2023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 3.2 简单图形的坐标表示同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A ， B ， C在坐标轴上，若点B的坐标为 $(- 3 ， 0)$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，则点D的坐标为（）

A、 $(6 ， 3 \sqrt{3})$ B、 $(3 \sqrt{3} ， 3)$ C、 $(6 ， \sqrt{3})$ D、 $(3 ， 3 \sqrt{3})$

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2. 如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（）

A、（-1，3） B、（-1，2） C、（-2，3） D、（-2，4）

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3. 如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、4

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4. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $A B C O$ 是正方形，已知点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 1)$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， \sqrt{5})$ D、 $(- 2 ， 1)$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，2）、（-1，0），则点D的坐标为（）

A、（ $\sqrt{5}$ ， 2） B、（2， $\sqrt{5}$ ） C、（ $\sqrt{3}$ ， 2） D、（2， $\sqrt{3}$ ）

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6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $O A B C$ 的顶点 $O$ ， $B$ 的坐标分别是 $(0 ， 0)$ ， $(4 ， 0)$ ， $∠ A = 60 °$ ，则顶点 $C$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， 1)$
B、 $(2 ， - 1)$
C、 $(2 ， - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$
D、 $(2 ， - 2 \sqrt{3})$

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7. 如图，平面直角坐标系中，点 $A$ 、 $C$ 的坐标分别为 $(0 ， - 4)$ 、 $(9 ， 0)$ ，点 $B (b ， 4)$ 在第一象限内，连接 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，连接 $A C$ ， $∠ C B A = 2 ∠ B A O$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、12 B、20 C、24 D、25

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8. 已知， $R t △ A B C$ 中 $∠ A B C = 90 °$ ， $B C = A B$ ， A点在 $x$ 负半轴上，直角顶点 $B$ 在 $y$ 轴上，点 $C$ 在 $x$ 轴上方．
①如图 $1$ 所示，若 $A$ 的坐标是 $(- 3 ， 0)$ ，点 $B$ 的坐标是 $(0 ， 1)$ ，则点 $C$ 的坐标为 $(- 1 ， 4)$ ；
②如图 $2$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ y$ 轴于 $D ，$ 则 $O A = C D + O D$ ；
③如图 $2$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ y$ 轴于 $D ，$ 则 $∠ C A O + ∠ A C B = ∠ A B O$ ；④如图 $3$ ，若 $x$ 轴恰好平分 $∠ B A C$ ， $B C$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ x$ 轴于 $F$ ，则 $C F = \frac{1}{2} A C$ ；⑤如图 $3$ ，若 $x$ 轴恰好平分 $∠ B A C$ ， $B C$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ x$ 轴于 $F$ ，则 $∠ A C B = ∠ A C F - ∠ B A O$ ．上述结论正确的有（）个

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

9. 已知线段MN平行于 $y$ 轴，且 $M (3 ， - 5) ， N (x ， 2)$ ，那么 $x =$ .

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10. 如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B ， A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA＋OB＝．

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11. 对于平面直角坐标系xOy中的点P与图形M ， N给出如下定义：点P到图形M上的各点的最小距离为m ，点P到图形N上各点的最小距离为n ，当m＝n时，称点P为图形M与图形N的“等长点”．如：点E（﹣2，0），O（0，0），F（2，0）中，点O就是点E与点F的“等长点”，已知点A（2，0），B（2，2），C（2，﹣2），连接BC ，若点P既是点O与点A的“等长点”，也是线段OA与线段BC的“等长点”，则点P的坐标为．

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ C A B = 30 °$ ，以C为原点， $A C$ 所在直线为y轴， $B C$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使 $△ M A B$ 为等腰三角形，符合条件的点M有个．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在c轴上“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标为1，则“猫”爪尖F的坐标为.

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三、解答题

14. 如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A点坐标为（0，1），点B在y轴上且位于A点上方，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，连接CA，并延长CA交x轴于点E．

(1)、求证：OB＝AC；

(2)、判断AP是否平分∠OAC？请说明理由；

(3)、在y轴上是否存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C ， ∠ A C B = 45 °$ ，点 $A$ 和点 $B$ 分别落在 $y$ 轴的正半轴和 $x$ 轴的正半轴上，已知点 $C$ 的坐标为 $(- 2 ， - 2)$ ．
图1 图2 图3

(1)、如图1，过点 $C$ 作 $C D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，证明： $△ B C D ≌ △ A B O$ ，并直接写出点 $A$ 的坐标；

(2)、如图2，若 $B C$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，证明： $A E$ 是 $△ A B C$ 的中线；

(3)、如图3，若 $A C$ 与 $x$ 轴交于点 $F$ ，连接 $E F$ ，探索线段 $A E ， E F$ 和 $B F$ 之间的数量关系，并加以证明．

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四、综合题

16. 在平面直角坐标系中，点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $A (a ， 0)$ ， $B (0 ， b)$ 且 $a$ ， $b$ 满足 $| a + 3 | = - \sqrt{b + 1}$ ，已知点 $C$ 坐标为 $(0 ， 4)$ ，

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值及 $S_{△ A B C}$ 的面积；

(2)、若点 $M$ 在坐标轴上，且 $S_{△ A C M} = \frac{1}{5} S_{△ A B C}$ ，请直接写出点 $M$ 的坐标．

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17. 在直角坐标系中，已知点 $A (a ， 0)$ ， $B (b ， c)$ ， $C (d ， 0)$ 且a是 $- 8$ 的立方根，方程 $2 x^{3 b - 5} - 3 y^{2 b - 2 c + 5} = 1$ 是关于x ， y的二元一次方程，d为不等式组 ${\begin{array}{l} x > b \\ x < b + 4 \end{array}$ 的最大整数解．

(1)、直接写出A、B、C的坐标；

(2)、如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，连 $B D$ 交x轴于点E ，问是否存在点D ，使得 $S_{△ A D E} ≤ S_{△ B C E}$ ？若存在，请求出点D的纵坐标的范围，若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，若线段 $A B$ 向上平移2个单位长度，点G为x轴上一点，点 $F (5 ， n)$ 为第一象限内一动点，连 $B F$ 、 $C F$ 、 $C A$ ，若 $△ A B G$ 的面积等于由 $A B$ 、 $B F$ 、 $C F$ 、 $A C$ 四条线段围成图形的面积，求点G的横坐标（用含n的式子表示）．

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