2024年北师版数学八年级下册周测卷（第五章第1-3节）培优卷

试卷更新日期：2024-03-26 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 的自变量的取值范围是（）

A、 $x \geq ﹣ 1$ B、 $x \geq ﹣ 1$ 且 $x \neq 0$ C、 $x > 0$ D、 $x > - 1$ 且 $x \neq 0$

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2. 若分式 $\frac{x - 1}{3 x + 1}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值是（　　）

A、1 B、0 C、-1 D、-3

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3. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（）

A、只有乙 B、甲和丁 C、乙和丙 D、乙和丁

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4. 计算 $(a - \frac{1}{b}) \div (\frac{1}{a} - b)$ 的结果是（）

A、 $- \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a}{b}$ C、 $- \frac{b}{a}$ D、 $\frac{b}{a}$

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5. $\frac{2}{x^{2} - 4} \div \frac{1}{x^{2} - 2 x}$ 的计算结果为（）

A、 $\frac{x}{x + 2}$ B、 $\frac{2 x}{x + 2}$ C、 $\frac{2 x}{x - 2}$ D、 $\frac{2}{x (x + 2)}$

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6. 若m－n＝2，则代数式 $\frac{m^{2} - n^{2}}{m} \cdot \frac{2 m}{m + n}$ 的值是（）

A、－2 B、2 C、－4 D、4

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7. 化简 $\frac{4}{x + 2} + x - 2$ 的结果是（）

A、1 B、 $\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$ C、 $\frac{x}{x + 2}$ D、 $\frac{x^{2}}{x + 2}$

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8. 下列计算正确的是（）

A、 $\frac{a^{6}}{a^{3}} = a^{2}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $\frac{a}{(a + b)^{2}} + \frac{b}{(a + b)^{2}} = a + b$ D、 ${(- \frac{1}{3})}^{0} = 1$

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9. 已知 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，计算 $(\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的值是（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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10. 试卷上一个正确的式子（ $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}$ ）÷★＝ $\frac{2}{a + b}$ 被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（）

A、 $\frac{a}{a - b}$ B、 $\frac{a - b}{a}$ C、 $\frac{a}{a + b}$ D、 $\frac{4 a}{a^{2} - b^{2}}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 计算 $\frac{3 a b}{x} \cdot \frac{2 x^{2}}{9 a b^{2}} =$ ．

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12. 计算： $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} \div \frac{x + 1}{2 x - 2} =$ ．

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13. 已知 $a = \sqrt{2} + 1$ ，则 $\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a - 1} =$ ．

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14. 如果 $\frac{a}{b} = 2$ ，则 $\frac{a^{2} - a b - b^{2}}{a^{2} + b^{2}} =$ ．

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15. 已知： $\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)}$ ＝ $\frac{A}{x - 1}$ + $\frac{B}{x - 2}$ ，则A＝， B＝.

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16. 已知非零实数x，y满足 $y = \frac{x}{x + 1}$ ，则 $\frac{x - y}{x y}$ 的值是．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 先化简 $(\frac{x^{2}}{x + 3} - x + 3) \div \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9}$ ，再从 $- 3$ ， $0$ ， $3$ 中选择合适的 $x$ 值代入求值．

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18. 先化简再求值： $(\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x - 2}$ ，其中x取不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (x - 2) \geq 0 \\ - 3 x + 1 > - 14 \end{array}$ 的整数解中的一个值．

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19. 先化简再求值： $\frac{m - 2}{m^{2} - 1} \div (m - 1 - \frac{2 m - 1}{m + 1})$ ，其中m是方程 $x^{2} - x = 2016$ 的解．

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20. 先化简，再求值 $\frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{a - b} + (\frac{1}{b} - \frac{1}{a}) ，$ 其中a $= \sqrt{2} - 1 ， b = \sqrt{2} + 1 .$

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21. 先化简，在求值： $(\frac{x^{2}}{x + 1} - x + 1) \div \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，再从 $- 1 、 0 、 1$ 三个数中选择一个你认为合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

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22. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：

(1)、接力中，自己负责的一步出现错误的是

A、只有乙 B、甲和丁 C、乙和丙 D、乙和丁

(2)、请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，﹣2”中选择一个合适的数求值.

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23. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式，假分数 $\frac{7}{4}$ 可以化成 $1 + \frac{3}{4}$ （即 $1 \frac{3}{4}$ ）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ．
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{5}{x}$ 是（填“真分式”或“假分式”）；假分式 $\frac{x + 5}{x + 2}$ 可化为带分式形式；

(2)、如果分式 $\frac{x - 4}{x - 1}$ 的值为整数，求满足条件的整数x的值；

(3)、若分式 $\frac{3 x^{2} + 8}{x^{2} + 2}$ 的值为m，则m的取值范围是（直接写出结果）

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24. 我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.任何一个假分式都可以化作整式与真分式的和的形式.
如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ； $\frac{2 x - 3}{x + 1} = \frac{2 x + 2 - 5}{x + 1} = \frac{2 x + 2}{x + 1} + \frac{- 5}{x + 1} = 2 + (- \frac{5}{x + 1})$

(1)、下列分式中，属于真分式的是（填序号）；
① $\frac{a - 2}{a + 1}$ ② $\frac{x^{2}}{x + 1}$ ③ $\frac{a^{2} + 3}{a^{2} - 1}$ ④ $\frac{2 b}{b^{2} + 3}$

(2)、将假分式 $\frac{4 a + 3}{2 a - 1}$ 化为整式与真分式的和的形式： $\frac{4 a + 3}{2 a - 1} =$ ；若假分式 $\frac{4 a + 3}{2 a - 1}$ 的值为正整数，则整数 $a$ 的值为；

(3)、请你写出假分式 $\frac{2 a^{2} + 6}{a - 1}$ 化成整式与真分式的和的形式的完整过程.

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