江西省赣州市寻乌县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）

A、1，2，4 B、5，2，3 C、4，4，7 D、9，4，3

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2. 下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）

A、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ B、 $2 a^{3} b - 4 a^{2} b = 2 a^{2} b (a - 2)$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - 2 a - 3 = a (a - 2) - 3$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(π - 3.14)}^{0} = 0$ B、 $2 a^{2} \cdot a^{3} = 2 a^{6}$ C、 ${(- \frac{b^{2}}{2 a})}^{3} = - \frac{b^{6}}{8 a^{3}}$ D、 ${(- 3 x^{- 1} y^{3})}^{2} = - 6 x^{- 2} y^{6}$

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5. 如图，弹性小球从点 $P$ 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为 $Q$ ，第2次碰到矩形的边时的点为 $M$ ， ……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（）

A、点 $P$ B、点 $Q$ C、点 $M$ D、点 $N$

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6. 如图， $∠ A B C = ∠ A C B$ ， $B D$ ， $C D$ ， $A D$ 分别平分 $△ A B C$ 的内角 $∠ A B C$ ，外角 $∠ A C F$ ，外角 $∠ E A C$ ．以下结论：① $A D ∥ B C$ ；② $∠ A C B = 2 ∠ A D B$ ；③ $∠ B D C = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ；④ $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 都是等腰三角形．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

7. 国内最先进的芯片代工厂是中芯国际，目前快要达到量产 $7 n m$ 工艺芯片的技术，而华为下一代的芯片采用的是 $5 n m$ 水平， $5 n m = 0.000000005 m$ ，数据 $0.000000005$ 用科学记数法表示为．

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8. 若分式 $\frac{| x | - 1}{x + 1}$ 的值为零，则x的值为．

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9. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x}{x - 4} = \frac{k}{x - 4}$ 会产生增根，则k的值为.

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10. 若 $A (1 + m ， 1 - n)$ 与点 $B (- 3 ， 2)$ 关于 $x$ 轴对称，则 ${(m + n)}^{2023}$ 的值是．

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11. 若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章 $A B C D E$ 和正六边形模具 $A B M N F G$ 按如图所示的位置摆放，连接 $G E$ 并延长至点 $P$ ，则 $∠ D E P =$ ．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A C B = 42 °$ ， D为边BC延长线上一点，BF平分 $∠ A B C$ ， E为射线BF上一点．若直线CE垂直于 $△ A B C$ 的一边，则 $∠ B E C$ 的度数为．

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三、解答题

13. 因式分解：

(1)、 $- x^{3} - 2 x^{2} - x$

(2)、 $x^{2} (a - 1) + y^{2} (1 - a)$

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14. 先化简，后求值： $[{(2 a - b)}^{2} - (b + 2 a) (b - 2 a)] \div (4 a)$ ，其中 $a = - \frac{1}{2} ， b = 2$ ；

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15. 如图， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ， $∠ 1 = 2 5^{∘}$ ， $∠ 2 = 3 0^{∘}$ ，连接 $B E$ ，点 $D$ 恰好在 $B E$ 上，求 $∠ 3$ 的度数．

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16. 先化简： $(\frac{2 m}{m + 2} - \frac{m}{m - 2}) \div \frac{m}{m^{2} - 4}$ ，然后从 $- 3 < m < 1$ 的范围内选取一个合适的整数作为m的值代入求值．

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17. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶 $A (0 ， 1)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $C (1 ， 4)$ 均在小正方形网格的格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、在第二象限内的格点上找一点 $D$ ，连接 $A D$ ， $D B$ ，使得 $∠ A D B = 4 5^{∘}$ ，并写出点 $D$ 的坐标．

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18. 如图，点 $P$ ， $M$ ， $N$ 分别在等边 $Δ A B C$ 的各边上，且 $M P ⊥ A B$ 于点 $P$ ， $M N ⊥ B C$ 于点 $M$ ， $P N ⊥ A C$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $Δ P M N$ 是等边三角形；

(2)、若 $A B = 18 c m$ ，求 $C M$ 的长．

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19. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x - a}{x - 1} - \frac{1}{1 - x} = 3$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求方程的解；

(2)、如果关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x - a}{x - 1} - \frac{1}{1 - x} = 3$ 的解为正数，求 $a$ 的取值范围；

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20. 甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工450套防护服，甲厂比乙厂要少用3天．

(1)、求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？

(2)、已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是180元和160元，疫情期间，某医院紧急需要2400套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有安排，剩下任务只能由乙单独完成．如果总加工费不超过6000元，那么甲厂至少要加工多少天？

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $A (- 2 ， 0)$ ， $B (0 ， 6)$ ， $C (6 ， 0)$ ， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ $B C ⊥ C D$ ．

(1)、求证： $∠ A B O = ∠ C A D$ ；

(2)、求证： $A B = A D$ ；

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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22. 综合与探究

【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，基于此，请解答下列问题．

(1)、【直接应用】若 $x + y = 4$ ， $x^{2} + y^{2} = 9$ ，求 $x y$ 的值．

(2)、【类比应用】若 $x (4 - x) = 2$ ，则 $x^{2} + {(4 - x)}^{2} =$ ．

(3)、【知识迁移】将两块全等的特制直角三角板（ $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ）按如图2所示的方式放置，其中点 $A$ ， $O$ ， $D$ 在同一直线上，点 $B$ ， $O$ ， $C$ 也在同一直线上，连接 $A C$ ， $B D$ ．若 $A D = 12$ ， $S_{△ A O C} + S_{△ B O D} = 40$ ，求一块直角三角板的面积．

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23. 如图（1）， $A B$ =16cm， $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ，垂足分别为A ， B ， AC=10cm．点P在线段 $A B$ 上以3cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线 $B D$ 上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

(1)、若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时，
①试说明 $△ A C P ≌ △ B P Q$ ．

②此时，线段 $P C$ 和线段 $P Q$ 有怎样的关系，请说明理由．

(2)、如图（2），若“ $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ”改为“ $∠ C A B ＝ ∠ D B A ＝ 60 °$ ”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P ， Q运动到某处时，有 $△ A C P$ 和 $△ B P Q$ 全等，求出此时的x ， t的值。

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