重庆市璧山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（）

A、我 B、爱 C、中 D、国

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2. 下列式子中，是分式的是（）

A、 $\frac{1}{x}$ B、 $\frac{1}{2} x$ C、 $- \frac{x}{π}$ D、 $\frac{x + y}{5}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 $(- a^{3}) \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 $\frac{2 x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} = 2$

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4. 如图，点B ， E ， C ， F在同一条直线上，AB=DE ，要使△ABC≌△DEF ，则需要再添加的一组条件不可以是（）

A、∠A=∠D，∠B=∠DEF B、BC=EF，AC=DF C、AB⊥AC，DE⊥DF D、BE=CF，∠B=∠DEF

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5. 已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b ， ﹣3），则a＋b的值为（）

A、5 B、1 C、﹣1 D、﹣5

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6. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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7. 从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）

A、 $a^{2} - b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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8. 已知 $a + b = 5$ ， $a b = - 2$ ，则 $a^{2} - a b + b^{2}$ 的值是（）

A、30 B、31 C、32 D、33

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9. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ ， $A C$ 的中点，点 $P$ 是线段 $A D$ 上的一个动点，当 $△ P C E$ 的周长最小时， $P$ 点的位置在（）

A、 $△ A B C$ 的重心处 B、 $A D$ 的中点处 C、 $A$ 点处 D、 $D$ 点处

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10. 阅读理解：如果 $a - \frac{1}{a} = 1$ ，我们可以先将等式两边同时平方得到 ${(a - \frac{1}{a})}^{2} = 1$ ，再根据完全平方公式计算得： $a^{2} - 2 a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}} = 1$ ，即 $a^{2} - 2 + \frac{1}{a^{2}} = 1$ ，所以 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 3$ ．请运用上面的方法解决下面问题：如果 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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二、填空题

11. 要使分式 $\frac{m}{3 m - 2}$ 有意义，则 $m$ ．

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12. 若七边形的内角中有一个角为 $100 °$ ，则其余六个内角之和为．

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13. 因式分解 $a^{2} + a - 6$ 的结果是．

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14. 若等腰三角形的一个角为 $8 0^{∘}$ ，则它的另外两个角的度数分别为．

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15. 如图， $△ A B C ≅ △ A^{'} B C^{'}$ ， $∠ A B C = 66 °$ ， $∠ C = 40 °$ ，此时点 $A$ 恰好在线段 $A^{'} C^{'}$ 上，则 $∠ A B A^{'}$ 的度数为．

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16. 如图，将长方形纸片 $A B C D$ 沿其对角线 $A C$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 的位置， $A B^{'}$ 与 $C D$ 交于点 $E$ ．若 $A B = 8 ， A D = 3$ ，求图中阴影部分的周长．

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17. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 5}{2} \geq \frac{5 x}{3} - 1 \\ x + a < 8 \end{array}$ 的解集为 $x \leq 3$ ，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a}{2 - y} + \frac{y}{y - 2} = - 1$ 的解是正数，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和是．

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18. 对于一个四位数 $M$ ，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数 $M$ 为“等合数”．例如：数3465，∵3 $+ 6 = 4 + 5$ ， ∴3465是“等合数”，数2364，∵ $2 + 6 = 8$ ， $3 + 4 = 7$ ， ∴ $2 + 6 \neq 3 + 4$ ， ∴2364不是“等合数”，则最大的“等合数”为；若“等合数” $M$ 各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为 $M^{'}$ ，若 $F (M) = \frac{| M - M^{'} |}{9}$ 为完全平方数，则满足条件的 $M$ 的最小值为．

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三、解答题

19.

(1)、分解因式： $x^{3} - 9 x$ ；

(2)、化简： $(y + 2) (y - 2) - {(y - 1)}^{2}$ ．

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20. 学习了轴对称后，小璧和小山来到乡村振兴基地进行了实践性研究．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果 $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $∠ B = 3 0^{∘}$ ，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同．小山认为可以先作 $∠ A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，然后再过点 $D$ 作 $B C$ 边的垂线即可，小壁思考片刻后认为小山的方法复杂了，她还有更简洁的方法就可以做到——只需要作边 $A B$ 的垂直平分线一条辅助线即可办到．请聪明的你根据小璧的思路完成以下作图与填空：

(1)、用直尺和圆规作 $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，垂足为点 $E$ ．（只保留作图痕迹）

(2)、已知：如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $∠ B = 3 0^{∘}$ ，边 $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，垂足为点 $E$ ，连接 $A D$ ．
求证： $S_{△ A D C} = S_{△ A D E} = S_{△ B D E}$ ，
证明： $∵ ∠ C = 9 0^{∘} ， ∠ B = 3 0^{∘}$ ，
$∴ ∠ C A B =$     ▲         ，
由作图可知 $A E = B E ， D E ⊥ A B$ ，
$∴ ∠ D E A = ∠ D E B = ∠ C = 9 0^{∘}$ ，
$∴ △ E D A ≌ △ E D B (S A S)$ ，
$∵ D E$ 垂直平分 $A B$ ， $∴ D A =$     ▲         ，
$∴ ∠ D A E =$     ▲         ，
$∴ ∠ D A C = ∠ C A B - ∠ D A E = 6 0^{∘} - 3 0^{∘} = 3 0^{∘}$ ，
$∴ ∠ D A C =$     ▲         ，
$∴ △ E D A ≌ △ C D A (A A S) ， ∴ △ E D A ≌ △ E D B ≌ △ C D A$ ．
$∴ S_{△ A D C} = S_{△ A D E} = S_{△ B D E}$ ．

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21. 先化简，再求值： $(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x}$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ．

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22. 如图，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上， $∠ A D C = ∠ A E B = 90 °$ ， $B E$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $O B = O C$ ．
求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．

小虎同学的证明过程如下：

证明：∵ $∠ A D C = ∠ A E B = 90 °$ ，

∴ $∠ D O B + ∠ B = ∠ E O C + ∠ C = 90 °$ ．

∵ $∠ D O B = ∠ E O C$ ，

∴ $∠ B = ∠ C$ ．第一步

又 $O A = O A$ ， $O B = O C$ ，

∴ $△ A B O ≌ △ A C O$ 第二步

∴ $∠ 1 = ∠ 2$ 第三步

(1)、小虎同学的证明过程中，第步出现错误；

(2)、请写出正确的证明过程．

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23. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．

(1)、该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？

(2)、由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多 $50 ％$ ，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？

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24. 上午8时，一条船从海岛 $A$ 出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛 $B$ 处，从 $A ， B$ 望灯塔 $C$ ，测得 $∠ N A C = 3 0^{∘}$ ， $∠ N B C = 6 0^{∘}$ ．

(1)、求从海岛 $B$ 到灯塔 $C$ 的距离；

(2)、这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔 $C$ 的距离最短？

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25. 已知：在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A 、 C$ 分别在 $y$ 轴 $x$ 轴上，且 $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A C = B C$ ．

(1)、如图1， $A (0 ， - 2)$ ， $C (1 ， 0)$ ，当点 $B$ 在第四象限时，求点 $B$ 的坐标；

(2)、如图2，若 $B O$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 于 $D$ ，过 $A$ 作 $A E ⊥ y$ 轴，垂足为 $E$ ，请猜测线段 $A E$ 与线段 $B D$ 之间存在怎样的数量关系？并写出证明过程；

(3)、如图3，当点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上运动，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴，点 $B$ 在第四象限时，作 $B D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ，试判断① $\frac{O C + B D}{O A}$ 与② $\frac{O C - B D}{O A}$ 中是定值（只填序号），定值为．

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26. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $∠ B = 6 0^{∘}$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $E$ 为线段 $A B$ 上一动点．

(1)、如图1，当点 $E$ 在线段 $B D$ 上时，若 $B C = 3 \sqrt{3}$ ， $B E = \sqrt{3}$ ，求线段 $D E$ 的长．

(2)、如图2，当点 $E$ 在线段 $A D$ 上时，以 $C E$ 为边作等边 $△ C E F$ ，点 $G$ 是 $B C$ 上一点， $E C = E G$ ．求证： $A E = C G$ ．

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