2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 4.5 垂线同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n ，则直线l与n的位置关系是（）

A、相交 B、相交且垂直 C、平行 D、不能确定

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2. 若P，Q是直线AB 外不重合的两点，则下列说法中，错误的是（）

A、直线 PQ可能与直线 AB 垂直 B、直线 PQ可能与直线 AB 平行 C、过点 P 的直线一定能与直线AB 相交 D、过点Q只能画出一条直线与直线AB 平行

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3. 如图， $A B / / C D$ ， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ， $O F$ 平分 $∠ B O D$ ， $O P ⊥ C D$ ， $∠ A B O = 40 °$ ，则下列结论：
      $① O F ⊥ O E$ ；
      $② ∠ B O E = 70 °$ ；
      $③ ∠ P O E = ∠ B O F$ ；
      $④ ∠ P O B = 2 ∠ D O F$ ．
其中正确结论有个．（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4. 如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，则下列结论：①OG⊥AB；②OF平分∠BOD；③∠AOE=65°；④∠GOE=∠DOF，其中正确的有 (　　)

A、1个　　　　 B、2个　　　　 C、3个　　　　 D、4个

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5. 如图，AB∥CD，∠C＝70°，BE⊥BC，则∠ABE等于（）

A、20° B、30° C、35° D、60°

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6. 如图， $A B ∥ C D$ ，直线 $M N$ 交 $A B$ 于点E ，过点E作 $E F ⊥ M N$ ；交 $C D$ 于点F ，若 $∠ 1 = 40 °$ ．则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $40 °$ C、 $30 °$ D、 $60 °$

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7. 小强在科学课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验，如图，老师在该厂房房檐处安装一平面镜 $M N$ ， $M N$ 与墙面 $A B$ 所成的角 $∠ M N B$ 为 $118 °$ ，房顶 $A M$ 与水平地面平行，小强在点M的正下方C处观察平面镜，恰能在M点看到水平地面上的点D．则 $∠ D M C$ 的度数为（）

A、 $56 °$ B、 $59 °$ C、 $62 °$ D、 $72 °$

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8. 下列说法中正确的个数为（）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

③经过两点有一条直线，并且只有一条直线；

④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD=30°，OE⊥CD，则∠AOE的度数为．

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10. 如图，已知直线 $a ∥ b$ ，点B在直线a上，点A、C在直线b上，且 $A B ⊥ B C$ ．若 $∠ 1 = 3 5^{∘}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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11. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ，射线 $O F$ 垂直于 $O D$ 且平分 $∠ A O E$ ，若 $∠ B O D = 30 °$ ，则 $∠ D O E$ 的度数是．

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12. 如图，平面中两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 相交于点 $O$ ，对于平面上任意一点 $M$ ，若点 $M$ 到直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离分别是 $p c m$ 、 $q c m$ ，则称有序实数对 $(p ， q)$ 是点 $M$ 的“距离坐标” $.$ 特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为 $0 .$ 下列说法：
$①$ “距离坐标”是 $(0 ， 0)$ 的点只有点 $O$ ；
$②$ “距离坐标”是 $(0 ， 1)$ 的点只有 $1$ 个；
$③$ “距离坐标”是 $(2 ， 2)$ 的点共有 $4$ 个；
正确的有 $($ 填序号 $)$ ．

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13. 如图， $A B ∥ C D$ ， $C D ∥ E F$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $A C ⊥ C E$ ，有下列结论：① $A B ∥ E F$ ；② $2 ∠ 1 - ∠ 4 = 90 °$ ；③ $∠ 3 + \frac{1}{2} ∠ 4 = 120 °$ ；④ $2 ∠ 3 - ∠ 2 = 180 °$ .其中正确的结论.（填写序号）

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14. 如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分 $∠ B E F$ ，交直线CD于点G，若 $∠ M F D = ∠ B E F = 58 °$ ，射线 $G P ⊥ E G$ 于点G，则 $∠ P G F =$ .

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三、解答题

15. 已知， $M N ∥ P Q$ ，直线 $A B$ 交 $M N$ 于点 $A$ ，交 $P Q$ 于点 $B$ ，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，过 $C$ 作射线 $C E$ 、 $C F$ 分别交直线 $M N$ 、 $P Q$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

(1)、如图1，当 $C E ⊥ C F$ 时，求 $∠ A E C + ∠ B F C$ 的度数；

(2)、如图2，若 $∠ M E C$ 和 $∠ P F T$ 的角平分线交于点 $G$ ，求 $∠ E C F$ 和 $∠ G$ 的数量关系；

(3)、如图3，在（2）的基础上，当 $C E ⊥ C F$ ，且 $∠ A B P = 60 °$ ， $∠ A C E = 20 °$ 时，射线 $F T$ 绕点 $F$ 以 $5 °$ 每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为 $t$ 秒，当射线 $F G$ 与 $△ A E C$ 的一边互相平行时，请直接写出 $t$ 的值．

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16. 如图，已知： $C D ⊥ A B$ 于D ，过点D作 $D E ∥ A C$ 交BC于E ，过点E作 $E F ⊥ A B$ 于F.

(1)、补全图形；

(2)、比较大小：EFEB ，其中的数学依据是：；

(3)、请你猜想 $∠ A C D$ 与 $∠ D E F$ 的数量关系，并证明你的结论；

(4)、若 $∠ F E B = ∠ A C D + 5 °$ ， $∠ D E C = 105 °$ ，求 $∠ D E F$ 的度数.

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四、综合题

17. 如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE， $∠ F D C = ∠ F C D$ .

(1)、当 $∠ A F C = 116 °$ 时，求∠DCE：

(2)、点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP.若CA为∠BCF的角平分线， $∠ N C D = \frac{1}{3} ∠ A C F$ ， $3 ∠ B C N - 2 ∠ C F P = 270 °$ ，探究直线CD上是否存在一点Q，使得 $F Q < F P$ .

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18. 如图，直线 $B C$ 与 $∠ M A N$ 的两边交于 $B$ ， $C$ 两点， $∠ A B C = α (0 ° < α < 90 °)$ ，点 $D$ 是 $A N$ 边上一个动点，连接 $D B$ ．

(1)、过点 $B$ 作 $B D ⊥ A M$ ，交射线 $A N$ 于点 $D$ ，依题意补全图形，
①直接写出 $∠ C B D$ 的度数（用含α的式子表示）；
②若点 $E$ ， $F$ 在 $A B$ ， $A D$ 的延长线上，并且直线 $E F ∥ B C$ ，当 $D E$ 平分 $∠ A E F$ 时，求 $∠ B D E$ 的度数（用含 $α$ 的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点 $D$ 作 $D H ∥ B C$ 交射线 $A B$ 于点 $H$ ，通过转化角可以求出 $∠ B D E$ 的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出 $∠ B D E$ 的度数．

(2)、参考小林思考问题的方法，解决问题：若点 $E$ ， $F$ 在 $A B$ ， $A D$ 的延长线上，并且直线 $E F ∥ B C$ ，当点 $D$ 在 $A N$ 上运动时，直接用含 $α$ 的等式表示 $∠ B D E$ ， $∠ D B C$ ， $∠ B E D$ 的数量关系．

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