2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.1 多项式的因式分解同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $2 a b (a - b) = 2 a^{2} b - 2 a b^{2}$ B、 $x^{2} - 3 x + 1 = x (x - 3) + 1$ C、 $4 a^{2} - 4 a + 1 = {(2 a - 1)}^{2}$ D、 $x^{2} + 1 = (x + 1) (x - 1)$

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2. 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、2a²-3a+1＝a（2a-3）+1 B、 $x y - 1 = x y (1 - \frac{1}{x y})$ C、（a+1）（a-1）＝a²-1 D、-4-x²y²+4xy＝-（2-xy）²

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3. 下列从左到右是因式分解且正确的是（）

A、 $x^{2} - 4 = {(x - 2)}^{2}$ B、 ${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ C、 $x^{2} - 4 - 4 x = (x - 2) (x + 2) - 4 x$ D、 $x y + x = x (y + 1)$

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4. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、10x²﹣5x＝5x（2x﹣1） B、a（m＋n）＝am＋an C、（a＋b）²＝a²＋b² D、x²﹣16＋6x＝（x＋4）（x﹣4）＋6x

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5. 如果多项式 $x^{2} + a x + b$ 可因式分解为 $(x - 1) (x + 2)$ ，则a、b的值为（）

A、 $a = 1$ ， $b = 2$ B、 $a = 1$ ， $b = - 2$ C、 $a = - 1$ ， $b = - 2$ D、 $a = - 1$ ， $b = 2$

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6. 已知多项式 $a x^{2} + b x + c$ 因式分解的结果为 $(x - 1)$ . $(x + 4)$ ，则abc为（）

A、12 B、9 C、-9 D、-12

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7. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）

A、ax＋bx＋c＝（a＋b）x＋c B、（a＋b）（a﹣b）＝a²﹣b² C、（a＋b）²＝a²＋2ab＋b² D、a²﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a＋1）

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8. 对于等式12xy²＝3xy•4y有下列两种说法：①从左向右是因式分解；②从右向左是整式乘法，关于这两种说法正确的是（）

A、①、②均正确 B、①正确，②不正确 C、①不正确，②正确 D、①、②均不正确

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二、填空题

9. 甲、乙两个同学因式分解 $x^{2} + a x + b$ 时，甲看错了 $b$ ，分解结果为 $(x + 4) (x - 8)$ ，乙看错了 $a$ ，分解结果为 $(x - 2) (x + 6)$ .则 $a =$ ， $b =$ .

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10. 把一个多项式化成几个整式的的形式,这种变形叫做因式分解,也可称为分解因式.结构特征:左边是一个;右边是几个的形式.

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11. 若关于x的二次三项式x²+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为

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12. 如果把多项式x²﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m﹣n的值为

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13. 如果 $(x + 3) (x + a) - 2$ 可以因式分解为 $(x + m) (x + n)$ （其中 $m$ ， $n$ 均为整数），则 $a$ 的值是．

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三、解答题

14. 阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab，
即x²+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x²+4x+3=x²+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；
（2）x²﹣4x﹣5=x²+（1﹣5）x+1×（﹣5）=（x+1）（x﹣5）．
请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x²﹣7x﹣18．

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15. 下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
（1）a（x+y）=ax+ay
（2）x²+2xy+y﹣1=x（x+2y）+（y+1）（y﹣1）
（3）ax²﹣9a=a（x+3）（x﹣3）
（4）x²+2+ $\frac{1}{x^{2}}$ = ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$
（5）2a³=2a•a•a．

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16. 细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x²﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n
∴ $\{\begin{matrix} n + 3 = - 4 \\ m = 3 n \end{matrix}$ ．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x²+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

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四、综合题

17. 仔细阅读下面例题，解答问题.
（例题）已知关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 4 x + m$ 有一个因式是 $(x + 3)$ ，求另一个因式及 $m$ 的值.

解：设另一个因式为 $(x + n)$ ，

则 $x^{2} - 4 x + m = (x + 3) (x + n)$ ，即 $x^{2} - 4 x + m = x^{2} + (n + 3) x + 3 n$ .

$∴ {\begin{array}{l} n + 3 = - 4 ， \\ 3 n = m . \end{array}$ 解得 ${\begin{array}{l} m = - 21 ， \\ n = - 7. \end{array}$

∴另一个因式为 $(x - 7)$ ， $m$ 的值为 $- 21$ .

（问题）仿照以上方法解答下面问题：

(1)、已知关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + 7 x + a$ 有一个因式是 $(x - 2)$ ，求另一个因式及 $a$ 的值.

(2)、已知关于 $x$ 的多项式 $2 x^{2} + 3 x - k$ 有一个因式是 $(x + 4)$ ，求 $k$ 的值.

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