2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.3 公式法同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如果x²+ax+121是两个数的和的平方的形式；那么a的值是（）

A、22 B、11 C、±22 D、±11

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2. 下列各式的分解因式：
① $64 m^{2} - 9 n^{2} = (8 m + 3 n) (8 m - 3 n)$ ；② $- 9 a^{2} - b^{2} = - (3 a + b) (3 a - b)$ ；
③ $x^{2} - 10 = (x - 5) (x + 2)$ ；④ $- 4 x^{2} - 4 x + 1 = - {(2 x - 1)}^{2}$ .
其中正确的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、0

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3. 课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（）
用平方差公式分解下列各式：
          $(1) a^{2} - b^{2}$
          $(2) x^{2} - 1$
          $(3) - x^{2} - y^{2}$
          $(4) 4 m^{2} - 25 n^{2}$

A、第 $(1)$ 道题 B、第 $(2)$ 道题 C、第 $(3)$ 道题 D、第 $(4)$ 道题

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4. 把多项式ax²-ay²分解因式，需用到（）

A、提取公因式 B、平方差公式 C、提取公因式和平方差公式 D、以上都不对

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5. 已知 $m^{2} = 3 n + a ， n^{2} = 3 m + a ， m \neq n$ ，则 $m^{2} + 2 m n + n^{2}$ 的值为（）

A、9 B、6 C、4 D、2

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6. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x²+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将 $3 a (x^{2} - 1) - 3 b (x^{2} - 1)$ 分解因式，结果呈现的密码信息可能是（）

A、我爱学 B、我爱数学 C、我爱思考 D、数学思考

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7. 下列多项式分解因式后，结果中含有相同因式，的是（）
①16x²-8x；②(x-1)²-4(x-1)+4；③(x+1)⁴-4x(x+1)²+4x²；④-4x²-1+4x．

A、①和② B、③和④ C、①和④ D、②和③

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8. 下列多项式能用公式法分解因式的有（）
①x²-2x-1；② $\frac{x^{2}}{4}$ -x+1；③-a²-b²；④-a²+b²；⑤x²-4xy+4y² ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 已知 $x + y = 5$ ， $x - y = 1$ .则代数式 $x^{2} - y^{2}$ 的值是.

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10. 若整式x²+ky² (k≠0且k为常数)能在有理数范围内进行因式分解，则k= ． (写出一个即可)

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11. 分解因式：(1) $a^{2} - 9 =$ .(2)a²b-6ab+9b=.

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12. 若关于x的二次三项式x²+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝．

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13. 下列各式：① $- x^{2} - y^{2}$ ；② $- \frac{1}{4} a^{2} b^{2} + 1$ ；③ $a^{2} + a b + b^{2}$ ；④ $\frac{1}{4} - m n + m^{2} n^{2}$ ，能用公式法分解因式的是（填序号）．

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三、解答题

14. 阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．

(1)、利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a²x+a²y+b²x+b²y ．

(2)、因式分解：a²+2ab+b²﹣1＝（直接写出结果）．

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15. 先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1$ .
解：将“ $x + y$ ”看成一个整体，设 $x + y = m$ ，则原式 $= m^{2} + 2 m + 1 = {(m + 1)}^{2}$ .
再将 $x + y = m$ 代入，得原式 $= {(x + y + 1)}^{2}$ .
上述解题方法用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请写出下列因式分解的结果：

(1)、因式分解： $1 - 2 (x - y) + {(x - y)}^{2} =$ ；

(2)、因式分解： $25 {(a - 1)}^{2} - 10 (a - 1) + 1 =$ ；

(3)、因式分解： $(y^{2} - 4 y) (y^{2} - 4 y + 8) + 16$ .

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四、综合题

16. 在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：

例：因式分解： $(x^{2} + 6 x + 5) (x^{2} + 6 x - 7) + 36$

解：设 $x^{2} + 6 x = y$

原式 $= (y + 5) (y - 7) + 36$ 第一步

$= y^{2} - 2 y + 1$ 第二步

$= (y - 1)^{2}$ 第三步

$= (x^{2} + 6 x - 1)^{2}$ 第四步

完成下列任务：

(1)、例题中第二步到第三步运用了因式分解的；(填序号)

①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；

(2)、请你模仿以上例题分解因式：

(a^{2} - 4 a + 2) (a^{2} - 4 a + 6) + 4

．

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17. 阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 3 x + 4) (x^{2} - 3 x + 6) + 1$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 3 x = m$
原式 $= (m + 4) (m + 6) + 1$ （第一步）
      $= m^{2} + 10 m + 25$ （第二步）
      $= {(m + 5)}^{2}$ （第三步）
      $= {(x^{2} - 3 x + 5)}^{2}$ （第四步）
回答下列问题：

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是．
      $A$ .提取公因式     $B$ .平方差公式     $C$ .完全平方公式

(2)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $(a^{2} - 4 a + 2) (a^{2} - 4 a + 6) + 4$ 进行因式分解．

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