江西省南昌市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡上.

1. 如图，是由 $6$ 个棱长均为 $1$ 的正方体组成的几何体，它的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列事件是不可能事件的是（）

A、太阳从东方升起 B、三条线段组成一个三角形 C、 $| a | < 0$ （ $a$ 为实数） D、购买一张大乐透，中奖500万

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3. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ C A D = 70 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点E(−4，2)，F(−1，−1).以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E′的坐标为（）

A、(−8，4) B、(8，−4) C、(8，4)或(−8，−4) D、(−8，4)或(8，−4)

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5. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）.若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（）

A、2种 B、3种 C、4种 D、5种

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6. 用绘图软件绘制出函数 $y = \frac{a x}{{(x + b)}^{2}}$ 的图象，如图，则根据你学习函数图象的经验，下列对a、b大小的判断，正确的是（）

A、 $a > 0$ ， $b < 0$ B、 $a > 0$ ， $b > 0$ C、 $a < 0$ ， $b > 0$ D、 $a < 0$ ， $b < 0$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 已知 $A (1 ， - 2) 、 B (m ， n)$ 两点，若 $A 、 B$ 两点关于原点对称，则 $(m + n)^{2024} =$ ．

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8. 一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球个.

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9. “南昌之星”摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，摩天轮高160m（最高点到地面的距离）．如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小贤在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，则摩天轮的半径为m ．（结果保留根号）

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 边上一点，且 $A E = 2 D E$ ， $B D$ 与 $C E$ 相交于点 $F$ ，若 $△ D E F$ 的面积是 $3$ ，则 $△ B C F$ 的面积是．

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11. 如图，直角坐标系原点为 $R t △ A B C$ 斜边的中点， $∠ A C B = 90 °$ ， $A$ 点坐标为 $(- 5 ， 0)$ ，且 $t a n A = \frac{1}{3}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 经过点C，则k的值为．

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12. 如图，在半径为1的⊙O中，直线l为⊙O的切线，点A为切点，弦AB=1，点P在直线l上运动，若△PAB为等腰三角形，则线段OP的长为．

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三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13. 计算： ${(- 1)}^{2022} + | 1 - \sqrt{3} | - {(\sqrt{3} - 3)}^{0} + 2 s i n 30 °$

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14. 如图，l₁∥l₂∥l₃ ， AB＝5，DE＝4，EF＝8，求AC的长．

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15. 如图，在 $△ O A B$ 中， $O A = O B = 2$ ， $∠ A O B = 90 °$ ，将 $△ O A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转角 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到 $△ A^{'} O B^{'}$ ，连接 $A^{^{'}} A$ ， $A^{'} B$ ．

(1)、当 $α = 30 °$ 时，求 $A^{'} B$ 的长度；

(2)、当 $A^{'} A = A^{'} B$ 时，求 $α$ 的度数．

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16. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $($ $k$ $\neq 0$ ， $x$ $< 0)$ 的图象与直线 $A B$ 交于点 $C$ ， $A$ ， $B$ 两点分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴上， $B$ 为 $A C$ 的中点， $O A = O B = 1$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求直线 $A C$ 的表达式和 $c o s ∠ B O C$ 的值．

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17. 为了响应国家中小学生“课后服务”的政策．江西某学校结合学校实际课后情况开设了四门课程供学生选择．四门课程分别是A：快乐阅读；B：趣味数学；C：轻松英语；D：开心书法．学生需要从中选两门课程．

(1)、七年级学生小真第一次选择了课程A ，如果她从其他三门学科中再选择一门课程，则她抽到课程C的概率是；

(2)、七年级学生小美从四门课程中抽取两门课程进行学习，请用树状图法，求恰好选中B和D两门课程的概率．

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18. 如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

(1)、在图（1）中，画出 $△ A B C$ 的中线AE；

(2)、在图（2）中，画出 $△ A B C$ 的角平分线AF．

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四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

19. 盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．

(1)、从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是 $\frac{3}{8}$ ，写出表示x和y关系的表达式．

(2)、往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为 $\frac{1}{2}$ ，求x和y的值．

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20. 如图，直线 $y = x + 2$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ，与 $y$ 轴， $x$ 轴依次交于点B，点C．

(1)、当 $A B = B C$ 时，求 $k$ 的值；

(2)、判定 $A B$ 与 $B C$ 的比值能否与 $k$ 相等？若有，求线段 $A B$ 的长度；若没有，请说明理由．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 4$ ， $∠ C = 30 °$ ， $D$ 是 $B C$ 上的动点，以 $D$ 为圆心， $D C$ 的长为半径作圆交 $A C$ 于点 $E$ ， $F ， G$ 分别是 $A B ， A E$ 上的点，将 $△ A F G$ 沿 $F G$ 折叠，点 $A$ 与点 $E$ 恰好重合．

(1)、如图1，若 $C D = 8 \sqrt{3} - 12$ ，证明 $⊙ D$ 与直线 $A B$ 相切；

(2)、如图2，若 $⊙ D$ 经过点 $B$ ，连接 $E D$ ．
① $\overset{⌢}{B E}$ 的长是 ▲ ；
②判断四边形 $B F E D$ 的形状，并证明．

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五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

22. 图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架 $A B = A C = 19 c m$ ，托盘器外沿 $B D = C E = 3 c m$ ．支架 $A B ， A C$ 可绕点A转动， $B D ⊥ A B ， C E ⊥ A C$ ．经调研发现，当 $45 ° \leq ∠ B A C \leq 75 °$ 时，操作人员手势自然．
（参考数据 $s i n 25 ° \approx 0.42 ， c o s 25 ° \approx 0.9 ， t a n 25 ° \approx 0.49 ， s i n 39 ° \approx 0.63 ， c o s 39 ° \approx 0.77 ， t a n 39 ° \approx 0.84$ ， $\tan 9 ° \approx 0.18$ ）

(1)、当点D和点E重合时，求 $∠ B A C$ 的度数；

(2)、若一圆形盘盘口的直径为 $24 c m$ ，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然；

(3)、当 $∠ B A C = 50 °$ 时，请计算点A到 $D E$ 的距离．

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23. 如图

(1)、课本再现：如图1， $∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的一个外角，写出 $∠ A C D$ 与 $∠ A$ ， $∠ B$ 的数量关系

(2)、类比探究：如图2， $B C$ 是 $△ A C B$ 与 $△ E C B$ 的公共边， $∠ A C B = ∠ B C E = α$ ， $∠ A B E = 180 ° - α$ ．
① $∠ A C E$ 与 $∠ A B E$ 的数量关系是 ▲ ；
②求证 $B C^{2} = A C \cdot C E$

(3)、拓展应用：如图3，点D是正方形 $A B C O$ 内一点，且在以O 为圆心， $O A$ 为半径的圆弧上，若 $∠ A D B = 90 °$ ， $A B = \sqrt{5}$ ，直接写出线段 $D C$ 的长.

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六、解答题（本大题共1小题，共12分）

24. 如图
图1 图2 图3

(1)、【特例感知】如图 $1$ ，点 $C_{1}$ 是正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一点， $C_{1} B_{1} ⊥ A B$ 于点 $B_{1}$ ， $C_{1} D_{1} ⊥ A D$ 于点 $D_{1}$ .
①求证：四边形 $A B_{1} C {}_{1}D_{1}$ 是正方形；
② $B B_{1} ： C C_{1} ： D D_{1}$ = ▲ ；

(2)、【规律探究】将正方形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕点 $A$ 旋转得到图 $2$ ，连接 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ .
$B B_{1} ： C C_{1} ： D D_{1}$ 的比值是否会发生变化？说明理由；

(3)、【拓展应用】如图 $3$ ，在图 $2$ 的基础上，点 $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 分别是 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点；四边形 $A B_{2} C_{2} D_{2}$ 是否是正方形？说明理由.

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