重庆市江北区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A．B．C．D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．

1. 7的相反数是（）

A、 $- 7$ B、7 C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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2. 2023年8月29日华为公司上市的 $M a t e 60$ 手机搭载的是自主研发的麒麟9000处理器，这款处理器是华为首款采用 $5 n m$ 制程技术的手机芯片， $1 n m = 0.000 000 001 m$ ，其中 $5 n m$ 用科学记数法表示为（）

A、 $5 \times 1 0^{9}$ B、 $0.5 \times 1 0^{- 10}$ C、 $5 \times 1 0^{- 8}$ D、 $5 \times 1 0^{- 9}$

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3. 下列根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{0.1}$

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4. 估计 $\sqrt{31}$ 的值在（）

A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5与6之间

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5. 下列因式分解，正确的是（）

A、 $a^{2} - 9 b^{2} = (a + 9 b) (a - 9 b)$ B、 $x^{2} - 2 x - 8 = (x - 4) (x + 2)$ C、 $x^{2} - y^{2} = {(x - y)}^{2}$ D、 $- a^{2} + a = - a (a + 1)$

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6. 若分式 $\frac{x - 2}{x + 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \neq - 1$ C、 $x \neq 2$ D、 $x < 2$

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7. 若正多边形的一个外角为 $30 °$ ，则该正多边形为（）

A、正六边形 B、正八边形 C、正十边形 D、正十二边形

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 40 ° ， ∠ C = 30 °$ ，点D为边 $B C$ 上一点，将 $△ A D C$ 沿直线 $A D$ 折叠后，点C落到点E处，若 $D E ∥ A B$ ，则 $∠ A D B$ 的度数为（）

A、 $85 °$ B、 $80 °$ C、 $70 °$ D、 $60 °$

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9. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为 $x$ 天，则可列方程为（）

A、 $\frac{900}{x + 1} \times 2 = \frac{900}{x - 3}$ B、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x - 3} \times 2$ C、 $\frac{900}{x - 1} \times 2 = \frac{900}{x + 3}$ D、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x + 3} \times 2$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B E ⊥ A D$ 交 $A C$ 的延长线于 $F$ ， $E$ 为垂足，则结论：① $A D = B F$ ；② $C F = C D$ ；③ $A C + C D = A B$ ；④ $B E = C F$ ；⑤ $B F = 2 B E$ ；其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）将每个小题的答案直接写在答题卡中对应的横线上．

11. 计算： $202 3^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 1} =$ ．

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12. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则△ABC≌；应用的判定方法是．

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13. 若4x²+20x+ a²是一个完全平方式，则a的值是．

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14. 若 $3 a^{2} - a - 2 = 0$ ，则 $- 6 a^{2} + 2 a + 5 =$ ．

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15. 若 $\frac{x^{2} + x + 1}{x} = 4$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 1 =$ .

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16. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 3}{2} \leq 4 \\ 2 x - a \geq 2 \end{array}$ ，至少有2个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a - 1}{y - 2} + \frac{4}{2 - y} = 2$ 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上的一点，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，延长 $E B$ 至点 $F$ ，使得 $E F = A E$ ，连接 $C F$ 交 $A E$ 于点 $H$ ，连接 $A F$ ，若 $B E = 1$ ， $E H = 2.3$ ，则 $A E$ 的长度为．

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18. 已知，在计算： $N + (N + 1) + (N + 2)$ 的过程中，如果存在正整数 $N$ ，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数 $N$ 为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为 $2 + 3 + 4 = 9$ 没有进位， $30 + 31 + 32 = 93$ 没有进位；15和91都不是“本位数”，因为 $15 + 16 + 17 = 48$ ，个位产生进位， $91 + 92 + 93 = 276$ ，十位产生进位．则根据上面给出的材料：判断106是否为“本位数”（填“是”或者“否”），在所有的四位数中，最大的“本位数”是．

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三、解答题：（本大题共8小题，第19题12分，20题6分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19. 计算：

(1)、化简：
① $\sqrt{8} - \sqrt{32} + \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}}$ ；
② $- 3 (x^{2} - 3 y^{2}) + (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)$

(2)、解方程：
① $\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x}$ ；
② $\frac{x}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} + 1$ ．

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20. 因式分解：

(1)、 $8 a^{3} b^{2} + 12 a b^{3} c$ ；

(2)、 $3 a x^{2} + 6 a x y + 3 a y^{2}$ ．

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21. 在江北区“书香校园领航计划”中，某学校为了解八年级学生的课外阅读情况，随机抽查部分学生并对其课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示的不完整的统计图．
根据图示信息，解答下列问题：

(1)、本次抽样调查的学生有人；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、若规定：阅读4本以上（含4本）课外书籍为“优秀阅读者”，据此估计该校八年级1465名学生中，约有多少人是“优秀阅读者”？

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高．请根据要求完成以下作图与填空．

(1)、用尺规完成以下基本作图：作 $∠ A B C$ 的平分线 $l$ ， $l$ 与 $A D$ 交于点 $E$ ：（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

(2)、在（1）所作的图中，过点 $E$ 作 $E H ⊥ A B$ 于 $H$ ，已知 $B E = A C ， B D = A D$ ，求证： $A B = B C$ ．
证明：∵ $B E$ 平分 $∠ A B C ， E H ⊥ A B ， E D ⊥ B C$ ，
∴ $E H =$     ▲         ．
∵ $B E = B E$ ，
∴ $△ B D E ≌ △ B H E$ （    ），
∴ $B H = B D$ ，
在 $R t △ B D E$ 和 $R t △ A D C$ 中 ${\begin{array}{l} B D =____ \\ B E = A C \end{array}$
∴ $△ B D E ≌ △ A D C (H L)$ ，
∴ $E D = C D$ ，
∴ $E H =$     ▲         ，
∵ $A D = B D ， ∠ A D B = 90 ° ， E H ⊥ A B$
∴ $∠ H E A = ∠ H A E = ∠ B A D =$     ▲         $°$ ．
∴ $H E = A H = C D$ ，
∴ $B C = B D + C D = B H + A H = A B$ ．

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23. 先化简，再求值： $(\frac{a + 1}{2 a - 2} - \frac{5}{2 a^{2} - 2} - \frac{a + 3}{2 a + 2}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ ，其中a的值从不等式组 ${\begin{array}{l} a - \sqrt{5} < 0 \\ \frac{a - 1}{2} < a \end{array}$ 的解集中选取一个合适的整数．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (1 ， 2) ， B (3 ， 1) ， C (- 2 ， - 1)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 坐标：

(2)、连接 $C C_{1} ， A C_{1}$ ，已知点 $D (2 ， b)$ ，且 $S_{Δ D C C_{1}} = S_{Δ A C C_{1}}$ ，求满足条件的所有点 $D$ 的坐标．

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25. 重庆——山水之城，美食之都．今年国庆期间，吸引了众多游客到重庆游玩，某打卡点的面馆的生意也异常火爆．

(1)、十月一日该面馆“小面”销售额是800元，“豌杂面”销售额是1500元，且两种面的销量相同．已知“小面”的单价比“豌杂面”的单价少7元．求“小面”和“豌杂面”的单价各是多少元？

(2)、十月三日，游客量达到顶峰，该面馆当天“小面”比“豌杂面”的多卖出60份，两种面的总销售额为2895元．求该面馆十月三日当天“小面”的销量是多少份？

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26. 等边 $△ A B C$ 中， $B C = 4 ， A H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上一动点，连接 $A D$ ，点 $B$ 关于直线 $A D$ 的对称点为点 $E$ ，连接 $A E ， D E ， C E$ ．

(1)、如图1，点 $E$ 恰好落在 $A H$ 的延长线上，则求 $∠ B C E =$ $°$ ；

(2)、过点 $D$ 作 $D G ∥ A C$ 交 $A B$ 于点 $G$ ，连接 $G E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ．
①如图2，试判断线段 $A F$ 、 $E F$ 和 $C E$ 之间的数量关系，并说明理由：
②如图3，直线 $G E$ 交 $A H$ 于点 $M$ ，连接 $B M ， D$ 点运动的过程中．当 $B M + G M$ 取最小值时，请直接写出线段 $D G$ 的长度．

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