2023-2024学年湘教版初中数学七年级下学期 3.1 多项式的因式分解同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x+1)(x-3)，则这个多项式为（）

A、 $x^{2} + 3 x - 2$ B、 $x^{2} + 2 x - 3$ C、 $x^{2} - 2 x - 3$ D、 $x^{2} - 3 x + 2$

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2. 下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ B、 $x^{2} - 4 x + 4 = x (x - 4) + 4$ C、 $(x + 3) (x - 4) = x^{2} - x - 12$ D、 $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$

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3. 下面有两个对代数式进行变形的过程：
①(c+b)(c-b)-a(a+2b)=c²-b²-a²-2ab=c²-(b²+a²+2ab)=c²-(a+b)²；
②(2a²+2)(a²-1)=2(a²+1)(a²-1)=2(a⁴-1)．
其中，完成“分解因式”要求的（）

A、只有① B、只有② C、有①和② D、一个也没有

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4. 下列因式分解正确的是（）

A、 $m^{2} + n^{2} = (m + n) (m - n)$ B、 $x^{2} + 2 x - 1 = {(x - 1)}^{2}$ C、 $a^{2} - a = a (a - 1)$ D、 $a^{2} + 2 a + 1 = a (a + 2) + 1$

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5. (3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果（）

A、9a²+y² B、-9a²+y² C、9a²-y² D、-9a²-y²

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6. 把x²+3x+c=(x+1)(x+2)，则c的值为（）

A、2 B、3 C、-2 D、-3

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7. 下列从左到右的变形为因式分解的是（　　）

A、xy²（x-1）＝x²y²-xy² B、（a+3）（a-3）＝a²-9 C、2023a²-2023＝2023（a+1）（a-1） D、x²+x-5＝（x-2）（x+3）+1

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8. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、8a²b＝2a•4ab B、4my－2y＝2y（2m－1） C、（m＋2n）（m－2n）＝m²－4n² D、a²－b²＋1＝（a＋b）（a－b）＋1

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二、填空题

9. 若关于x的多项式x²﹣mx+n能因式分解为：（x﹣2）（x+3），则m+n＝

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10. 下列变形：①（x+1）（x﹣1）=x²﹣1；②9a²﹣12a+4=（3a﹣2）²；③3abc³=3c•abc²；④3a²﹣6a=3a（a﹣2）中，是因式分解的有（填序号）

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11. 下列从左到右的变形：
①(x+1)(x-1)=x²-1．②3a²-6a=3a(a-2)．
③9a²-12a+4=(3a-2)² ． ④3abc³=3c·abc² ．
其中属于因式分解的有(填序号)

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12. 分解因式：

(1)、 ∵(x- 1)(x+2)=x²+x-2，
∴x²+x-2=

(2)、∵(m+5n)()=m²-25n² ，
∴m²-25n²=

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13. 分解因式x²+ax+b ，甲看错了a值，分解的结果是（x-3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x-2）（x-3），那么x²+ax+b分解因式正确的结果应该是．

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三、解答题

14. 下列由左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?请说出理由.
①a（x+y）=ax+ay；

②x²+2xy+y²-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）；

③ax²-9a＝a（x+3）（x-3）；

④x²+2+ $\frac{1}{x^{2}}$ = ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

⑤2a³＝2a·a·a.

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15. 仔细阅读下面例题．解答问题：

例题：已知二次三项式，x²-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．

解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x²-4x+m=(x+3)(x+n)．则x²-4x+m=x²+(n+3)x+3n，∴ ${\begin{cases} n + 3 = - 4 \\ 3 n = m \end{cases}$ ，解得 ${\begin{cases} n = - 7 \\ m = - 21 \end{cases}$ ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.

方法二：设x²-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x²-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).

仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x²-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．

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16. 先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x³﹣x²+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x³﹣x²+m=（2x+1）（x²+ax+b），
则：2x³﹣x²+m=2x³+（2a+1）x²+（a+2b）x+b
比较系数得 $\{\begin{matrix} 2 a + 1 = - 1 \\ a + 2 b = 0 \\ b = m \end{matrix}$ ，解得 $\{\begin{matrix} a = - 1 \\ b = \frac{1}{2} \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}$ ， ∴ $m = \frac{1}{2}$
解法二：设2x³﹣x²+m=A•（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取 $x = - \frac{1}{2}$ ，
2× ${(- \frac{1}{2})}^{3} - {(- \frac{1}{2})}^{2} + m = 0$ ，故 $m = \frac{1}{2}$ ．
（2）已知x⁴+mx³+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．

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四、综合题

17.

(1)、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ，这种从左到右的变形是；

(2)、 $(a + b) (2 a - b) = 2 a^{2} + a b - b^{2}$ ，这种从左到右的变形是.

(3)、依据因式分解的意义，因为 $(x + 2 y) (x - 2 y) =$ $x^{2} - 4 y^{2}$ ，所以 $x^{2} - 4 y^{2}$ 因式分解的结果是.

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