重庆市北碚区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．

1. 若二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x < 2$ D、 $x \leq 2$

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2. 下列二次根式不为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12}$

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，下列变形正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 3$

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4. 如图，以点 $O$ 为位似中心，将四边形 $O A B C$ 放大到原来的3倍，得到四边形 $O D E F$ ，若四边形 $O A B C$ 的面积为1，则四边形 $O D E F$ 的面积是（）

A、3 B、6 C、8 D、9

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， B C ： A B = 12 ： 13$ ，则 $t a n A$ 的值是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $\frac{5}{13}$

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6. 估计 $\sqrt{12} \times (\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{2}})$ 的值应在（）

A、6和7之间 B、7和8之间 C、8和9之间 D、9和10之间

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7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + 4 x + m^{2} = 1$ 有一个根是0，则 $m$ 的值是（）

A、 $m = 0$ B、 $m = - 1$ C、 $m = 1$ D、 $m = \pm 1$

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8. 如图， $A B 、 B C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $D 、 C$ 为切点， $A C$ 经过圆心 $O$ ，若 $A D = B D = 3$ ，则 $A C$ 的长度是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C ， ∠ A B C = 90 °$ ，点 $O$ 为对角线 $A C$ 的中点， $B E ⊥ C D$ 于点 $E$ ，若 $∠ D B E = 45 °$ ， $∠ C O E = α$ ，则 $∠ C A D$ 的度数是（）

A、 $45 ° + α$ B、 $90 ° - α$ C、 $3 α$ D、 $135 ° - 3 α$

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10. 已知两个二次根式： $\sqrt{x + 1} ， \sqrt{x} (x \geq 0)$ ，将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将 $\sqrt{x + 1}$ 与 $\sqrt{x}$ 的和记为 $M_{1}$ ，差记为 $N_{1}$ ；
第二次操作：将 $M_{1}$ 与 $N_{1}$ 的和记为 $M_{2}$ ，差记为 $N_{2}$ ；
第三次操作：将 $M_{2}$ 与 $N_{2}$ 的和记为 $M_{3}$ ，差记为 $N_{3} ； \cdot \cdot \cdot$ ；以此类推．
下列说法：①当 $x = 1$ 时， $N_{2} + N_{4} + N_{6} + N_{8} = 30$ ；② $M_{12} = 64 \sqrt{x + 1}$ ；
③ $M_{2 n + 1} \cdot N_{2 n + 1} = 2^{2 n}$ （ $n$ 为自然数）．
其中正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．

11. 化简： $\sqrt{8}$ =

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12. 在一个布袋里装着标号分别为 $1 ， 2 ， 3$ 的3个小球，它们除标号外无其他区别，从布袋中随机摸出一个小球后不放回，将小球上的数字记为 $a$ ，摇匀再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为 $b$ ，则 $a 、 b$ 使二次根式 $\sqrt{a + b}$ 的值为有理数的概率是．

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13. 某商品经过两次降价，每件零售价由60元降为 $38.4$ 元．已知每次降价的百分率均为 $x$ ，根据题意，可列方程为．

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ C D$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A E$ 上，且 $∠ A B F = ∠ E A D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $C E = 1$ ，则点 $A$ 到 $B F$ 的距离是．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 是 $A D$ 的中点，以 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点 $E$ ．若 $A B = 3$ ， $B C = 6$ ，则图中阴影部分的面积是．

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16. 已知关于 $x$ 的方程 $(m - 3) x^{2} + (m - 11) x - 8 = 0$ 的根都是整数，且 $m$ 满足等式 $\sqrt{\frac{7 - m}{m - 2}} = \frac{\sqrt{7 - m}}{\sqrt{m - 2}}$ ，则所有满足条件的整数 $m$ 的值之和是．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， D 、 E$ 分别是边 $A B 、 B C$ 上的点，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $△ A B C$ 所在的平面内，得 $△ F D E ， D F 、 B C$ 相交于点 $G$ ．若 $B C = 8$ ， $B D = A C = 6 ， D F ∥ A C$ ，则 $G E$ 的长是．

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18. 如果一个三位自然数 $\bar{a b c}$ 的各数位上的数字均不为 $0$ ，且使得关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数 $441$ 是方程 $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 的“等根数”．则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的最小“等根数”是；如果 $m$ 是关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的“等根数”，记 $F (m) = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ， $G (m) = a - c$ ，若 $\frac{F (m)}{G (m)}$ 是整数，则满足条件的 $m$ 最大值是．

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三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19. 计算：

(1)、 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) + {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ ；

(2)、 $2 c o s 30 ° + s i n^{2} 45 ° - \frac{3}{t a n 60 °}$ ．

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20. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、用直尺和圆规，作 $∠ A D C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $H$ ，交 $A C$ 于点 $G$ （只保留作图痕迹）．

(2)、在（1）所作的图中，若 $C H = 2 B H$ ，试说明 $C G = 2 G F$ ．请根据以下思路完成填空：证明：在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C ， A D ∥ B C$ ，
$∴ ∠ A D H = ∠ D H C$ ，
$∵ B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $D H$ 平分 $∠ A D C$ ，
$∴ ∠ E B C = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ，     ▲         ，
$∴ ∠ E B C = ∠ A D H$ ，
$∴$     ▲         ，
$∴ B E ∥ D H$ ，
$∴ \frac{C G}{G F} =$     ▲         ．
$∵ C H = 2 B H$ ，
$∴ C G = 2 G F$ ．

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21. 某校为了解学生每周课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取了10名学生，记录下他们每周课外阅读时长（小时），并对数据进行了整理、描述和分析（阅读时长记为 $x$ ，共分为三组：合格 $4 ≤ x ＜ 6$ ，中等 $6 \leq x ＜ 8$ ，优等 $x \geq 8$ ），下面给出了部分信息：
抽取的七年级学生每周课外阅读时长是： $4 ， 5 ， 5 ， 6 ， 6 ， 7 ， 8 ， 8 ， 8 ， 9$ ．
抽取的八年级学生每周课外阅读时长属于优等的数据是： $8 ， 8 ， 8 ， 8 ， 9$ ．
抽取的七八年级学生每周课外阅读时长统计表
年级
七年级
八年级
平均数
$6.6$
$6.6$
中位数
$b$
$7.5$
众数
8
$a$
方差
$2.44$
$2.34$
“优等”所占百分比
$40 %$
$50 %$
抽取的八年级学生每周课外阅读时长扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $m =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为哪个年级学生每周课外阅读情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

(3)、若该校七年级有800人，八年级有720人，估计两个年级学生每周课外阅读时间为优等的共有多少人？

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22. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m - 2) x + 2 m - 8 = 0$ ．

(1)、求证：对于任何实数 $m$ ，该方程总有两个实数根；

(2)、若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求 $m$ 的取值范围．

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23. 某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台．

(1)、商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？

(2)、商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？

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24. 为了满足市民的需求，某市在一公园外围开辟了两条步道，如图：① $A - C - D$ ， ② $A - B - D$ ．经勘测，点 $B$ 在点 $A$ 的正东方向300米处，点 $C$ 在点 $A$ 东北方向，点 $D$ 在点 $C$ 的正东方向，且在点 $B$ 的北偏东 $60 °$ 方向， $B D = 400$ 米．
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

(1)、求点 $B$ 到 $C D$ 的距离；

(2)、由于时间原因，小贝决定选择一条较短步道锻炼，请计算说明小贝应该选择步道①还是步道②？（结果精确到1米）

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25. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点， $E$ 是 $C A$ 延长线上一点，且 $A E = A C$ ．

(1)、如图1，若 $B C = 4 ， A C = 2$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、如图2，点 $F$ 是 $D E$ 的中点，求证： $B D = 2 A F$ ．

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26. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 为 $△ A B C$ 外一点， $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $E$ ， $C E = 2 A E$ ．

(1)、如图1，若 $C D ⊥ B C ， ∠ A C B = 60 ° ， B C = 6$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、如图2，若 $∠ A C D = ∠ A C B$ ，猜想线段 $B C ， C D$ 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)、如图3，在（1）的条件下，将 $△ C D E$ 绕点 $C$ 旋转得到 $△ C D^{'} E^{'}$ ，连结 $B E^{'}$ ，点 $P$ 是 $B E^{'}$ 的中点，当 $A P$ 取最小值时，直接写出此时 $△ P B C$ 的面积．

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年级	七年级	八年级
平均数	$6.6$	$6.6$
中位数	$b$	$7.5$
众数	8	$a$
方差	$2.44$	$2.34$
“优等”所占百分比	$40 %$	$50 %$