人教版物理必修2同步练习：7.3 万有引力理论的成就（能力提升）

试卷更新日期：2024-03-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图甲所示，小明在地球表面进行了物体在竖直方向做直线运动的实验，弹簧原长时，小球由静止释放，在弹簧弹力与重力作用下，测得小球的加速度a与位移x的关系图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，地球的半径为R，万有引力常量为G，不考虑地球自转影响，忽略空气阻力，下列说法正确的是（）

A、小球的位移为x₀时，小球正好处于完全失重状态 B、小球的最大速度为 $\sqrt{a_{0} x_{0}}$ C、小球的质量为 $\frac{k x_{0}}{2 a_{0}}$ D、地球的密度为 $\frac{3 a_{0}}{2 π G R}$

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2. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课正式开讲，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行投课，若梦天实验舱绕地球的运动可视为匀速圆周运动，其轨道离地面的高度约为地球半径的 $\frac{1}{16}$ 倍。已知地球半径为 $R$ ，地球表面的重力加速度为 $g$ ，引力常量为 $G$ ，忽略地球自转的影响，则（　　）

A、漂浮在实验舱中的宇航员不受地球引力 B、实验舱绕地球运动的线速度大小约为 $\sqrt{\frac{16 g R}{17}}$ C、实验舱绕地球运动的向心加速度大小约为 ${(\frac{17}{16})}^{2} g$ D、地球的密度约为 $\frac{51 g}{64 π G R}$

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3. 为顺利完成月球背面的“嫦娥六号”探测器与地球间的通信，我国新研制的“鹊桥二号”中继通信卫星计划2024年上半年发射，并定位在地月拉格朗日 $L_{2}$ 点，位于拉格朗日点上的卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动。已知地、月中心间的距离约为 $L_{2}$ 点与月球中心距离的6倍，如图所示。则地球与月球质量的比值约为（）

A、36 B、49 C、83 D、216

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4. 如图所示，人造地球卫星发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道。先将卫星发射至近地圆轨道 $I$ ；然后在 $A$ 点 $($ 近地点 $)$ 点火加速，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ；在 $B$ 点 $($ 远地点 $)$ 再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ $.$ 下列说法正确的是（）

A、轨道Ⅱ上 $A$ 点的速度一定不超过第一宇宙速度 B、如果圆轨道Ⅲ是地球同步卫星轨道，则在该轨道上运行的任何卫星，其角速度和北京“鸟巢”的角速度相同 C、在赤道上顺着地球自转方向发射卫星可节省能量，所以卫星发射场必须建在赤道上 D、卫星在圆轨道 $I$ 上运行时的周期和向心加速度小于在圆轨道Ⅲ上的周期和向心加速度

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5. 宇宙间是否存在暗物质是物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命．为了探测暗物质，我国在2015年12月17日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星．已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t（t小于其运动周期），运动的弧长为L，与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，则下列说法中正确的是（）

A、“悟空”的质量为 $\frac{L^{3}}{G θ t^{2}}$ B、“悟空”的环绕周期为 $\frac{2 π t}{θ}$ C、“悟空”的线速度大于第一宇宙速度 D、“悟空”的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度

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6. 为了估测太阳的密度，某物理兴趣小组的同学在山顶通过一圆环水平观察早上初升的太阳，如图甲，调整圆环的位置，当太阳刚好和圆环的内圈重叠时，测出观测点到圆环的距离为L，如图乙，已知圆环内圈的半径为 $r < < L$ ），地球绕太阳公转的周期为T，引力常量为G，球的体积公式 $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ ，则太阳的密度可近似的表示为（　　）

A、 $\frac{3 π}{G T^{2}}$ B、 $\frac{G T^{2}}{3 π}$ C、 $\frac{3 π L^{3}}{G T^{2} r^{3}}$ D、 $\frac{3 π r^{3}}{G T^{2} L^{3}}$

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7. 我国计划在2030年前实现载人登月，如图所示为登月飞船飞行任务中的某个阶段。登月飞船绕月球做顺时针匀速圆周运动，轨道半径为r ，周期为T；月球在同一平面内绕地球做顺时针匀速圆周运动，公转周期为 $T_{0}$ 。已知引力常量为G ，下列说法正确的是（）

A、由已知信息可求出登月飞船的质量 B、由已知信息可求出地球的质量 C、由图示位置到地、月、飞船再次共线，所用时间为 $\frac{T_{0} T}{(T_{0} - T)}$ D、由图示位置到地、月、飞船再次共线，所用时间为 $\frac{T_{0} T}{2 (T_{0} - T)}$

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8. 2018年12月8日2时23分，我国成功发射“嫦娥四号”探测器，开启了月球探测的新旅程，“嫦娥四号”于2019年1月3日10时26分成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地。探测器上有一可认为光滑的滑梯固定在月球表面上，将滑梯与月块表面的夹角调为 $θ$ ，月球车从滑梯上由静止滑到底部的过程中下滑长度为L，所用时间为t，已知月球半径为R，则月球的第一宇宙速度为（）

A、 $\frac{1}{t} \sqrt{\frac{L R}{2 \sin θ}}$ B、 $\frac{1}{t} \sqrt{\frac{2 L R}{\sin θ}}$ C、 $\frac{1}{t} \sqrt{\frac{L R}{\sin θ}}$ D、 $\frac{1}{2 t} \sqrt{\frac{L R}{\sin θ}}$

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9. 在“天宫课堂”第四课中，神舟十六号航天员朱杨柱、桂海潮展示了在微重力环境下用“特制”球拍击打水球的现象，下列说法正确的是（）

A、在地面附近也可以获得微重力环境 B、在微重力环境下，水球的惯性减小 C、水球悬浮时所受浮力与地球引力平衡 D、物体在空间站中受地球引力比在地面小很多

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10. 已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4 倍. 若在月球和地球表面以相同的初速度竖直向上抛出物体，不计一切阻力，抛出点与最高点间的距离分别为h₁和h₂，则h₁：h₂最接近

A、1：1 B、1：6 C、9：4 D、5：1

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11. 已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s_月和s_地，则s_月：s_地约为（　　）

A、9：4 B、6：1 C、3：2 D、1：1

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12. 地球刚诞生时自转周期约为8小时，因为受到潮汐的影响，自转速度持续减小，现在地球自转周期为24小时。与此同时，在数年、数十年的时间内，由于地球板块的运动、地壳的收缩、海洋、大气等一些复杂因素以及人类活动的影响，地球的自转周期发生毫秒级别的微小波动。科学研究指出，若不考虑潮汐的影响，在地球的总质量不变的情况下，地球上的所有物质满足 $m_{1} ω^{2} r_{1} + m_{2} ω^{2} r_{2} + ⋯ + m_{i} ω^{2} r_{i} =$ 常量，其中 $m_{1} 、 m_{2} 、 ⋯ m_{i}$ 表示地球各部分的质量 $r_{1} 、 r_{2} 、 ⋯ r_{i}$ 为地球各部分到地轴的距离，ω为地球自转的角速度，如图所示。下列说法正确的是（）

A、潮汐的影响使地球自转的角速度变大 B、若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变小 C、若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，地球自转周期会变小 D、若仅考虑B处板块向赤道漂移，地球自转周期会变小

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13. 已知质量为m的卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为 $E_{p} = - \frac{G M m}{r}$ ，其中G为引力常量，M为地球质量。某质量为m的卫星原来在半径为 $R_{1}$ 的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过多次喷气，卫星变轨到低轨道做匀速圆周运动，半径为 $R_{2}$ ，不考虑空气阻力，此过程中卫星喷气做的功为（）

A、 $G M m (\frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{1}})$ B、 $G M m (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}})$ C、 $\frac{G M m}{2} (\frac{1}{R_{2}} - \frac{1}{R_{1}})$ D、 $\frac{G M m}{2} (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}})$

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14. 格林童话《杰克与豌豆》中的神奇豌豆一直向天空生长，长得很高很高。如果长在地球赤道上的这棵豆秧上有与赤道共面且随地球一起自转的三颗果实，其中果实2在地球同步轨道上。下列说法正确的是（）

A、果实3的向心加速度最大 B、果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行 C、果实2的运动周期大于果3的运动周期 D、果实1成熟自然脱离豆秧后，将做近心运动

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15. 2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲顺利送入空间站天和核心舱，正式开启6个月的太空之旅，已知天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，其轨道距离地面高度为h，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。若科研任务圆满完成后，三名宇航员搭乘返回舱返回地球表面的过程中，下列说法正确的是（）

A、天和核心舱在轨运行时的向心加速度大小为 $\frac{G M}{h^{2}}$ B、天和核心舱匀速圆周运动的周期为 $2 π \sqrt{\frac{(R + h)^{3}}{G M}}$ C、返回舱脱离空间站，开始返回时，需要点火减速，向后喷出灸热气体 D、返回舱进入大气层返回地球表面的过程中，空气阻力做负功，动能逐渐减小

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16. 如图所示，两星球相距为L，质量比为m_A∶m_B=1∶9，两星球半径远小于L。从星球A沿A、B连线向B以某一初速度发射一探测器。只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是（　　）

A、探测器的速度一直减小 B、探测器在距星球A为 $\frac{L}{4}$ 处加速度为零 C、若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零 D、若探测器能到达星球B，其速度一定等于发射时的初速度

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二、多项选择题

17. 2023年春节黄金档期中我国科幻电影《流浪地球2》再获口碑、票房双丰收，极具科幻特色的“太空电梯”设定吸引了众多科幻爱好者研究的兴趣。太空电梯是从地面基座连接距离地球表面约 $36000 k m$ 静止轨道空间站的直立式电梯，若地球的半径近似为 $6400 k m$ ，下列关于太空电梯设定的说法正确的是（）

A、电梯轨道基座能建设在广州市 B、若发生意外，断裂在太空里的电梯部件将不会掉落到地球上 C、若电梯临时停在距离地表为 $18000 k m$ 的高空，其重力加速度只有地球表面的 $1 / 15$ D、登上静止轨道空间站的宇航员受到的万有引力约为地面的 $\frac{1}{44}$

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18. 已知地球半径为R ，月球半径为r ，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L。月球绕地球公转的周期为 $T_{1}$ ，地球自转的周期为 $T_{2}$ ，地球绕太阳公转周期为 $T_{3}$ ，假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G ，由以上条件可知（　　）

A、地球的密度为 $ρ = \frac{3 π L^{3}}{G T_{1}^{2} R^{3}}$ B、地球的质量为 $M_{地} = \frac{4 π^{2} L}{G T_{3}^{2}}$ C、月球运动的加速度为 $a = \frac{4 π^{2} L}{T_{1}^{2}}$ D、月球的质量为 $m_{月} = \frac{4 π^{2} L}{G T_{1}^{2}}$

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19. 海王星质量约为地球质量的16倍，第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的2倍。忽略行星自传，关于海王星的说法正确的是（）

A、半径约是地球半径的4倍 B、表面的重力加速度约等于地球表面的重力加速度 C、平均密度与地球的平均密度相同 D、受到太阳的引力约等于地球受太阳的引力

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20. 如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过 $P$ 点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为 $100 k m$ 的圆形轨道Ⅰ上运动，再次经过 $P$ 点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为 $Q$ 、高度为 $15 k m$ ，远地点为 $P$ 、高度为 $100 k m$ 的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是（）

A、“嫦娥三号”在距离月面高度为 $100 k m$ 的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化 B、“嫦娥三号”在距离月面高度为 $100 k m$ 的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期 C、“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过 $Q$ 点时的加速度一定大于经过 $P$ 点时的加速度 D、“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过 $Q$ 点时的速率可能小于经过 $P$ 点时的速率

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21. 有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则（　　）

A、在相同时间内a转过的弧长最长 B、b的向心加速度近似等于重力加速度g C、c在6h内转过的圆心角是 $\frac{π}{2}$ D、d的运动周期有可能是25h

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22. 2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星公转半径比地球大，火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（　　）

A、地球与火星的动能之比 B、地球与火星的公转周期之比 C、地球表面与火星表面重力加速度大小之比 D、地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比

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23. 用弹簧测力计分别在地球两极和赤道上测量一个物体的重力，物体的质量为 $m$ ，在两极时弹簧测力计的读数为 $F_{1}$ ，在地球赤道上时弹簧测力计的读数为 $F_{2}$ 。已知地球半径为 $R$ ，下列说法正确的是（）

A、 $F_{1} > F_{2}$ B、 $F_{1} < F_{2}$ C、地球的自转角速度为 $\sqrt{\frac{F_{1} + F_{2}}{m R}}$ D、地球的自转角速度为 $\sqrt{\frac{F_{1} - F_{2}}{m R}}$

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三、非选择题

24. 如图所示，当木星在绕日公转过程中运行到日、地连线延长线上时，会形成“木星冲日”现象。已知地球质量为M，半径为R，公转半径为r，地表重力加速度为g，公转周期为1年。假设木星质量是300M，半径是10R，公转半径是5r，不考虑木星和地球的自转，不计木星和地球间的引力， $\sqrt{5} \approx 2.4$ ，则求：

(1)、木星地表的重力加速度为多大？

(2)、木星冲日平均多少年出现一次？

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25. 万有引力定律清楚地向人们揭示，复杂运动隐藏着简洁的科学规律；它明确地向人们宣告，天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则；它可以计算两个质点间的万有引力，或球体之间的万有引力。已知地球的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。

(1)、不考虑地球的自转，求地球表面附近的重力加速度大小。

(2)、已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求深度为d的矿井底部的重力加速度大小。

(3)、电影《流浪地球》中的人们住在“地下城”。假设“地下城”建在半径为r的巨大空腔中，空腔与地球表面相切，如图所示。O和O′分别为地球和空腔的球心，地球表面上空某处P离地球表面的距离为H，空腔内另一处Q与球心O′的距离为L，P、Q、O′和O在同一直线上。对于质量为m的人，求
①在P处受到地球的万有引力大小；
②在Q处受到地球的万有引力大小。

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26. 牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题：

(1)、某质量为 $m$ 的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为 $r_{1}$ ，在远日点与太阳中心的距离为 $r_{2}$ 。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比；

(2)、实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动。设行星与太阳的距离为 $r$ ，请根据开普勒第三定律 $(\frac{r^{3}}{T^{2}} = k)$ 及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力 $F$ 与 $r$ 的平方成反比

(3)、我们知道，地球表面不同位置的重力加速度大小略有不同。若已知地球质量为 $M$ ，自转周期为 $T$ ，万有引力常量为 $G$ 。将地球视为半径为 $R$ 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在赤道地面附近重力加速度大小为 $g_{1}$ ，在北极地面附近重力加速度大小为 $g_{2}$ ，求比值 $\frac{g_{1}}{g_{2}}$ 的表达式。

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27. 在距离地球4.22光年以外的比邻星系，存在着一颗“超级地球”——比邻星b，环境与地球类似。已知比邻星b的半径R₁是地球半径R₂的2倍，比邻星b的质量M₁为地球质量M₂的 $\frac{1}{4}$ 倍。假定多年之后，科学家已经实现了星际航行，人类的足迹可以到达比邻星b。若在比邻星b上的科学家在比邻星b表面利用如图所示的装置研究小球的运动，光滑水平面OA与竖直面内的粗糙半圆形导轨在A点相接，半圆形导轨半径r=8m。一质量为m=1kg小球（可视为质点）将弹簧压缩至O点处由静止开始释放，在弹力的作用下，小球获得某一向右的速度后脱离弹簧，从轨道最低点A进入半圆形轨道，测得小球在A点对轨道的压力为重力的7倍，且小球恰好能够通过最高点B点，随后从最高点B脱离轨道后做平抛运动，最终与一斜面相碰于C点，C点与B点之间高度差h=5m。已知地球表面重力加速度g=10m/s² ，忽略星球自转影响，不计空气阻力。求：

(1)、比邻星b表面的重力加速度g₁；

(2)、小球从A点运动至B点过程中阻力做的功W_f；

(3)、小球从B点运动至C点所需的时间t及小球在C点处的动能E_k。

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28. 地球绕太阳公转的轨道近似看成圆形轨道，已知轨道半径为 $r = 1.5 \times 1 0^{11} m$ ，公转周期为 $1$ 年 $($ 约 $3.15 \times 1 0^{7} s)$ 。地球半径为 $R = 6.4 \times 1 0^{5} m$ ，地面重力加速度 $g$ . 取 $10 m / s^{2}$ 。已知万有引力常量 $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} / k g^{2}$ 。请根据上述数据，估算：

(1)、太阳的质量 $M ($ 结果保留两位有效数字 $)$ ；

(2)、地球的质量 $m ($ 结果保留两位有效数字 $)$ 。

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