重庆市南岸区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．

1. 如图，在 $⊿ A B C$ 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $s i n A ＝ \frac{4}{5}$ ， $B C ＝ 4$ ，则 $A B$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ 的图象一定经过的点是（）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(- 1 ， - 4)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(2 ， 2)$

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3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 9$ B、 $- \frac{9}{4}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、9

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4. 如图，由相同大小的正方体积木堆叠而成的立体图形．如果拿走图中的甲、乙、丙、丁中的一个积木，此图形主视图的形状会改变，则拿走的积木是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 将抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ ，则b ， c的值为（）

A、 $b = - 8$ ， $c = 18$ B、 $b = 8$ ， $c = 14$ C、 $b = - 4$ ， $c = 6$ D、 $b = 4$ ， $c = 6$

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6. 如图，在直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (1 ， 2) ， B (2 ， 1) ， C (3 ， 2)$ ，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与 $△ A B C$ 的位似比为2的位似图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则顶点 $C^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(4 ， 2)$ C、 $(6 ， 4)$ D、 $(5 ， 4)$

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， B C = 8$ ，分别以点A和C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线 $M N$ 分别交 $A D ， B C$ 于点E，F，则 $A E$ 的长为（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、 $\frac{25}{4}$

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8. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树 $C D$ 的高度，在点A处测得树顶C的仰角为 $45 °$ ，在点B处测得树顶C的仰角为 $60 °$ ，且A，B，D三点在同一直线上，若 $A B = 16 m$ ，则这棵树 $C D$ 的高度是（）

A、 $8 (3 - \sqrt{3}) m$ B、 $8 (3 + \sqrt{3}) m$ C、 $6 (3 - \sqrt{3}) m$ D、 $6 (3 + \sqrt{3}) m$

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9. 若数 $a$ 使关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 6 + a = 0$ 有两个不相等的实数解，且使关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a}{y - 1} + \frac{3}{1 - y} = 2$ 的解为非负整数，则满足条件的 $a$ 的值为（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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10. 如图，点P是 $△ A B C$ 的重心，点D是边AC的中点， $P E ∥ A C$ 交BC于点E， $D F ∥ B C$ 交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、12 B、14 C、18 D、24

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二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.

11. 一元二次方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的两根为．

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12. 若 $\frac{b}{a} = \frac{d}{c} = \frac{1}{2} (a \neq c)$ ，则 $\frac{b + d}{a + c} =$ ．

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13. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O ， E为 $A D$ 的中点， $A C = 4 ， O E = 2$ ．则 $t a n ∠ E D O =$ ．

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14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的 $A B C$ ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点 $A$ ， $B$ ， $Q$ 在同一水平线上， $∠ A B C$ 和 $∠ A Q P$ 均为直角， $A P$ 与 $B C$ 相交于点 $D$ ．测得 $A B = 40 c m ， B D = 20 c m ， A Q = 12 m$ ，则树高 $P Q =$ m．

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15. 如图为一个几何体的三视图，主视图和左视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为．

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16. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1 （ a \neq 0 ）$ ，当自变量 $x = 1$ 和 $x = 0$ 时，函数值 $y = 1$ ，则该抛物线的对称轴为．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D ， E分别是 $A B ， B C$ 的中点，把 $△ B D E$ 沿着 $D E$ 翻折，点B恰好在 $A C$ 边上的F处，若 $\frac{A B}{B C} = k$ ，则 $\frac{A F}{C F} =$ ．（用含k的代数式表示）

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18. 如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．

(1)、若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为．

(2)、若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为．

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三、解答题：（本大题8个小题，19题8分；20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个景点中随机选择一个景点游览．

(1)、甲选择 $A$ 景点的概率为；

(2)、请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择 $C$ 景点的概率．

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20. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ；

(2)、 $2 x (x - 3) = x - 3$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是边 $A B$ 上一点．

(1)、请用尺规作图，在 $A C$ 上找一点E ，作 $∠ A D E = ∠ B$ ，保留作图痕迹．

(2)、若 $\frac{A D}{A B} = \frac{2}{5}$ ，求 $△ A D E$ 与四边形 $D B C E$ 的面积比．

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22. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A (4 ， 1)$ ， $B (a ， 8)$ 两点．

(1)、求这两个函数的解析式；

(2)、根据图象，直接写出满足 $y_{1} - y_{2} > 0$ 时，x的取值范围；

(3)、点P在线段 $A B$ 上，过点P作x轴的垂线，垂足为M ，交反比例函数 $y_{2}$ 的图象于点Q ，若 $△ P O Q$ 面积为3，求点P的坐标．

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23. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔 $A B$ 前有一座高为 $D E$ 的观景台，已知 $C D = 6 m$ ， $C D$ 的坡度为 $i = 1 ： \sqrt{3}$ ，点E ， C ， A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 $45 °$ ，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为 $27 °$ ．

(1)、求 $D E$ 的长；

(2)、求塔 $A B$ 的高度．（结果保留个位）
（参考数据：tan27°≈0.5， $\sqrt{3}$ ≈1.7）

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24. 为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区 $1000 m^{2}$ 的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元 $/ m^{2}$ ）与其种植面积x（单位： $m^{2}$ ）的函数关系 $y = \frac{1}{20} x + 10$ ，其中 $200 \leq x \leq 600$ ；乙种蔬菜的种植成本为50元 $/ m^{2}$ ．

(1)、设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？

(2)、学校计划今后每年在这 $1000 m^{2}$ 土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降 $10 %$ ，乙种蔬菜种植成本平均每年下降 $a %$ ，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？

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25. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (1 ， 0)$ 和 $B (- 5 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C ．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、若直线 $x = m (- 5 < m < 0)$ 与抛物线交于点D ，与直线 $B C$ 交于点F ，交x轴交于点E ．当 $D F$ 取得最大值时，求m的值和 $D F$ 的最大值；

(3)、若抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点为P ， Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R ，使得以点C ， R ， P ， Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标．

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26. 平行四边形 $A B C D$ 中，点E在 $B C$ 边上，对角线 $A C$ 交 $D E$ 于点F ．

(1)、如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A C ⊥ D E$ ，求证： $\frac{A C}{D E} = \frac{A D}{D C}$ ；

(2)、如图2，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ A F D = ∠ B$ ，那么 $A C$ 与 $D E$ 的长有什么关系？请证明你的结论；

(3)、如图3，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A F D = ∠ B$ ， $A D = 6$ ， $D C = 4$ ， $D E = 5$ ，求 $A C$ 的长．

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