重庆市巴南区重庆德普外国语学校2023-2024学年七年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．

1. 下列四个数中最小的数是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、1 C、 $- 4$ D、0

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2. 若单项式 $2 x^{3} y^{a + b}$ 与 $- x^{a} y^{2}$ 是同类项，则 $a ， b$ 的值分别为（）

A、 $a = 3 ， b = - 1$ B、 $a = - 3 ， b = 1$ C、 $a = 3 ， b = 1$ D、 $a = - 3 ， b = - 1$

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3. 如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若 $∠ A O D = 145 °$ ，则 $∠ B O C$ 等于（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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4. 下列说法中正确的是（）

A、相等的两个角是对顶角 B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C、两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D、直线外一点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离

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5. 已知 $a^{2} - a - 4 = 0$ ，求 $- 3 a^{2} + 3 a + 2024$ 的值为（）

A、2012 B、2016 C、2020 D、2024

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6. 如图，已知 $a / / b$ ，直角三角板的直角顶点在直线 $b$ 上，若 $∠ 1 = 5 8^{∘}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ 3 = 4 2^{∘}$ B、 $∠ 4 = 13 8^{∘}$ C、 $∠ 5 = 4 2^{∘}$ D、 $∠ 2 = 5 8^{∘}$

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7. 整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划先由x人做4小时后，再增加2人和他们一起8小时，共完成这项工作的 $\frac{3}{4}$ ，假设每个人的工作效率相同，则列方程正确的是（）

A、 $\frac{4 x}{40} + \frac{8 (x + 2)}{40} = 1$ B、 $\frac{4 x}{40} + \frac{8 (x + 2)}{40} = \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4 x}{40} + \frac{8 (x - 2)}{40} = 1$ D、 $\frac{4 x}{40} + \frac{8 (x - 2)}{40} = \frac{3}{4}$

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8. 已知点A、B、C位于直线l上，其中线段 $A B = 4$ ，且 $2 B C = 3 A B$ ，若点M是线段 $A C$ 的中点，则线段 $B M$ 的长为（）

A、1 B、3 C、5或1 D、1或4

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9. 如图， $A B ∥ C D ， B F$ 平分 $∠ E B A ， D G$ 平分 $∠ C D E ， ∠ E = α$ ，则 $∠ H$ 的度数用含 $α$ 的式子表示为（）

A、 $180 ° - α$ B、 $\frac{1}{2} α$ C、 $90 ° + \frac{1}{2} α$ D、 $90 ° - \frac{1}{2} α$

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10. 在多项式 $x - y - z - m - n$ （其中 $x > y > z > m > n$ ）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如： $x - y - | z - m | - n = x - y - z + m - n ， | x - y | - z - | m - n | = x - y - z - m + n ， \cdot \cdot \cdot$ ．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上．

11. 国家速滑馆（“冰丝带”）是 2022 年北京冬奥会北京主赛区标志性场馆．“冰丝带”的设计理念来自一个冰和速度结合的创意，22 条丝带就像运动员滑过的痕迹，象征速度和激情．“冰丝带”以约 2040000 平方米的冰面成为亚洲之最，可接待超过 2000 人同时开展冰球、速度滑冰、花样滑冰、冰壶等所有冰上运动．其中 2040000 用科学记数法可以表示为．

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12. 若 $a$ 、 $b$ 互为相反数， $x$ 、 $y$ 互为倒数，则 $- 2024 a + 3 x y - 2024 b$ 的值是．

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13. 若一个角的补角是其余角的3倍，则这个角的度数为．

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14. 对两个有理数 $a ， b$ ，定义新运算： $a ⋄ b = \frac{a + b + | a - b |}{2}$ ．若 $(x + 3) ⋄ x = - 1$ ，则 $x$ 的值为．

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15. 已知关于 $x$ 的方程 $3 x - a = 0$ 的解与关于 $x$ 的方程 $- 5 x + a + 2 = 0$ 的解互为相反数，则 $a =$ ．

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16. 有理数 $a ， b ， c$ 在数轴上表示的点如图所示，化简 $| a + b | - | a - c | - | b + c | =$ ．

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17. 若关于x的方程 $\frac{a x + 4}{8}$ ﹣x＝1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为 .

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18. 已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOB的度数为 .

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19. 如图，边长为3的正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在数轴上，数轴上的点 $A$ 表示的数为 $- 4$ ，将正方形 $A B C D$ 在数轴上水平移动，移动后的正方形记为 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，点 $A 、 B 、 C$ 、 $D$ 的对应点分别为 $A^{'} 、 B^{'} 、 C^{'} 、 D^{'}$ ，点 $E$ 是线段 $A A^{'}$ 的中点，当 $△ B E C^{'}$ 面积为9时，点 $A^{'}$ 表示的数为．

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20. 对于一个三位数 $N$ ，若其百位数字与个位数字之和比十位上的数字少1，则称数 $N$ 为“首尾数”．例如：数142，因为 $4 - (1 + 2) = 1$ ，所以142是“首尾数”，数264，因为 $6 - (2 + 4) \neq 1$ ，所以264不是“首尾数”，则最小的“首尾数”为；若“首尾数” $N$ 的个位数字不为零，将其百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为 $N^{'}$ ，若 $\frac{| N - N^{'} |}{11}$ 为一个整数的平方，则满足条件的 $N$ 的最大值为．

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三、解答题：（本大题共8个小题，21-25题每题8分，26-28题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

21. 计算：

(1)、 $- 2^{2} \div (- 2) - \frac{1}{4} \times {(- 2)}^{2}$ ；

(2)、 $(- 24) \times (\frac{1}{8} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + {(- 2)}^{3}$ ．

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22. 解方程（组）：

(1)、 $\frac{3 x + 1}{2} - 1 = \frac{2 x - 1}{4}$ ；

(2)、 ${\begin{array}{l} x = y - 4 \\ 3 x + 2 y = 3 \end{array}$ ．

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23. 先化简再求值： $\frac{1}{2} x - 2 (x - \frac{1}{3} y^{2}) + (- \frac{3}{2} x + \frac{1}{3} y^{2})$ ，其中 $(x - 1)^{2} + | y + \frac{3}{2} | = 0$ ．

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24. 填空并完成以下证明：已知：如图， $B D ⊥ A C$ 于 $D$ ， $E F ⊥ A C$ 于 $F$ ， $∠ D M G + ∠ A G F = 180 °$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，求证： $D M ∥ B C$ ．
证明：∵ $B D ⊥ A C$ ， $E F ⊥ A C$ ，（已知）
$∴ ∠ B D F = ∠ E F C = 90 °$
$∴ B D ∥$     ▲
$∴ ∠ 2 =$     ▲        （        ）
$∵ ∠ 1 = ∠ 2$ ，（已知）
$∴ ∠ 1 =$     ▲        （         ）
$∴ G F ∥ B C$ ，（        ）
$∵ ∠ D M G + ∠ A G F = 180 °$ ．
$∴ M D ∥$     ▲         ，（         ）
又 $∵ G F ∥ B C$ ，（已知）
$∴ D M ∥ B C$ ．

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25. 如图，点D、E、F、G均在 $Δ A B C$ 的边上，连接BD、DE、FG，∠3=∠CBA，FG//BD．

(1)、求证：∠1+∠2=180°；

(2)、若BD平分∠CBA，DE平分∠BDC，∠A=35°，求∠C的度数．

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26. 为提升乡村休闲旅游产业，推动乡村全面振兴．某地政府计划对辖区内一条长15千米的公路进行维护升级，计划由甲、乙两个工程队联合完成．若甲工程队先单独施工6天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程．已知甲工程队每天比乙工程队每天少施工0.3千米．

(1)、求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？

(2)、已知甲工程队每天的施工费用为8000元，乙工程队每天的施工费用为10000元，若先由甲工程队单独施工若干天，再由甲、乙两个工程队联合施工，则恰好14天完成施工任务，则共需施工费用多少元？

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27. 今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元．

(1)、求11月份两种取暖器各购进多少台？

(2)、在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现 $\frac{1}{3}$ 的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利 $35 %$ ，已知格力取暖器在原售价基础上提高 $5 %$ ，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？

(3)、今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：
甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示：
一次性购买的数量
不超过150台的部分
超过150台的部分
折扣数
打九折
打八五折
乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金．
出厂总金额
不超过7000元
超过7000元，但不超过10000元
超过10000元
返现金金额
0元
直接返现200元
先返现出厂总金额的 $2 %$ ，再返现296元
已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？

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28. 已知，如图， $A B ∥ C D$ ，直线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ，点 $E$ 是线段 $M N$ 上一点， $P$ ， $Q$ 分别在射线 $M B$ ， $N D$ 上，连接 $P E$ ， $E Q$ ， $P F$ 平分 $∠ M P E$ ， $Q F$ 平分 $∠ D Q E$ ．

(1)、如图1，当 $P E ⊥ Q E$ 时，直接写出 $∠ P F Q$ 的度数；

(2)、如图2，求 $∠ P E Q$ 与 $∠ P F Q$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，在（1）问的条件下，若 $∠ A P E = 45 °$ ， $∠ M N D = 75 °$ ，过点P作 $P H ⊥ Q F$ 交 $Q F$ 的延长线于点 $H$ ，将 $M N$ 绕点 $N$ 顺时针旋转，速度为每秒 $5 °$ ，直线 $M N$ 旋转后的对应直线为 $M^{'} N$ ，同时 $△ F P H$ 绕点P逆时针旋转，速度为每秒 $10 °$ ， $△ F P H$ 旋转后的对应三角形为 $△ F^{'} P H^{'}$ ，当 $M N$ 首次落到 $C D$ 上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过 $t$ 秒后， $M^{'} N$ 恰好平行于 $△ F^{'} P H^{'}$ 的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值，并选择其中一种情况书写计算过程．

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一次性购买的数量	不超过150台的部分	超过150台的部分
折扣数	打九折	打八五折

出厂总金额	不超过7000元	超过7000元，但不超过10000元	超过10000元
返现金金额	0元	直接返现200元	先返现出厂总金额的 $2 %$ ，再返现296元