北师大版数学中考仿真模拟试题（一）

试卷更新日期：2024-03-28 类型：中考模拟

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一、选择题（每题4分，共40分）

1. 杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（）

A、 $8.8 \times 1 0^{4}$ B、 $8.08 \times 1 0^{4}$ C、 $8.8 \times 1 0^{5}$ D、 $8.08 \times 1 0^{5}$

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2. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（）

A、圆柱 B、圆锥 C、长方体 D、三棱柱

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3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = a x + b (a \neq 0)$ 与 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论错误的是（）

A、 $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而增大 B、 $b < n$ C、当 $x < 2$ 时， $y_{1} > y_{2}$ D、关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} a x - y = - b \\ m x - y = - n \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$

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4. 下列计算结果正确的是（）

A、 $3 a + 2 a = 5 a$ B、 $3 a - 2 a = 1$ C、 $3 a \cdot 2 a = 6 a$ D、 $(3 a) \div (2 a) = \frac{3}{2} a$

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5. 如图，直线 $m ∥ n$ ， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ B = 90 °$ ，点C在直线n上．若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、60° B、50° C、45° D、40°

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6. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积 $S = N + \frac{1}{2} L - 1$ ，其中 $N ， L$ 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 $A (0 ， 30)$ ， $B (20 ， 10) ， O (0 ， 0)$ ，则 $△ A B O$ 内部的格点个数是（）

A、266 B、270 C、271 D、285

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7. 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数
6
7
10
7
课外书数量（本）
6
7
9
12
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　）

A、8，9 B、10，9 C、7，12 D、9，9

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8. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A (2 ， 3) ， B (m ， - 2)$ ，则不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解是（）

A、 $- 3 < x < 0$ 或 $x > 2$ B、 $x < - 3$ 或 $0 < x < 2$ C、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 2$ D、 $- 3 < x < 0$ 或 $x > 3$

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9. 如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S_△_DEF：S_△_ABF=4：25，则DE：EC=（）

A、2：5 B、2：3 C、3：5 D、3：2

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10. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（）

A、 $\frac{500}{x} = \frac{800}{x + 60}$ B、 $\frac{500}{x} = \frac{800}{x - 60}$ C、 $\frac{500}{x + 60} = \frac{800}{x}$ D、 $\frac{500}{x - 60} = \frac{800}{x}$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 分解因式： $a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} =$ ．

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12. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上， $A E$ 与 $B F$ 相交于点 $G$ ，若 $B E = C F = 5$ ，则 $B G$ 的长为．

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14. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若 $x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = 1$ ，则实数 $k =$ ．

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15. 德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返 $10 k m$ （单程 $5 k m$ ）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（ $k m$ ）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 $k m$ ．

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16. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 $(- 2 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ .对于下列结论：① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a + b + c = 0$ ；④ $a m^{2} + b m < \frac{1}{4} (a - 2 b)$ （其中 $m \neq - \frac{1}{2}$ ）；⑤若 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ 均在该函数图象上，且 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ .其中正确结论的个数共有个.

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三、解答题（共9题，共86分）

17.

(1)、计算： $| \sqrt{5} - 3 | + (\frac{1}{2})^{- 1} - \sqrt{20} + \sqrt{3} c o s 30 °$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} - 3 (x - 2) \geq 4 - x \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 \end{array}$ ．

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18. 今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，座板 $C D$ 与地面 $M N$ 平行， $△ E B C$ 是等腰三角形且 $B C = C E$ ， $∠ F B A = 114.2 °$ ，靠背 $F C = 57 c m$ ，支架 $A N = 43 c m$ ，扶手的一部分 $B E = 16.4 c m$ ．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端 $F$ 点距地面（ $M N$ ）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据： $s i n 65.8 ° = 0.91$ ， $c o s 65.8 ° = 0.41$ ， $t a n 65.8 ° = 2.23$ ）

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19. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E ， F分别在 $A B$ ， $C D$ 的延长线上，且 $B E = D F$ ，连接 $E F$ 与 $A C$ 交于点M ，连接 $A F$ ， $C E$ .

(1)、求证： $△ A E M ≌ △ C F M$ ；

(2)、若 $A C ⊥ E F$ ， $A F = 3 \sqrt{2}$ ，求四边形 $A E C F$ 的周长.

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20. 某景区旅游商店以 $20$ 元 $/ k g$ 的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于 $22$ 元 $/ g$ ，不高于 $45$ 元 $g$ ，经市场调查发现每天的销售量 $y (k g)$ 与销售价格 $x$ （元 $g$ ）之间的函数关系如图所示．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式：

(2)、当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】

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21. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动 $.$ 该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级： $A ($ 优秀 $)$ ， $B ($ 良好 $)$ ， $C ($ 一般 $)$ ， $D ($ 不合格 $)$ ，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：

(1)、这次抽样调查共抽取人，条形统计图中的 $m =$ ；

(2)、将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求 $C$ 等所在扇形圆心角的度数；

(3)、该校有 $1200$ 名学生，估计该校学生答题成绩为 $A$ 等和 $B$ 等共有多少人；

(4)、学校要从答题成绩为 $A$ 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．

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22. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 是 $⊙ O$ 的弦，点 $P$ 是 $⊙ O$ 外的一点， $P C ⊥ A B$ ，垂足为点 $C$ ， $P C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，连接 $P D$ ，且 $P D = P E$ ，延长 $P D$ 交 $B A$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D F = 4$ ， $P E = \frac{7}{2}$ ， $c o s ∠ P F C = \frac{4}{5}$ ，求 $B E$ 的长．

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23. 如图，直线 $y = k x + b$ 与双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 相交于点 $A (2 ， 3)$ ， $B (n ， 1)$ ．

(1)、求双曲线及直线对应的函数表达式；

(2)、将直线 $A B$ 向下平移至 $C D$ 处，其中点 $C (- 2 ， 0)$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴上．连接 $A D$ ， $B D$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、请直接写出关于 $x$ 的不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集．

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24. 正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ ， $C D$ 上运动（不与正方形顶点重合）．作射线 $A E$ ，将射线 $A E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转45°，交射线 $C D$ 于点 $F$ ． $∵$

(1)、如图，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $B E = D F$ ，则图中与线段 $A E$ 相等的线段是；

(2)、过点 $E$ 作 $E G ⊥ A F$ ，垂足为 $G$ ，连接 $D G$ ，求 $∠ G D C$ 的度数；

(3)、在（2）的条件下，当点 $F$ 在边 $C D$ 延长线上且 $D F = D G$ 时，求 $\frac{F G}{A G}$ 的值．

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25. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A$ 和点 $C (1 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0 ， 3)$ ．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、设二次函数图象的顶点为 $P$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，求四边形 $A O B P$ 的面积（请在图1中探索）；

(3)、二次函数图象的对称轴上是否存在点 $M$ ，使得 $△ A M B$ 是以 $A B$ 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图 $2$ 中探索）．

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人数	6	7	10	7
课外书数量（本）	6	7	9	12