2023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期第3章因式分解单元测试 A卷

试卷更新日期：2024-03-25 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 多项式(x+1)²-9因式分解的结果为（）

A、(x+8)(x+1) B、(x-2)(x+4) C、(x-4)(x+2) D、(x-10)(x+8)

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2. 下列因式分解正确的是（）

A、m²+n²=(m+n)(m-n) B、2x²-8=2(x²-4) C、a²-a=a(a-1) D、a²+2a+1=a(a+2)+1

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3. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（）

A、 ${(x - y)}^{2} = {(x + y)}^{2} - 4 x y$ B、 $(x + y) \cdot (x - y) = x^{2} - y^{2}$ C、 $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ D、 $x^{2} - 3 x + 1 = x (x - 3) + 1$

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4. 多项式 $x^{2} - 1$ 与多项式 $x^{2} - 2 x + 1$ 的公因式为（）

A、x-1 B、x+1 C、 $x^{2} - 1$ D、(x-1)²

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5. 下面是四位同学将 $2 x^{2} a - 6 x a b + 2 x$ 分解因式的结果，其中正确的是（）
①2x(xa-3ab)；
②2xa(x-3b+1)；
③2x(xa-3ab+1)；
④2x(-xa+3ab-1).

A、① B、② C、③ D、④

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6. 多项式 $x^{2} (a - b) - x (b - a) + (a - b)$ 提取公因式后，得到的另一个因式为（）

A、 $x^{2} - x + 1$ B、 $x^{2} + x + 1$ C、 $x^{2} - x - 1$ D、 $x^{2} + x - 1$

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7. 小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $a - b$ ， $x - y$ ， $x + y$ ， $a + b$ ， $x^{2} - y^{2}$ ， $a^{2} - b^{2}$ 分别对应下列六个字：市、爱、我、齐、游、美，现将 $(x^{2} - y^{2}) a^{2} - (x^{2} - y^{2}) b^{2}$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、我爱美 B、齐市游 C、爱我齐市 D、美我齐市

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8. 已知 $m^{2} = 3 n + a ， n^{2} = 3 m + a ， m \neq n$ ，则 $m^{2} + 2 m n + n^{2}$ 的值为（）

A、9 B、6 C、4 D、2

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9. 下列多项式分解因式后，结果中含有相同因式，的是（）
①16x²-8x；②(x-1)²-4(x-1)+4；③(x+1)⁴-4x(x+1)²+4x²；④-4x²-1+4x．

A、①和② B、③和④ C、①和④ D、②和③

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10. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中，属于“幸福数”的是（）

A、205 B、250 C、502 D、520

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二、填空题

11. 因式分解2x²- 12x +18的结果是

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12. 如果多项式2x+m 可以分解为2(x+2)，那么m的值为.

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13. 已知a+b=4，ab=2，则a²b+ab²的值为．

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14. 多项式 $x^{2} - 4 y^{2}$ 与 $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$ 的公因式为.

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15. 若关于x的二次三项式x²+（m+1）x+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m＝．

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三、计算题

16. 因式分解：

(1)、 $x y + 3 y$ ；

(2)、 $a x^{2} - 4 a$ ．

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17. 因式分解：

(1)、 $3 x^{2} - 12$ ；

(2)、 $2 x^{2} y - 4 x y + 2 y$ ．

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四、解答题

18. 现有三个多项式： $\frac{1}{2} a^{2} + a - 4 ， \frac{1}{2} a^{2} + 5 a + 4 ，$ $\frac{1}{2} a^{2} - a ，$ 请你选择两个进行加法运算，并把结果分解因式.

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19. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 4 x = y$ ，
原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4 ($ 第一步 $)$
$= y^{2} + 8 y + 16 ($ 第二步 $)$
$= (y + 4)^{2} ($ 第三步 $)$
$= (x^{2} - 4 x + 4)^{2} ($ 第四步 $)$

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的____；

A、提取公因式 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果；

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解．

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20. 已知A＝4m（2m²﹣1）+4m，B＝8m．

(1)、化简整式A，并求m＝﹣1时A的值；

(2)、若C＝A﹣B．
①将C因式分解；
②若m为整数，直接写出整式C能否被16整除．

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五、实践探究题

21. 阅读材料：
因为 $x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1) ，$ ，这说明多项式 $x^{2} + 2 x - 3$ 有一个因式为x $-$ 1，我们把x=1代入此多项式发现 x=1能使多项式 $x^{2} + 2 x - 3$ 的值为0.
解决问题：

(1)、若x $-$ 3是多项式 $x^{2} + k x + 12$ 的一个因式，求 k 的值.

(2)、x-3和x-4时多项式x³+mx²+12x+n的两个因式，试求m、n的值.

(3)、在(2)的条件下，把多项式 $x^{3} + m x^{2} + 12 x + n$ 分解因式.

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22. 教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2} = (a + 2 b) (a + b)$ 或 $(a + 2 b) (a + b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ .

(1)、请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算 ${(x - 2 y - 3)}^{2}$ .

(2)、若 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 ， x y + y z + x z = 3 ，$ 求 x +y+z的值.

(3)、试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 $3 a^{2} + 7 a b + 2 b^{2}$ 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内.

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六、综合题

23. 在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：

例：因式分解： $(x^{2} + 6 x + 5) (x^{2} + 6 x - 7) + 36$

解：设 $x^{2} + 6 x = y$

原式 $= (y + 5) (y - 7) + 36$ 第一步

$= y^{2} - 2 y + 1$ 第二步

$= (y - 1)^{2}$ 第三步

$= (x^{2} + 6 x - 1)^{2}$ 第四步

完成下列任务：

(1)、例题中第二步到第三步运用了因式分解的；(填序号)

①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；

(2)、请你模仿以上例题分解因式：

(a^{2} - 4 a + 2) (a^{2} - 4 a + 6) + 4

．

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24. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x²-2xy+y²-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x²-2xy+y²-16＝（x-y）²一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：

(1)、9a²+4b²-25m²-n²+12ab+10mn；

(2)、已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a²+b²+c²-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

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