2023-2024学年湘教版初中数学九年级下学期 4.2 概率及其计算同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-03-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从 $A$ ， $B$ ， $C$ 三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{9}$

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2. 在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则随机摸出一个红球的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 下列说法中错误的是（）

A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件 B、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C、“抛一枚硬币，正面向上的概率为 $\frac{1}{2}$ ”表示每抛两次就有一次正面朝上 D、“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为 $\frac{1}{6}$ ”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在 $\frac{1}{6}$ 附近

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4. 如图所示，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x²+px+q=0有实数根的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于 $\frac{5}{4}$ n² ，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（）．

A、 $\frac{13}{18}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{9}$

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7. 将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8.
如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{5}$

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二、填空题

9. 在－1，0，1这三个数中任取两个数 $m$ ， $n$ ，则二次函数 $y = {(x - m)}^{2} + n$ 图象的顶点在坐标轴上的概率为.

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10. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是。

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11. 有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程 $\frac{1 - a x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ 有正整数解的概率为

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12. 有三张正面分别标有数字 $- 1$ ， $1$ ， $2$ 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同 $.$ 现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为 $a$ ；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为 $b$ ，则使关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 x - 2}{2} < x + \frac{3}{2} \\ a x > b \end{array}$ 的解集中有且只有 $2$ 个非负整数的概率为．

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三、解答题

13. 设函数y=ax²+bx+1，其中a可取的值是-1，0，1，b可取的值是-1，1，2．

(1)、当a，b分别取何值时，所得函数有最小值？直接写出满足条件的函数，以及相应的最小值．

(2)、如果a在-1，0，1三个数中随机抽取一个，b在-1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数表达式？从这些函数中任取一个，求取到当x>0时，y随x的增大而减小的函数的概率．

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14. 已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ， 1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为 $a ， b$ .

(1)、请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.

(2)、现制订这样一个游戏规则：若所选出的 $a ， b$ 能使得 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问：这样的游戏规则公平吗?请你用概率的知识解释.

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四、综合题

15. 今年疫情期间，为防止疫情扩散，人们见面的机会少了，但是随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查.将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)、这次参与调查的共有人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为；其它沟通方式所占的百分比为．

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、如果我国有13亿人在使用手机．
①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“QQ”的概率是多少？

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16. 自2019年12月以来新型冠状病毒导致的肺炎疫情在全球蔓延流行，进入2022年，新一轮的疫情爆发又波及校园，严重危及师生的身心健康，为此某校师生举行了“疫情防控大演练”活动，并学习了当前疫情防控的主要措施，包括：（①远离感染源区；②加强自我防控；③增强身体体质；④合理健康饮食；⑤加强防控意识）五个要点，为了了解学生对“五要点”的掌握情况，从全校随机抽取了一部分学生作出调查，并根据学生的回答情况（A．仅能答出一点；B．仅能答出两点；C．能回答其中三点；D．能回答其中四点；E．能回答全部五点），绘制出下面两幅不完整的统计图，请根据统计图上的信息解答下列问题：

(1)、在这次调查中抽取的总人数为人．

(2)、在扇形统计图中“C”部分m的值为．

(3)、该学校共有学生1200人，估计能回答全部五个要点的人数约有多少人？

(4)、针对本次学习，学校准备组织一次疫情防控知识竞赛，要求每个班级选取两名同学参赛，小明和小颖所在的九年级某班共选出4名候选人，除小明和小颖之外还有另外2名同学，从这四人中随机选取两个人参加比赛，请用树状图或列表法求出恰好选中小明和小颖两人的概率（这4名学生分别用A，B，C，D表示，其中A，B分别代表小明和小颖）

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