2023-2024学年湘教版初中数学八年级下学期 3.1 平面直角坐标系同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 小张和小陈都在电影院看电影，小张的位置用（a，b）表示，小陈的位置用(x，y)表示，我们约定“排数在前，列数在后”，若小张恰在小陈的正前方，则（）

A、a＝x B、b=y C、a＝y D、b=x

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2. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在正方形网格线的格点上，将 $△ A B C$ 绕点P按逆时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则点P的坐标为（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(1 ， 1)$

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3. 已知，△OA₁A₂ ， △A₃A₄A₅ ， △A₆A₇A₈ ， …都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A₂ ， A₃ ， A₅ ， …都在x轴正半轴上，且A₂A₃＝A₅A₆＝A₈A₉＝…＝1，则点A₂₀₂₃的坐标是（）

A、(2023， $\sqrt{3}$ ) B、(2022，0) C、(2024，0) D、(2026，－ $\sqrt{3}$ )

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4. 已知点 $A (a - 5 ， 2 b - 1)$ 在y轴上，点 $B (3 a + 2 ， b + 3)$ 在x轴上，则点 $C (a ， b)$ 的坐标为（）

A、 $(5 ， 3)$ B、 $(- 5 ， 3)$ C、 $(- 5 ， - 3)$ D、 $(5 ， - 3)$

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5. 如图，在正方形 $O A B C$ 中，点 $C$ 的坐标是 $(1 ， 3)$ ，则 $A$ 点的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(- 3 ， 1)$

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6. 如图，在直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中．“→方向排序，如（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2） ……根据这个规律，第2020个点的横坐标为（）

A、44． B、45． C、46． D、47．

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7. 在平面直角坐标系中，对于点 $A (x ， y)$ ，若点 $A'$ 坐标为 $(a x + y ， x + a y) ($ 其中 $a$ 为常数，且 $a \neq 0)$ ，则称点 $A'$ 是点 $A$ 的“ $a$ 属派生点” $.$ 例如，点 $P (4 ， 3)$ 的“ $2$ 属派生点”为 $P' (2 \times 4 + 3 ， 4 + 2 \times 3)$ ，即 $P' (11 ， 10)$ 若点 $Q$ 的“ $3$ 属派生点 $’$ 是点 $Q' (- 7 ， - 5)$ ，则点 $Q$ 的坐标为（）

A、 $(- 26 ， - 22)$ B、 $(- 22 ， - 26)$ C、 $(- 2 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与 $x$ 轴或 $y$ 轴平行，从内到外，它们的边长依次为 $2$ ， $4$ ， $6$ ， $8$ ， $\dots$ ，顶点依次用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ， $\dots$ ，表示，则顶点 $A_{2023}$ 的坐标为（）

A、 $(505 ， 505)$ B、 $(- 506 ， 506)$ C、 $(- 505 ， - 505)$ D、 $(506 ， 506)$

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二、填空题

9. 在平面直角坐标系xOy中，点A、点B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．若△ABC是以∠BAC为顶角的等腰三角形，点C在x轴上，则点C的坐标为．

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10. 如图矩形ABCD在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，AB＝6，∠ABD＝60°，则点D的坐标．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A_{1} (1 ， 2)$ ， $A_{2} (2 ， 0)$ ， $A_{3} (3 ， - 2)$ ， $A_{4} (4 ， 0) \dots \dots$ 根据这个规律，探究可得点 $A_{2023}$ 的坐标是．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $B_{1}$ ，与 $y$ 轴交点于 $D$ ，且 $O B_{1} = 1 ， ∠ O D B_{1} = 60 °$ ，以 $O B_{1}$ 为边长作等边三角形 $A_{1} O B_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{2}$ 平行于 $x$ 轴，交直线 $l$ 于点 $B_{2}$ ，以 $A_{1} B_{2}$ 为边长作等边三角形 $A_{2} A_{1} B_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{3}$ 平行于 $x$ 轴，交直线 $l$ 于点 $B_{3}$ ，以 $A_{2} B_{3}$ 为边长作等边三角形 $A_{3} A_{2} B_{3}$ ，…，按此规律进行下去，则点 $A_{6}$ 的横坐标是.

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13. 如图，等边 $△ O A P$ 在坐标系中如图放置，其顶点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，将 $△ O A P$ 沿 $x$ 轴正方向连续翻转（看箭头）若干次，点 $A$ 依次落在点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ， …， $A_{2023}$ 的位置上，设点 $A_{2023}$ 的横坐标为 $a$ ，则方程 $\frac{x}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} + a - 3029.5$ 的解为

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三、解答题

14. 小明家和学校所在地的简单地图如图所示，已知 $O A = 2 c m ， O B = 2.5 c m ， O P =$ $4 c m$ ，点 $C$ 为OP的中点，回答下列问题.

(1)、图中距小明家距离相同的是哪些地方?

(2)、写出学校、商场、公园、停车场相对于小明家的方位角，哪两个地方的方位角是相同的?

(3)、若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米?

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15. 如图，在以点 $O$ 为原点的平面直角坐标系中点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(a ， 0)$ ， $(a ， b)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴上，且 $B C / / x$ 轴， $a$ ， $b$ 满足 $| a - 3 | + \sqrt{b - 4} = 0 .$ 点 $P$ 从原点出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿着 $O - A - B - C - O$ 的路线运动 $($ 回到 $O$ 为止 $)$ ．

(1)、直接写出点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标；

(2)、当点 $P$ 运动 $3$ 秒时，连接 $P C$ ， $P O$ ，求出点 $P$ 的坐标，并直接写出 $∠ C P O$ ， $∠ B C P$ ， $∠ A O P$ 之间满足的数量关系；

(3)、点 $P$ 运动 $t$ 秒后 $(t \neq 0)$ ，是否存在点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{1}{2} t$ 个单位长度的情况．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、综合题

16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于任意三点A ， B ， C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任何两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” $S = a h$ ．
例如：三点坐标分别为 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 1)$ ， $C (2 ， - 2)$ ，则“水平底” $a = 5$ ， “铅垂高” $h = 4$ ， “矩面积” $S = a h = 20$ ．

(1)、已知点 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 1)$ ， $C (0 ， 5)$ ，求三点的“矩面积”S ．

(2)、若点 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 1)$ ， $P (0 ， t)$ 三点的“矩面积”S为12，求点P的坐标．

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，如果点P到原点O的距离为a ，点M到点P的距离是a的k倍（k为正整数），那么称点M为点P的k倍关联点．

(1)、当点 $P_{1}$ 的坐标为 $(0 ， 1)$ 时，
①如果点 $P_{1}$ 的2倍关联点M在y轴上，那么点M的坐标是；
如果点 $P_{1}$ 的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是；
②如果点 $M (x ， y)$ 是点 $P_{1}$ 的k倍关联点，且满足 $y = - 2 ， - 1 \leq x \leq 4$ ，那么k的最大值为；

(2)、如果点 $P_{2}$ 的坐标为 $(1 ， 1)$ ，且在函数 $y = x + b$ 的图象上存在 $P_{2}$ 的2倍关联点，直接写出b的取值范围．

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