新疆乌鲁木齐市经开区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A、4cm，5cm，9cm B、8cm，8cm，15cm C、5cm，5cm，10cm D、6cm，7cm，14cm

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2. 第 $24$ 届冬奥会于 $2022$ 年 $2$ 月 $20$ 日在世界首个“双奥之城” $— —$ 北京圆满落下帷幕．下面是从历届冬奥会的会徽中选取的部分图形，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $P （ m ， 2 ）$ 与点 $Q （ 3 ， n ）$ 关于 $y$ 轴对称，则 $m$ ， $n$ 的值是（）

A、 $- 3$ ， $2$ B、 $3$ ， $- 2$ C、 $- 3$ ， $- 2$ D、 $3$ ， $2$

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4. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）

A、七边形 B、八边形 C、九边形 D、十边形

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5. 下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{4} = a^{6}$ B、 $3 a^{3} \cdot 4 a^{2} = 12 a^{6}$ C、 $（ 2 a + b ）^{2} = 4 a^{2} + b^{2}$ D、 $（ - 2 a b^{2} ）^{3} = - 8 a^{3} b^{6}$

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6. 如图， $∠ B A C = 100 °$ ，若 $M P$ 和 $N Q$ 分别垂直平分 $A B$ 和 $A C$ ，则 $∠ P A Q$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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7. 把分式 $\frac{x}{2 x + y}$ 中的 $x$ 和 $y$ 均扩大 $3$ 倍，分式的值（）

A、不变 B、扩大 $3$ 倍 C、缩小 $3$ 倍 D、扩大 $9$ 倍

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8. 分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1} = 0$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\pm 1$ D、 $0$

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9. 如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S_△ABC=4cm² ，则S_阴影等于（）

A、2cm² B、1cm² C、 $\frac{1}{2}$ cm² D、 $\frac{1}{4}$ cm²

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

10. 生物学家发现一种病毒的长度约为 $0.00043 m m$ ，用科学记数法表示这个数为 $m m$ ．

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11. 分解因式： 3x² - 3 ＝．

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12. 要使分式 $\frac{3}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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13. 已知 $a^{m} = 2$ ， $a^{n} = 3$ （m，n为正整数），则 $a^{3 m + n} =$ .

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中 $. ∠ C = 90 °$ ， $A C = B C .$ 以点 $A$ 为圆心，以任意长为半径作弧交 $A B$ ， $A C$ 于 $D$ ， $E$ 两点；分别以点 $D$ ， $E$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $P$ ；作射线 $A P$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ A B$ 于点 $G$ ，若 $A B = 8 c m$ ，则 $△ B F G$ 的周长等于 $c m$ ．

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15. 如图，把长方形纸片 $A B C D$ 沿对角线折叠，设重叠部分为 $△ E B D$ ，那么下列说法： $① △ E B D$ 是等腰三角形， $E B = E D$ ； $②$ 折叠后 $∠ A B E$ 和 $∠ C' B D$ 一定相等： $③$ 折叠后得到的图形是轴对称图形： $④ △ E B A$ 和 $△ E D C'$ 一定是全等三角形，正确的数是 $（$ 填序号 $）$ ．

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三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 计算：

(1)、 $4 x^{2} y \cdot （ - x y^{3} ）^{2}$ ；

(2)、 $（ x + y - 3 ）（ x + y + 3 ）$ ．

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17. 解分式方程： $\frac{3}{4 - x} + 2 = \frac{1 - x}{x - 4}$ ．

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18. 先化简，再求值： $\frac{2 x}{x + 2} - \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4} \div \frac{x - 2}{x}$ ，其中 $x = 1$ ．

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19. 已知：如图， $A B / / D E$ ， $A B = D E$ ， $A F = D C .$ 求证： $∠ B = ∠ E$ ．

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A （ 1 ， 2 ）$ ， $B （ 3 ， 1 ）$ ， $C （ - 2 ， - 1 ）$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标 $. （$ 直接写答案 $）$

(3)、 $△ A B C$ 的面积等于．

(4)、在 $x$ 轴上作出点 $P$ ，使 $A P + B P$ 最小，不写作法，保留作图痕迹．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C . ∠ B A C = 120 °$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $E$ 是 $A C$ 的中点，连接 $D E$ ．

(1)、若 $A D = 3$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、求证： $△ A D E$ 是等边三角形．

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22. 列一元分式方程解应用题：
某公司计划购买 $A$ 、 $B$ 两种型号的机器人搬运材料 $.$ 已知 $A$ 型机器人比 $B$ 型机器人每小时多搬运 $30$ 千克材料，且 $A$ 型机器人搬运 $1000$ 千克材料所用的时间与 $B$ 型机器人搬运 $800$ 千克材料所用的时间相同 $.$ 求 $B$ 型机器人每小时搬运多少千克材料？

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23. 如图

(1)、【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图 $1$ ，是用长为 $a$ ，宽为 $b$ 的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分 $（$ 小正方形 $）$ 的面积，可以得到 $（ a + b ）^{2}$ 、 $（ a - b ）^{2}$ 、 $a b$ 三者之间的等量关系式：；

(2)、【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图 $2$ ，观察大正方体分割，可以得到等式： $（ a + b ）^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b （ a + b ）$ ．利用上面所得的结论解答下列问题：
①已知 $x + y = 6$ ， $x y = \frac{11}{4}$ ，求 $（ x - y ）^{2}$ 的值；
②已知 $a + b = 6$ ， $a b = 7$ ，求 $a^{3} + b^{3}$ 的值．

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