重庆市九龙坡区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上．

1. 下列为一元二次方程的是（）

A、 $x + \frac{1}{x} = 1$ B、 $x (x + 1) = 4$ C、 $x^{2} + 3 x + 6$ D、 $x^{2} + y + 6 = 0$

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2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列事件中，属于不可能事件的是（）

A、经过红绿灯路口，遇到黄灯 B、射击运动员射击一次，命中靶心 C、班里的两名同学，他们的生日是同一天 D、从一个只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出黄球

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4. 抛物线 $y = (x - 2)^{2} + 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2 ， 5)$ B、 $(2 ， - 5)$ C、 $(- 2 ， 5)$ D、 $(- 2 ， - 5)$

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5. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，……，依此规律，第 $10$ 个图案中的白色圆片个数为（）

A、 $20$ 个 B、 $22$ 个 C、 $24$ 个 D、 $26$ 个

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6. 已知 $A (- 1 ， a) ， B (1 ， b) ， C (2 ， c)$ 都在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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7. 已知二次函数 $y = x^{2} - 5 x - 4$ ，当 $y > 2$ 时，则 $x$ 的取值范围为（）

A、 $- 1 < x < 6$ B、 $- 6 < x < 1$ C、 $x < - 1$ 或 $x > 6$ D、 $x < - 6$ 或 $x > 1$

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 80 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到 $△ E D C$ ，使点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $A B$ 边上， $A C$ 、 $E D$ 交于点 $F$ ．若 $∠ B C D = α$ ，则 $∠ E F C$ 的度数是（）（用含 $α$ 的代数式表示）

A、 $80 ° + \frac{3}{2} α$ B、 $170 ° + \frac{3}{2} α$ C、 $170 ° - \frac{3}{2} α$ D、 $\frac{3}{2} α$

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9. 今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深 $C D = 2$ ，锯道 $A B = 12$ ，则这根圆柱形木材的半径是（）

A、20 B、12 C、10 D、8

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10. 已知点 $P (x_{n} ， y_{n})$ 在二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的图象上，其中 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 2 ， ⋯ ， x_{n} = n$ ，令 $A_{1} = x_{1} + y_{2} ， A_{2} = x_{2} + y_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， A_{n} = x_{n} + y_{n + 1}$ ． $B_{n}$ 为 $A_{n}$ 的个位数字（ $n$ 为正整数），下列说法：① $A_{6} = 30$ ；② $A_{n} - 24 n$ 的最小值为 $- 132$ ，此时 $n = 11$ ；③ $B_{1} + B_{2} + ⋯ + B_{2023}$ 的个位数字为8．其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．

11. 若点 $(1 ， 2)$ 与点 $(a ， b)$ 关于原点对称，则 $a =$ ．

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12. 已知 $m$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 的一个实数根，则 $2 m^{2} + 6 m + 2020$ 的值为．

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13. 一个不透明的盒子里装有3个红球和6个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $C D$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过第一象限点 $A$ ，且平行四边形 $A B C D$ 的面积为8，则 $k =$ ．

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15. 如图，正五边形 $A B C D E$ 的边长为1，以点 $A$ 为圆心，以 $A B$ 为半径作弧 $B E$ ，则阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）．

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16. 已知点 $A (a ， m)$ 、 $B (b ， m)$ 、 $P (a + b ， n)$ 为抛物线 $y = x^{2} + 2 x + 3$ 上的点，则 $n =$ ．

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17. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 2) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有实数解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a y - 1}{3 - y} + 4 = \frac{1}{y - 3}$ 有正整数解，则符合条件的所有整数 $a$ 的和是．

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18. 如果一个三位自然数 $m = \bar{a b c}$ 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 $a + c = b$ ，那么称这个三位数为“中庸数”．将“中庸数” $m = \bar{a b c}$ 的百位、个位数字交换位置，得到另一个“中庸数” $m^{'} = \bar{c b a}$ ，记 $F (m) = \frac{m - m^{'}}{99} ， T (m) = \frac{m + m^{'}}{121}$ ．例如： $m = 792 ， m^{'} = 297$ ． $F (m) = \frac{792 - 297}{99} = 5$ ， $T (m) = \frac{792 + 297}{121} = 9$ ．计算 $F (583) =$ ；若“中庸数” $m$ 满足 $2 F (m) = s^{2} ， 2 T (m) = t^{2}$ ，其中 $s ， t$ 为自然数1，2，3……，则该“中庸数” $m$ 是．

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三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，第20-26题每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并写在答题卡上．

19. 解一元二次方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 6 = 0$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ．

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20. 如图，已知 $A B ， C$ 是弦 $A B$ 上一点．

(1)、用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段 $A C$ 的垂直平分线 $P D$ ，分别交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点 $P$ ，连接 $P A ， P C$ ；
②以点 $P$ 为圆心， $P A$ 长为半径作弧，交 $A B$ 于点 $Q$ （ $Q ， A$ 两点不重合），连接 $P Q$ ， $P B$ ， $B Q$ ．

(2)、求证： $B C = B Q$ ．
证明：∵ $P D$ 是 $A C$ 的垂直平分线，
∴    ▲         ，
∴ $∠ P A C = ∠ P C A$ ，
∵ $P A = P Q$ ，
∴ $P A = P Q$ ，
∴ $∠ P B C = ∠ P B Q$ ，（其依据是    ▲        ）
∵四边形 $A P Q B$ 是圆的内接四边形，
∴ $∠ P A C + ∠ P Q B = 180 °$ ，（其依据是    ▲        ）
∵ $∠ P C A + ∠ P C B = 180 °$ ，
∴ $∠ P Q B =$     ▲         ，
∵ $P B = P B$ ，
∴ $△ B P C ≌ △ B P Q$ ，
∴ $B C = B Q$ ．

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21. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩 $x$ （个/分钟）绘制成频数分布直方图．
选A项目男生的测试情况
选择四个项目的男生在全校男生总人数所占的百分比

(1)、若抽取的同学的测试成绩落在 $160 \leq x < 165$ 这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是，众数是；

(2)、根据题中信息，估计选择B项目的男生共有人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为度；

(3)、学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．

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22. 小明和小华利用周末一起去放风筝．如图，小明位于地面的 $A$ 处，小华位于小明的正西方向，与小明相距8米的 $B$ 处．小明的风筝位于小明的北偏东 $15 °$ 方向，与小明 $A$ 相距 $6 \sqrt{2}$ 米的 $D$ 处；小华的风筝位于小华的北偏东 $30 °$ 方向，与小华 $B$ 相距8米的 $C$ 处．求：

(1)、风筝 $C$ 与小明 $A$ 之间的距离 $A C$ 的长；

(2)、两个风筝之间的距离 $C D$ 的长．

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23. 某商店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣降价1元，那么平均每天就可多售出2件．

(1)、若活动期间平均每天的销售量为38件，求每件保暖衣盈利是多少元？

(2)、要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件保暖衣应降价多少元？

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24. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ，动点P从点A出发，沿折线 $A \to B \to C$ 运动，当它运动到点C时停止运动，过点D作 $D Q ⊥ A P$ 交 $A P$ 于点 $Q$ ．若 $A P = x (x > 0)$ ， $D Q = y$ ．

(1)、请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

(2)、如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象，并写出y的一条性质；

(3)、当点P在 $B C$ 边上运动时，若 $△ A B P$ 与 $△ D P C$ 的面积之比是 $\frac{3}{2}$ ，求此时y的值．

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25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线 $P E$ 交直线 $B C$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线 $P F$ 交直线 $B C$ 于点 $F$ ，求 $△ P E F$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2，连接 $A C ， B C$ ，抛物线上是否存在点 $Q$ ，使 $∠ C B Q + ∠ A C O = 45 °$ ？若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 为平面内的一点．
图1 图2 图3

(1)、如图1，当点 $D$ 在边 $B C$ 上时， $B D = 2$ ，且 $∠ B A D = 30 °$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、如图2，当点 $D$ 在 $△ A B C$ 的外部，且满足 $∠ B D C = 45 ° + ∠ A D C$ ，求证： $B D = \sqrt{2} A D$ ；

(3)、如图3， $A B = 6$ ，当 $D$ 、 $E$ 分别为 $A B$ 、 $A C$ 的中点时，把 $△ D A E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，设旋转角为 $α (0 < α < 180 °)$ ，直线 $B D$ 与 $C E$ 的交点为 $P$ ，连接 $P A$ ，直接写出旋转中 $△ P A B$ 面积的最大值．

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四、选做题：本大题1个小题，共15分，不计入总分．解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

27. 从1到100这100个数中最多选出多少个数，使得任意两个数的差既不是4也不是7？

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