重庆市潼南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．

1. 下列图标中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 要使分式 $\frac{x}{x - 1}$ 有意义，则 $x$ 应满足（）

A、 $x \neq - 1$ B、 $x \neq 0$ C、 $x \neq 1$ D、 $x \neq 0$ 且 $x \neq 1$

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3. 用三根长分别为 $10 c m$ ， $15 c m$ ， $a c m$ 的小木棒首尾相接拼成一个三角形，则 $a$ 的值可以是（）

A、5 B、15 C、25 D、35

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4. 下列计算结果为 $x^{8}$ 的是（）

A、 $x^{2} + x^{6}$ B、 $x^{2} \cdot x^{4}$ C、 $x^{16} \div x^{2}$ D、 ${(x^{2})}^{4}$

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5. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的 $∠ A O B$ 的两边上，分别取 $O M = O N$ ，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为 $P$ ，画射线OP，则OP平分 $∠ A O B$ ．这里判定 $△ O M P ≌ △ O N P$ 的方法是（）

A、 $H L$ B、SSS C、SAS D、AAS

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6. 用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个三角形，第②个图案中有9个三角形，第③个图案中有13个三角形，第④个图案中有17个三角形，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案中三角形的个数为（）

A、25 B、29 C、33 D、37

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7. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低15元，总费用降低了 $10 %$ ．设第二次采购单价为 $x$ 元，则所列方程正确的是（）

A、 $\frac{20000}{x - 15} = \frac{20000 (1 - 10 %)}{x}$ B、 $\frac{20000}{x + 15} = \frac{20000 (1 - 10 %)}{x}$ C、 $\frac{20000}{x} = \frac{20000 (1 - 10 %)}{x - 15}$ D、 $\frac{20000}{x} = \frac{20000 (1 - 10 %)}{x + 15}$

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8. 已知 $m + n = 5$ ， $m n = 3$ ，则 $m^{2} - m n + n^{2}$ 的值为（）

A、16 B、22 C、28 D、36

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，交AD于点 $F$ ．若 $A F = 10$ ，则BD的长为（）

A、4 B、5 C、8 D、10

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10. 给定一个正整数 $k$ ，若两个整数 $p$ 与 $q$ 分别除以 $k$ 所得的余数相同，则称p，q对 $k$ 同余，记作 $p = q (m o d k)$ ．例如： $31 \div 7 = 4 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 3$ ， $66 \div 7 = 9 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 3$ ，所以31，66对7同余，记作 $31 = 66 (m o d 7)$ ．
下列说法：
① $1951 \equiv 2024 (m o d 3)$ ；②若 $p \equiv q (m o d 3)$ ，则 $5 p \equiv 2 q (m o d 3)$ ；③若 $p \equiv q (m o d k)$ ， $s \equiv t (m o d k)$ ，则 $p s \equiv q t (m o d k)$ ；④若 $M = 1000 a + 100 (b + 9) + 10 c + d$ ，其中 $a$ 为 $1 ~ 9$ 的整数，b，c，d为 $0 ~ 9$ 的整数，则 $M = (a + b + c + d) (m o d 9)$ ．
其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．

11. 计算： $3^{0} + 3^{- 2} =$ ．

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12. 将分式 $\frac{2 x + 6}{x^{2} - 9}$ 化为最简分式，所得结果是．

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13. 若点 $A (9 - a ， b)$ 与点 $B (2 a ， 3 b - 8)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $a + b =$ ．

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14. 如图，一个正方形和一个正五边形各有一边AB，CD在直线 $l$ 上，且只有一个公共顶点 $P$ ，则 $∠ B P C$ 的度数为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD是BC边上的高，CE平分 $∠ A C B$ ，交AD于点 $E$ ， $A C = 6$ ， $D E = 2$ ，则 $△ A C E$ 的面积等于．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 15 °$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $N$ ，交AC于点 $M$ ， $A M = 16$ ，则BC的长度为．

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17. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + a < - 3 \\ - \frac{1}{4} x > 1 \end{array}$ 的解集为 $x < - 4$ ，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{3}{y - 1} + \frac{a}{1 - y} = - 2$ 的解为正数，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和为．

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18. 对于一个四位正整数 $M$ ，若它的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称这个四位正整数 $M$ 是“和谐数”．如：四位数2783， $∵ 2 + 8 = 7 + 3$ ， $∴ 2783$ 是“和谐数”；四位数5326， $∵ 5 + 2 \neq 3 + 6$ ， $∴ 5326$ 不是“和谐数”，则最小的“和谐数”是；若一个“和谐数” $M$ 满足千位数字与百位数字的平方差是24，且十位数字与个位数字的和能被5整除，则满足条件的 $M$ 的最大值是．

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三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，第20题—第26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19. 计算：

(1)、 $x (1 - x) + (x + 3) (x - 3)$ ；

(2)、 $\frac{a^{2}}{a^{2} - 4 a + 4} \div (a + \frac{2 a}{a - 2})$ ．

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20. 解下列方程：

(1)、 $\frac{3}{x} = \frac{5}{x - 2}$ ；

(2)、 $\frac{x}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} - 1$ ．

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21. 学习了轴对称后，小敏进行了拓展性研究．她发现，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．她的证明思路是：在 $R t △ A B C$ 中，作直角边CB的垂直平分线，交斜边AB于点 $D$ ，垂足为点 $E$ ，连接CD，然后利用垂直平分线的性质和三角形边角关系等知识推出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：证明：用直尺和圆规，作CB的垂直平分线，交AB于点 $D$ ，垂足为点 $E$ ，连接CD（只保留作图痕迹）．
DE垂直平分线CB，
$∴ D C =$ ▲ ．
$∴ ∠ D C B = ∠ D B C$ ．
$∵ ∠ A C D + ∠ D C B = 90 °$ ， $∠ C A D + ∠ D B C = 90 °$ ，
$∴ ∠ A C D =$ ▲ ．
$∴ D C =$ ▲ ．
$∴ D C = D A = D B$ ．
即CD是斜边AB上的中线，且 $C D = \frac{1}{2} A B$ ．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ D$ ， $∠ 1 = ∠ 2 = 40 °$ ，点 $C$ 在DE上．

(1)、证明： $△ A B C ≌ △ A D E$ ；

(2)、求 $∠ E$ 的度数．

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23. 如图，在边长为1的正方形网格中， $△ A B C$ 的三个顶点A，B，C都在格点上．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中点A，B，C的对称点分别是 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、点 $P$ 是 $y$ 轴上一点，请在图中标出使 $△ A B P$ 的周长最小时的点 $P$ ，并直接写出此时点 $P$ 的坐标；

(3)、计算 $△ A B C$ 的面积．

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24. 甲、乙两个施工队共同参与一项全长6300米的筑路工程，分别从两端向中间施工，已知甲队负责施工的长度的3倍比乙队负责施工的长度长900米，两施工队负责施工的长度总和等于该工程全长．

(1)、求甲、乙两施工队分别负责施工的长度是多少米？

(2)、若乙队每天施工的长度是甲队每天施工长度的1.5倍，如果两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用4天完工，求甲队每天施工多少米？

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25. 如图1， $△ A B C$ 是等边三角形，点M，N分别是边AB，BC上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发．

(1)、如图1，连接AN，CM，求证： $△ A B N ≌ △ C A M$ ；

(2)、如图1，当点M，N分别在边AB，BC上运动时（端点除外），AN，CM相交于点 $P$ ，试探究 $∠ N P C$ 的大小是否为定值，若是，求出 $∠ N P C$ 的度数，若不是，请说明理由；

(3)、如图2，当点M，N分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AN，CM相交于点 $P$ ，试探究 $∠ N P C$ 的大小是否为定值，若是，求出 $∠ N P C$ 的度数，若不是，请说明理由．

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ，点 $D$ 是CB上一动点，点 $E$ 在AD的延长线上，且 $C A = C E$ ， $C F$ 平分 $∠ B C E$ 交DE于 $F$ ，连接BF．

(1)、如图1，求证： $∠ C A F = ∠ C B F$ ；

(2)、如图2， $∠ A B C = 60 °$ 时，求证： $C F + E F = A F$ ；

(3)、如图3，当 $∠ A B C = 45 °$ 时，过点 $A$ 作AB的垂线 $l$ ，过点 $C$ 作AB的平行线 $n$ ，两直线l，n相交于 $M$ ，连接ME．当ME取得最大值时，请直接写出此时 $\frac{E F}{A D}$ 的值．

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