重庆市万州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在 $- 1 ， 0 . \dot{3} ， \sqrt{5} ， 0.010010001$ 这四个数中，无理数是（）

A、 $- 1$ B、 $0 . \dot{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $0.010010001$

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2. 代数式 ${(- 2 a^{2})}^{3}$ 运算结果正确的是（）

A、 $- 2 a^{5}$ B、 $- 6 a^{5}$ C、 $- 8 a^{5}$ D、 $- 8 a^{6}$

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3. 若a、b ， c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（）

A、 $a = 1 ， b = 1 ， c = \sqrt{2}$ B、 $a = 3 ， b = 4 ， c = 5$ C、 $a = 4 ， b = 7 ， c = 8$ D、 $a = 9 ， b = 40 ， c = 41$

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4. 万州区教师进修学院为了督查国家双减政策的落实情况，现调查某校学生每日睡眠时长问题，选用下列哪种方法最恰当（）

A、查阅文献资料 B、对学生问卷调查 C、上网查询 D、对校领导问卷调查

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5. 估算 $8 - \sqrt{31}$ 的值在（）

A、1到2之间 B、2到3之间 C、3到4之间 D、4到5之间

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6. 下列命题是假命题的是（）

A、一个数的平方根等于它本身的数只有0 B、一个数的立方根等于本身的数只有0或1 C、有一个角等于 $60 °$ 的等腰三角形是等边三角形 D、有两个角等于 $60 °$ 的三角形是等边三角形

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7. 若 $3 x^{2} - 4 y - 3 = 0$ ，则 $12 - 6 x^{2} + 8 y$ 的值为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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8. 如图，正方体的棱长为 $2 c m$ ，点 $B$ 为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点 $A$ 爬到点 $B$ 的最短路程是（）

A、 $4 c m$ B、 $5 c m$ C、 $\sqrt{10} c m$ D、 $\sqrt{17} c m$

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9. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P ，作 $P E ⊥ A C$ 于E ， Q为BC延长线上一点，当 $P A = C Q$ 时，连接PQ交AC边于D ，则DE的长为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式 $x^{2} - 3 x - 4$ .设 $x^{2} - 3 x - 4 = (x + a) (x + b)$ ，利用多项式相等得 $a = - 4$ ， $b = 1$ ，故 $x^{2} - 3 x - 4$ 可分解 $(x - 4) (x + 1)$ .此时，我们就说多项式 $(x^{2} - 3 x - 4)$ 既能被 $(x - 4)$ 整除，也能被 $(x + 1)$ 整除.根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（）
（1） $(x^{2} + 3 x + 2)$ 能被 $(x + 1)$ 整除；（2）若 $(x^{2} - 4 x - 5)$ 能被 $(x + a)$ 整除，则 $a = 1$ 或 $a = - 5$ ；（3）若 $(x^{3} + a x^{2} + b x - 3)$ 能被 $(x^{2} + 2 x + 3)$ 整除，则 $a = 1$ ， $b = 1$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 因式分解： $2 a - 8 =$ ．

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12. 25的算术平方根是．

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13. 如图，已知 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，添加一个条件后能够运用“ $S A S$ ”的方法判定 $△ A B C ≌ △ A D C$ ，则这个条件是

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14. 为了解八年级学生体能情况，随机抽查了其中的160名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并把数据按成绩分成四组，其中三组的频率分别为： $0.1$ ， $0.2$ ， $0.4$ ，则剩下这组的学生有人．

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15. 已知等腰三角形的两边长为a、b ，且满足 $| a - 3 | + {(b - 6)}^{2} = 0$ ，则这个等腰三角形的周长是

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16. 若关于 $x$ 的多项式 $(x^{2} + 2 x + 4) (x + k)$ 展开后不含有一次项，则实数 $k$ 的值为．

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17. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C$ 边上的高 $A D = 6$ ，腰 $A B$ 上的高 $C E = 8$ ，则 $A B^{2} =$

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18. 一个两位正整数n ，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“异数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数 $n^{'}$ ．把 $n^{'}$ 放在n的后面组成第一个四位数，把n放在 $n^{'}$ 的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以81所得的商记为 $F (n)$ ，例如： $n = 23$ 时， $n^{'} = 32$ ， $F (23) = \frac{2332 - 3223}{81} = - 11$ ．则 $F (53) =$ ；若s、t为“异数”，其中 $s = 10 a + b$ ， $t = 10 x + y$ （ $1 \leq b < a \leq 9$ ， $1 \leq x$ 、 $y \leq 5$ ，且 $a$ ， $b$ ， $x$ ， $y$ 为整数）．规定： $K (s ， t) = \frac{s - t}{t}$ ，若 $F (s)$ 能被7整除，且 $F (t) + 33 x$ 是一个整数的平方，则 $K (s ， t)$ 的最小值为

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三、解答题

19. 计算、化简

(1)、计算： $\sqrt{16} - \sqrt[3]{27} + {(- 2)}^{2}$

(2)、化简： $a (a - 2 b) - (a + b) (a - b)$

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20. 如图，在钝角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C > 90 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $A C$ 的垂直平分线，与边 $B C$ 、 $A C$ 分别交于点D、E（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，过点B作 $B H ⊥ A C$ 交 $C A$ 的延长线于点H ，连接 $A D$ ，求证 $∠ A D E = ∠ H B C$ ．请补完图形，并完成下列证明过程：
证明：∵ $D E$ 是 $A C$ 的垂直平分线（已知）
∴ $D A =$     ▲         ， $D E ⊥ A C$ ，
∴    ▲        （等腰三角形三线合一）
∵ $D E ⊥ A C$ ，     ▲
∴ $B H ∥ D E$ （在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
∴ $∠ H B C = ∠ E D C$ （    ▲        填写文字依据）
∴ $∠ A D E = ∠ H B C$ ．

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21. 为中华之崛起，关心爱护青少年，国家教育部实施了双减政策和五项管理.随着手机的普及，学生使用手机对学校的管理和学生的发展带来了诸多的不利影响，为此，万州区教委对该区部分学校的八年级学生每周使用手机的情况做了调查分析，并把每周使用手机的时间t（小时）的情况分为四个层级，A级：t＝0；B级： $0 < t \leq 1$ ；C级： $1 < t \leq 2$ ；D级： $t > 2$ .并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）.

根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、此次抽样调查中，共调查了 ▲ 名学生；并将条形统计图补充完整；

(2)、在扇形统计图中A的圆心角为 $°$ ；

(3)、根据抽样调查结果，请你估计该区近14000名八年级学生中大约有多少名学生使用手机的时间在2小时以上．

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22. 已知 $x + 2 y$ 是9的算术平方根， $3 x - y + 2$ 是 $- 27$ 的立方根.

(1)、求 $2 x + 5 y + 8$ 的平方根；

(2)、求 $202 3^{3 - x} \div 202 3^{y + 1}$ 的值.

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23. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．

(1)、山地C距离公路的垂直距离为多少米？

(2)、在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．

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24. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地得到多项式的乘法公式.

(1)、从图1可以容易得到 $(a + b) (2 a + b) = 2 a^{2} + 3 a b + b^{2}$ ； $a (a + b) = a^{2} + a b$ ， ${(a + b)}^{2} = b^{2} + 2 a b + b^{2}$ 等乘法公式（如图1），根据得到的乘法公式完成下列问题：
①若 $a + b = 6$ ， $a b = 4$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ▲ ；
②若x满足 ${(x - 2025)}^{2} + {(2023 - x)}^{2} = 2024$ ，求 $(2025 - x) (x - 2023)$ 的值.

(2)、观察图2，回答下列问题：
①请你从图2中得到 ${(a + b + c)}^{2} =$ ▲ ；
②根据得到的结论，解决问题：若 $a = 2 x + 3$ ， $b = 3 x + 5$ ， $c = - 5 x - 7$ ， $a b + a c + b c = - 9$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值.

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25. 已知：在线段 $A B$ 的同侧分别过A、B作 $A M ⊥ A B$ ， $B N ⊥ A B$ ，分别在射线 $A M$ ， $B N$ 上取点C、D.若 $A B = 28$ ， $B D = 12$ ，点P是线段 $A B$ 上的一个动点.

(1)、如图1，连接 $P C$ 、 $P D$ ，当 $P C ⊥ P D$ 且 $P C = P D$ 时，求 $P D$ 的长；

(2)、如图2，点P在线段 $A B$ 上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点Q在射线 $A M$ 上以x个单位每秒的速度从A点开始运动，当点P到达A点时停止运动.
①连接 $P Q$ ，当 $∠ A P Q = ∠ B P D = 45 °$ 时，求x的值；
②是否存在实数x的值，使得某时刻 $△ A Q P$ 与 $△ B P D$ 全等？若存在，请你求出x的值；若不存在，请说明理由.

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26. 已知，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，连接 $A C$ ．

(1)、如图1，若 $∠ B = 45 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、如图2，若 $∠ B A D = 120 °$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，求证： $A B + A D = A C$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，若点P是射线 $A C$ 上一动点，连接 $D P$ ．将线段 $D P$ 绕着点D顺时针旋转 $60 °$ ，点P的对应点为 $P^{'}$ ，若 $A D = 6$ ，请直接写出 $D P^{'}$ 的最小值．

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