贵州省六盘水市钟山区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-03-26 类型：期末考试

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一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）

1. $- 2$ 的绝对值是（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 习近平总书记在2024年新年贺词中点赞“村超”.2023年5月13日，贵州省榕江县举办了“和美乡村足球超级联赛”即为“村超”．该比赛迎来了全国各地的游客．据了解，5月份榕江县共接待游客1073700人次.1073700这个数用科学记数法表示正确的是（）

A、 $10.737 \times 1 0^{5}$ B、 $1.0737 \times 1 0^{6}$ C、 $107.37 \times 1 0^{4}$ D、 $0.10737 \times 1 0^{7}$

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4. 中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下表是我市某校九（1）班参加学校“纪念12.9主题演讲活动”的得分情况，表中“得分”数据的中位数是（）
评委
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
评委6
评委7
得分
9.6
9.4
9.5
9.6
9.4
9.6
9.3

A、9.3 B、9.4 C、9.5 D、9.6

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6. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，点O为位似中心，已知 $O C : O F = 5 : 3$ ，则AC与DF的比是（）

A、3：2 B、5：3 C、5：2 D、3：5

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7. 有6张完全相同的卡片，每张卡片的正面都写有一种常见的生活现象，将所有卡片背面朝上，从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 如图所示，点P表示数轴上的一个无理数，这个无理数最接近的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{3}$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与AB ， BC交于点D ， E ，再分别以点D ， E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 内交于点F ，作射线BF交AC于点G ，过点G作 $G H ⊥ A B$ 于点H ．若 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $△ A G H$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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10. 已知：a ， b是方程 $x^{2} + 3 x = 2$ 的两个实数根，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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11. 如图所示，小明用七巧板拼成一个对角线长为4的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形，则长方形的对角线长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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12. 如图，是利用一把直尺和一块三角尺ABC摆放并移动后得到的图形，其中 $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A_{1} C_{1} B_{1} = 30 °$ ， $A C = 8$ ，点A对应直尺的刻度为12，将该三角尺沿直尺边缘平移，使 $△ A B C$ 移动到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A_{1}$ 对应直尺的刻度为0，则点C到 $A_{1} C_{1}$ 的距离是（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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二、填空题（每小题4分，共16分）

13. 钟山区2023年12月某天的最高温度是9℃，最低温度是 $- 2$ ℃，则这天的温差是℃．

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14. 2023年11月，我国某品牌新能源汽车的销量为64万辆，预计2024年1月销量达到81万辆，设该厂销售月平均增长率为x ，则 $x =$ ．

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15. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P ，点F为焦点，若 $∠ 2 = 40 °$ ， $∠ 3 = 70 °$ ，则 $∠ 1 =$ ．

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16. 正三角形ABC的边长为1，D是BC边上的一点（点D不与点B、C重合），过点D作AB边的垂线，交AB于点G ，用x表示线段AG的长度， $R t △ G B D$ 的面积y是x的函数，则该函数的表达式是（要求写出自变量x的取值范围）

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三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）

17.

(1)、计算： $\sqrt{\frac{1}{2}} + {(π - 2024)}^{0} - c o s 45 °$ ；

(2)、已知： $A = a + 1$ ， $B = - a - 4$ ，当 $2 A = B$ 时，求a的值．

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18. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是整式，请写出整式M ，并写出完整的解答过程．
例：先化简，再求值： $\frac{M}{a - 1} - \frac{1}{a^{2} - a}$ ，其中 $a = 2023$
解：原式 $= \frac{a^{2}}{a (a - 1)} - \frac{1}{a (a - 1)}$ ．
……

(1)、整式 $M =$ ；

(2)、请写出完整的解答过程．

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19. 诗词从来不是曲高和寡的阳春白雪，而是无数中国人“日用而不知”的精神滋养之所在．某学校组织九年级学生参加“黔城读书月诗词大赛”区级选拔赛．为了解该年级学生参赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：
A： $60 \leq x < 70$ ；B： $70 \leq x < 80$ ；C： $80 \leq x < 90$ ；D： $90 \leq x \leq 100$ ，并绘制出如下统计图．
解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有多少人？请补全条形统计图；

(2)、学校将从D组最优秀的4名学生甲、乙、丙、丁中随机选取2人参加下一轮比赛，利用画树状图或列表得方法，求刚好抽到甲和丁参赛的概率．

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20. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE ，过点D作AE的垂线分别交AE ， AB于点F ， G ．

(1)、求证： $△ A D F ∽ △ E A B$ ；

(2)、若 $A D = 6$ ， $A F = 2 \sqrt{3}$ ，求AE的长．

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21. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于点 $A (2, - 4)$ ， $B (\frac{4}{m - 3}, m)$ ．

(1)、求一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的表达式；

(2)、已知点 $N (- 3, 0)$ ，试求 $S_{△ O A N}$ 与 $S_{△ O A B}$ 的数量关系．

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22. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．钟山电力部门在贵州屋脊乌蒙山韭菜坪一坡角为20°（ $∠ B D C = 20 °$ ）的坡地上新安装了一架风力发电机，如图①，为了解这架风力发电机的塔杆高度，某校数学组组织数学兴趣小组进行了实地测量．图②为测量示意图，测得斜坡BD长为57米，在地面观测，点D处测得风力发电机塔杆顶端A的仰角为59°．（参考数据： $s i n 20 ° \approx 0.34$ ， $c o s 20 ° \approx 0.94$ ， $t a n 59 ° \approx 1.66$ ）

图① 图②

(1)、求CD的长（结果保留一位小数）；

(2)、求该风力发电机塔杆AB的高度（结果保留整数）．

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23. 为抢抓大数据产业发展先机，紧跟电商发展新机遇、新模式、新业态，贵州省大力打造地方特色电商平台，通过“云”销售，助力“黔货出山”．贵州特产某品牌维C刺梨汁的进价为45元/箱，售价为60元/箱，某销售网店平均每周可售出100箱；而当销售价每降低1元时，平均每周多售出20箱．设每箱产品降价x元，每个周的销售利润为y元

(1)、求y与x的关系式；

(2)、当销售价为多少元时，每周获得的利润最大？并求出最大利润．

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24. 如图，在四边形ABCD中， $O A = O C$ ， $O B = O D$ ， $A B = B C$ ， $A C = 12$ ， $B D = 16$ ．

(1)、求证：四边形ABCD时菱形；

(2)、延长BC至点M ，连接OM交CD于点N ，若 $∠ M = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ，求 $\frac{M N}{O M}$ ．

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25. 我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标．类似的，我们解决二次函数图象与直线的交点问题时，也可以用同样的方法求解．
下面是通过方程思想解决二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图象与一次函数 $y = m x + n$ （ $m \neq 0$ ）图象的交点情况的部分探究过程：联立方程组 ${\begin{cases} a x^{2} + b x + c = y \\ m x + n = y \end{cases}$ 得 $a x^{2} + b x + c = m x + n$ ，
整理得： $a x^{2} + (b - m) x + c - n = 0$ ， ∵ $a \neq 0$
∴方程 $a x^{2} + (b - m) x + c - n = 0$ 是关于x的一元二次方程，则 $Δ = {(b - m)}^{2} - 4 a (c - n)$ ，
当 $Δ > 0$ 时，方程有两个不相等的实数根，
∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点．
任务：

(1)、请参照文中 $Δ > 0$ 时的分析过程，直接写出当 $Δ < 0$ 和 $Δ = 0$ 时的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图象与一次函数 $y = m x + n$ （ $m \neq 0$ ）图象的交点情况；

(2)、若二次函数 $y_{1} = x^{2} + 3 x + c$ 的图象与一次函数 $y_{2} = 3 x + 5$ 的图象有两个交点，求c的取值范围；

(3)、当（2）中的c取最小正整数时，直接写出不等式 $x^{2} + c - 5 > 0$ 的解集．

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评委	评委1	评委2	评委3	评委4	评委5	评委6	评委7
得分	9.6	9.4	9.5	9.6	9.4	9.6	9.3