2024年初中数学二轮复习专题——数学活动：杠杆与分段计费

试卷更新日期：2024-03-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（）．

A、36元 B、48元 C、63元 D、81元

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2. 某医疗保险产品对住院病人的费用实行分段报销，报销细则如下表．若某人的住院治疗费用报销所得金额是1100元，那么此人住院的医疗费是（）
住院医疗费(元)
报销率(%)
不超过500元的部分
0
超过500~1000元的部分
60
超过1000~3000元的部分
80
……
……

A、1000元 B、1250元 C、1500元 D、2000元

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3. 某小区实行“阶梯水价”收费，若每户用水不超过10吨，每吨收费a元；超过10吨，超过部分每吨加收1元，一用户12月份用水14吨，缴纳水费32元，根据题意列方程为（）

A、10a+4(a+1)= 32 B、10a-4(a+1)=32 C、10(a+1)=32 D、14(a+1)-4= 32

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4. 杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内， $A B$ 之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（）

A、在量程范围内，质量m越大， $A B$ 之间的距离l越大； B、未挂重物时， $A B$ 之间的距离l为 $3 c m$ ； C、当 $A B$ 之间的距离l为 $15 c m$ 时，重物质量m为 $4 ． 5 k g$ ； D、在量程范围内，重物质量m每增加 $1 k g$ ， $A B$ 之间的距离l增加 $2 c m$ ．

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5. 由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力 $\times$ 动力臂 $=$ 阻力 $\times$ 阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（）

A、6克 B、4克 C、3.5克 D、3克

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6. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数表达式正确的是（）

A、 $F = \frac{1200}{l}$ B、 $F = \frac{600}{l}$ C、 $F = \frac{500}{l}$ D、 $F = \frac{0.5}{l}$

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二、填空题

7. 华容县为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20吨，每吨收费2元；若用水超过20吨，超过部分每吨加收1元．小明家5月份交水费52元，则他家该月用水吨．

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8. 下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算）

打车方式	出租车	3千米以内8元；超过3千米的部分2.4元/千米
打车方式	滴滴快车	路程：1.4元/千米；时间：0.6元/分钟
说明	打车的平均车速40千米/时

假设乘坐8千米，耗时：8÷40×60＝12分钟；出租车收费：8＋（8－3）×2.4＝20元；滴滴快车收费：8×1.4＋12×0.6＝18.4元．

为了提升市场竞争力，出租车公司推出行使里程超过10千米立减4.8元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费22.4元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付元．

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9. 某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使 $B P$ 扩大到原来的n（ $n > 1$ ）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为（N）（用含n，k的代数式表示）．

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10. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离 $y$ cm与所挂物重 $x$ kg之间满足一次函数关系．若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为 $2.5$ cm，挂 $1$ kg物体时秤砣到秤纽的水平距离为 $8$ cm．则当秤砣到秤纽的水平距离为 $30$ cm时，秤钩所挂物重为．

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11. 某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别县挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为（N）（用含n，k的代数式表示）．

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三、解答题

12. 为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行“阶梯电价”收费，收费标准如下表：
每户每月用电量（度）
电费（元/度）
不超过200度
$0.5$
超过200度且不超过500度的部分
$0.6$
超过500度的部分
$0.8$

(1)、小明家今年3月份用电310度，求小明家3月份应缴电费多少元？

(2)、小明家今年7月份用电增大，7月份的平均电价为 $0.64$ 元/度，求小明家今年7月份用电多少度？共用电费多少元？

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13. 燃油车和新能源车是人们在购车过程中的两个不同选择，方方调查了两款售价相同的燃油车和新能源车的相关数据．燃油车每千米的行驶费用为0.6元，若行驶距离均为600km，燃油车的花费比新能源车多300元．

(1)、求新能源车每千米的行驶费用；

(2)、若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为6000元和9000元，问：每年行驶里程超过多少千米后，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）

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14. 某市出租车收费标准如下表所示，根据此收费标准，解决下列问题：
行驶路程
收费标准
不超出 $2 k m$ 的部分
起步价8元
超出 $2 k m$ 的部分
2.5元／ $k m$

(1)、若行驶路程为 $4 k m$ ，则打车费用为多少元？

(2)、若行驶路程为 $x k m (x > 6)$ ，则打车费用为多少元？（用含x的代数式表示）；

(3)、某同学周末放学回家，已知打车费用为33元，则他家离学校多少千米？

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15. 某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次
月用电量
电价（元/度）
第1档
不超过240度的部分
a
第2档
超过240度但不超过400度的部分
0.65
第3档
超过400度的部分
$a + 0.3$
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元．

(1)、表中a的值为；

(2)、求老李家9月份的用电量；

(3)、若8月份老李家用电的平均电价为0.76元/度，求老李家8月份的用电量．

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16. 某公园有以下A，B，C三种购票方式：
种类购票方式
A 一次性使用门票，每张8元
B 年票每张80元，持票者每次进入公园无需再购买门票
C 年票每张40元，持票者进入公园时需再购买每次4元的门票

(1)、某游客一年中进入该公园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用（用含a的代数式表示）；

(2)、某游客一年中进入该公园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请说明理由；

(3)、已知甲，乙，丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该公园的
次数相同．一年中，若甲所花的费用比乙和丙两人所花费用之和少60元，请直接写出甲一年中进入该公园的次数.

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17. 为落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下表：
若某户居民去年用水量为 $190$ 立方米，则其应缴纳水费为 $180 \times 5 + (190 - 180) \times 7 = 970$ 元．

(1)、小明家一年用水 $180$ 立方米，这一年应缴纳水费元；

(2)、小亮家—年缴纳水费 $1180$ 元，则小亮家这一年用水多少立方米？

(3)、小红家去年和今年共用水 $520$ 立方米，共缴纳水费 $2950$ 元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小红家今年和去年各用水多少立方米？

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18. 有下列两种移动电话计费方法：

月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
A套餐
38
100
0.2
免费
B套餐
98
500
0.25
免费
其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费．

(1)、小慧的爸爸6月份主叫时间200分钟，则选用A套餐比选用B套餐节省多少元？

(2)、小宇的爸爸选择A套餐，小谦的爸爸选择B套餐，7月份他们的通话费相等，小宇的爸爸比小谦的爸爸主叫时间少20分钟，求小宇的爸爸7月份的主叫时间．

(3)、设主叫时间为t分钟，直接写出t满足什么条件时，B套餐省钱．

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19. 某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：

寄往本省内		寄往周边省份
首重	续重	首重	续重
8元/千克	5元/千克	12元/千克	6元/千克
说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费．②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为一个计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算）．

例如：寄往省内一件1.6千克的物品，运费总额为： $8 + 5 \times (0.5 + 0.5) = 13$ 元．寄往省外一件2.3千克的物品，运费总额为： $12 + 6 \times (1 + 0.5) = 21$ 元．（下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）

(1)、小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件2.8千克的物品，各需付运费多少元？

(2)、小明寄往省内一件重

(m + n)

千克，其中

m

是大于1的正整数，

n

为大于0且不超过0.5的小数（即

0 < n \leq 0.5

），则用含字母

m

的代数式表示小明这次寄件的运费为；

(3)、小明一次向省外寄了一件物品，用了36元，你能知道小明这次寄件物品的重量范围吗？

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20. 某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：
用水量/月
单价（元/m³）
不超过20 m³
2.05
超过20 m³的部分
3.05
另：每立方米用水加收0.8元的城市污水处理费和0.15元的城市附加费

(1)、根据上表，用水量每月不超过20 m³ ，实际每立方米收水费多少元？如果10月份某用户用水量为18 m³ ，那么该用户10月份应该缴纳水费多少元？

(2)、某用户11月份共缴纳水费80元，那么该用户11月份用水多少立方米？

(3)、若该用户水表12月份出了故障，有25%的水量没有计入水表中，这样该用户在12月份只缴纳了54元水费，问该用户12月份实际应该缴纳水费多少元？

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21. 下面是国家邮政局关于信函邮资的规定．

业务种类	计费单位	资费标准／元
		本地资费	外地资费
信函	首重 $100 g$ 内，每重 $20 g$ （不足 $20 g$ 按 $20 g$ 计算）	$0.80$	$1.20$
	续重 $101 ~ 2000 g$ 每重 $100 g$ （不足 $100 g$ 按 $100 g$ 计算）	$1.20$	$2.00$

(1)、一封重

45 g

的信寄给本市的朋友，应该付多少邮资？

(2)、一封信件寄往外地，共付8元邮资，这封信件最多重多少克？

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四、实践探究题

22. 某移动公司推出两款“

5 G

套餐”，计费方式如下：

套餐类别	套餐一	套餐二
通话不超时且	通话200分钟及以下，	通话250分钟及以下，
流量不超量	流量 $20 G B$ 及以下，	流量 $30 G B$ 及以下，
	各种费用月费共计69元．	各种费用月费共计99元．
通话超时或	通话超时部分加收0.15元/分；	通话超时部分加收0.12元/分；
上网超量	流量超量部分加收2.5元 $/ G B$ ．	流量超量部分加收2元/ $G B$ ．

(1)、若某月小明通话时间为300分钟，上网流量为

25 G B

，则他按套餐一计费需要的费用是元；按套餐二计费需要的费用是元；

(2)、若上网流量为

26 G B

，是否可能通话时间相同，按套餐一和套餐二的计费也相等？请你作出判断并说明理由．

(3)、为迎接新春佳节到来，移动公司针对两款套餐推出限时优惠活动：套餐一对通话超时和上网超量部分的费用打8折；套餐二月费从99元降到90元。小明认为：“当通话超过250分钟，流量超过

30 G B

时，两款套餐费用差额为一确定的值．”你认为小明的判断正确吗？如果正确，请求出这一确定的值；如果不正确，请说明理由．

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23. 【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得： $(m_{0} + m) \cdot l = M \cdot (a + y)$ ，其中秤盘质量 $m_{0}$ 克，重物质量 $m$ 克，秤砣质量 $M$ 克，秤纽与秤盘的水平距离为 $1$ 厘米，秤组与零刻线的水平距离为 $a$ 厘米，秤砣与零刻线的水平距离为 $y$ 厘米．

【方案设计】：目标：设计简易杆秤 $.$ 设定 $m_{0} = 10$ ， $M = 50$ ，最大可称重物质量为 $1000$ 克，零刻线与末刻线的距离定为 $50$ 厘米．

任务一：确定 $l$ 和 $a$ 的值．

(1)、当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于 $l$ ， $a$ 的方程；

(2)、当秤盘放入质量为 $1000$ 克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于 $l$ ， $a$ 的方程；

(3)、根据(1)和(2)所列方程，求出 $l$ 和 $a$ 的值；

(4)、任务二：确定刻线的位置．
根据任务一，求 $y$ 关于 $m$ 的函数解析式；

(5)、从零刻线开始，每隔 $100$ 克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

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五、综合题

24. 公园门票价格规定如下：
购票张数
1-50张
51-100张
100张以上
每张票的价格
13元
11元
9元
某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位进行购票，则一共应付1240元，问：

(1)、两个班各有多少个学生？

(2)、如果两班联合起来，作为一个团体票能省多少钱？如果七（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？

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25. 杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图1，即 $F_{1} \times L_{1} = F_{2} \times L_{2}$ ），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点 $O$ ，并用细麻绳固定，在支点 $O$ 左侧10cm的 $A$ 处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与称砣绳长的重量忽略不计）

(1)、图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点 $O$ 右侧的 $B$ 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时， $O B$ 的长度随之变化．设重物的质量为 $x$ kg， $O B$ 的长为 $y$ cm．则 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是；若 $0 < y < 50$ ，则 $x$ 的取值范围是．

(2)、调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点 $O$ 右侧的 $B$ 处，使秤杆平衡，如图3．设重物的质量为 $x$ kg， $O B$ 的长为 $y$ cm．完成下列问题：
① $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是      ▲ ；
②完成下表：
$x$ /kg
…
0.25
0.5
1
2
4
…
$y$ /cm
…
      ▲
      ▲
      ▲
      ▲
      ▲
…
③在直角坐标系中画出该函数的图象．

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住院医疗费(元)	报销率(%)
不超过500元的部分	0
超过500~1000元的部分	60
超过1000~3000元的部分	80
……	……

每户每月用电量（度）	电费（元/度）
不超过200度	$0.5$
超过200度且不超过500度的部分	$0.6$
超过500度的部分	$0.8$

行驶路程	收费标准
不超出 $2 k m$ 的部分	起步价8元
超出 $2 k m$ 的部分	2.5元／ $k m$

档次	月用电量	电价（元/度）
第1档	不超过240度的部分	a
第2档	超过240度但不超过400度的部分	0.65
第3档	超过400度的部分	$a + 0.3$

种类	购票方式
A	一次性使用门票，每张8元
B	年票每张80元，持票者每次进入公园无需再购买门票
C	年票每张40元，持票者进入公园时需再购买每次4元的门票

	月使用费/元	主叫限定时间/min	主叫超时费/（元/min）	被叫
A套餐	38	100	0.2	免费
B套餐	98	500	0.25	免费

用水量/月	单价（元/m³）
不超过20 m³	2.05
超过20 m³的部分	3.05
另：每立方米用水加收0.8元的城市污水处理费和0.15元的城市附加费

购票张数	1-50张	51-100张	100张以上
每张票的价格	13元	11元	9元

$x$ /kg	…	0.25	0.5	1	2	4	…
$y$ /cm	…	▲	▲	▲	▲	▲	…