重庆市黔江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．

1. 已知 $t a n A = 1$ ， $∠ A$ 是锐角，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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2. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ B、 $\sqrt{24}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 设a ， b是方程 $x^{2} + x - 2025 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 2 a + b$ 的值为（）

A、2022 B、2023 C、2024 D、2025

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4. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，位似中心为O ， $O A ： O D = 3 ： 7$ ， $S_{△ A B C} = 9$ ，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、12 B、16 C、21 D、49

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5.
如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM：OP=4：5，则cosα的值等于( )

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 在平面直角坐标系中，对于二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 5$ ，下列说法中错误的是（）

A、y的最小值为1 B、图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2 C、当 $x < 2$ 时，y的值随x值的增大而增大，当 $x > 2$ 时，y的值随x值的增大而减小 D、它的图象可由 $y = x^{2}$ 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

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7. 估算 $\sqrt{3} \times (2 \sqrt{\frac{7}{3}} + \sqrt{3})$ 的值在（）

A、8和9之间 B、7和8之间 C、6和7之间 D、5和6之间

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8. 四个完全相同的球上分别标有数字 $- 2$ ， $- 3$ ， 0，5，从这4个球中任意取出一个球记为a ，放回后，再取出一个记为b ，则 $a + b$ 能被5整除的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{3}{16}$

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9. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3 ， - 1)$ ， $B (0 ， 3)$ 两点，则关于x的不等式 $a x + b x + c > k x + m$ 的解集是（）

A、 $x < - 3$ 或 $x > 0$ B、 $x \leq - 3$ 或 $x \geq 0$ C、 $- 3 < x < 0$ D、 $- 3 \leq x \leq 0$

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10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(2 - a) x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{3 y}{y - 2} - \frac{a - 10}{2 - y} = 1$ 的解为非负整数，则符合条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、20 B、18 C、16 D、14

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二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．

11. 计算： $\sqrt{27} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + t a n 6 0^{∘}$ = ．

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12. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \neq 0$ ，则 $\frac{3 b + 4 c}{2 a}$ 的值为．

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13. 将一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 5 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ （a、b为常数）的形式，则 $a + b$ 的值为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 75 °$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于 $D$ ，交 $A B$ 于 $E$ ．若 $D B = 10 c m$ ，则 $A C =$ $c m$ ．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 60 cm$ ， $A D ⊥ B C$ ， $A D = 40 cm$ ，四边形 $P Q R S$ 为正方形，则此正方形的边长为 $cm$ .

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16. 某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐，则甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为．

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17. 已知实数m，n满足等式m²+2m﹣1＝0，n²+2n﹣1＝0，那么求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值是．

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，有以下结论：
①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b ， ④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2， $y_{1}$ ）和（ $- \frac{1}{3}$ ， $y_{2}$ ）在该图象上，则 $y_{1} > y_{2}$ ．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．

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三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，20~26题每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19.

(1)、计算： $\sqrt{16} - {(2023)}^{0} + 2 c o s 30 ° + | \sqrt{3} - 2 |$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ ．

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段 $A D$ 上， $A E = A B$ ，完成下列作图和证明过程．

(1)、尺规作图：作 $∠ B A D$ 的角平分线交线段 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $B E$ ， $E F$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、求证： $A F ⊥ B E$ ．
证明：∵ $B F ∥ A E$ ， ∴    ▲         ．
又∵ $A F$ 平分 $∠ B A D$ ， ∴ $∠ B A F = ∠ E A F$ ．
∴    ▲         ．
∴ $A B = F B$ ．
又∵ $A B = A E$ ， ∴ $F B ∥ A E$ 且 $F B = A E$ ．
∴    ▲         ．
又∵ $A B = A E$ ， ∴四边形 $A B F E$ 为菱形．
∴ $A F ⊥ B E$ （    ▲        ）．

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21. 某学校开展了“交通安全”宣传讲座，并在讲座后进行了满分为100分的交通安全知识测评，为了解测评情况，学校在八、九年级分别随机抽取了20名学生的成绩进行整理、分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A、B、C三个等级，分别是：优秀为A等级： $85 \leq x \leq 100$ ；合格为B等级： $70 \leq x < 85$ ，不合格为C等级： $0 \leq x < 70$ ．绘制成如下统计图表，下面给出了部分信息：20名八年级学生测评成绩的众数出现在A组，且八年级A组测评成绩分别为：89，91，92，92，92，92，92，95，97，99，100．
20名九年级学生测评成绩的A组中共有a个人．
成绩
平均数
中位数
众数
八年级
86
$b$
$c$
九年级
86
93
94
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为该学校哪个年级的测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

(3)、现需从八、九年级A类学生中抽2名学生去参加区级交通安全知识竞赛，已知八年级有2名女生和1名男生报名，九年级有1名女生和2名男生报名，求恰好抽到一男一女参赛的概率．（请用画树状图或列表的方法）

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22. 某长500米的水库大坝的横截面是的四边形 $A B C D$ ，坝顶 $C D$ 与坝底 $B A$ 平行，已知坝高24米，背水坡 $A D$ 的坡度 $i = 1 ： 0.5$ ．为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即 $D F = 6$ 米）， $∠ A E F = 60 °$ ．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

(1)、求坝底加宽的宽度 $A E$ ；（保留根号）

(2)、据相关部门统计，现有填筑土石方83130立方米，请问是否足够加固大坝所需？

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23. 树人文具店准备购进甲、乙种软面抄笔记本，计划用2400元购买甲种笔记本，900元购买乙种笔记本，一个甲种笔记本和一个乙种笔记本的进价之和为15元，且购进甲种笔记本的数量是乙种笔记本数量的4倍．

(1)、求计划分别购买多少个甲种笔记本和乙种笔记本．

(2)、为回馈客户，生产厂家推出了一系列活动，每个甲种笔记本的售价降低了 $\frac{1}{6}$ ，每个乙种笔记本的售价便宜了 $\frac{m}{10} (m \neq 0)$ 元，现在在（1）的基础上购买乙种笔记本的数量增加了 $5 m$ 个，但甲种笔记本和乙种笔记本的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了 $(300 + 5 m)$ 元，求m的值．

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24. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， ∠ A = 60 °$ ，动点M ， N均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点M沿折线A→D→C方向运动，点N沿折线A→B→C方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M ， N的距离为y ．

(1)、请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；

(2)、在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；

(3)、结合函数图象，直接写出点M ， N相距超过3个单位长度时x的取值范围．

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点 $C (0 ， - 3)$ .

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、在对称轴上找一点Q，使 $△ A Q C$ 的周长最小，求点Q的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点P是抛物线上的一点，当 $△ A Q C$ 和 $△ A Q P$ 面积相等时，请求出所有点P的坐标.

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26. △ABC和△DEC是等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $C D = C E$ ．

(1)、【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE ，延长BD交AE于点F ，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．

(2)、【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．

(3)、【拓展应用】如图3，在△ACD中， $∠ A D C = 45 °$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $A D = 4$ ，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC ，连接BD ，求BD的长．

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成绩	平均数	中位数	众数
八年级	86	$b$	$c$
九年级	86	93	94