α = 180 °$ 时，线段 $A F$ 与 $D G$ 的数量关系为；

(2)、问题探究：如图2所示，在旋转的过程中，
①（1）中的结论是否依然成立，若成立，请说明理由；
②当 $n = \frac{8}{3}$ ， $∠ E F C = 90 °$ 时，若 $A B = 4 \sqrt{2}$ ，求 $D G$ 的长度；

(3)、拓展提升：若正方形 $A B C D$ 改为矩形 $A B C D$ ，且 $\frac{A B}{A D} = \frac{1}{2}$ ，其它条件不变，在旋转的过程中，当 $A$ 、 $F$ 、 $G$ 三点共线时，如图3所示，若 $n = 4$ ， $C G = m$ ，直接写出 $D G$ 的长度．（用含 $m$ 的式子表示）

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