2023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期第1章二元一次方程组单元测试 B卷

试卷更新日期：2024-03-25 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 2 ， \\ x - y = - 2 \end{matrix}$ 的解为（）

A、 $\{\begin{matrix} x = 0 ， \\ y = - 2 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} x = 0 ， \\ y = 2 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} x = 2 ， \\ y = 0 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x = - 2 ， \\ y = 0 \end{matrix}$

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2. 已知二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + 5 y = 13 ， ① \\ 3 x - 7 y = - 7 ， ② \end{matrix}$ 用加减消元法解方程组，正确的是（）

A、①×5-②×7 B、①×2+②×3 C、①×3-②×2 D、①×7-②×5

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3. 某课外小组分组开展活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人.设课外小组的人数为x，分成的组数为y，则根据题意，可列方程组为（）

A、 $\{\begin{matrix} 7 y = x + 3 ， \\ 8 y + 5 = x \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} 7 y = x - 3 ， \\ 8 x = y + 5 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} 7 y = x - 3 ， \\ 8 y = x + 5 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} 7 y = x + 3 ， \\ 8 y = x + 5 \end{matrix}$

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4. 若关于 x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a x + 2 y = 6 ， \\ b x - 3 y = 5 \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{matrix} x = 3 ， \\ y = - 5 ， \end{matrix}$ 则关于 m，n 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a (m - n) + 2 (m + n) = 6 ， \\ b (m - n) - 3 (m + n) = 5 \end{matrix}$ 的解为（）

A、 $\{\begin{matrix} m = 3 ， \\ n = - 5 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} m = 1 ， \\ n = 4 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} m = - 1 ， \\ n = - 4 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} m = - 3 ， \\ n = 5 \end{matrix}$

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5. 小明在某商店购买商品A，B共两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如下表：

购买商品A的数量(个)
购买商品B的数量(个)
购买总费用(元)
第一次购物
4
3
93
第二次购物
6
6
162
若小丽需要在这家商店购买3个商品A和2个商品B，则她要花费（）

A、64元 B、65元 C、66元 D、67元

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6. 如图，将正方形 ABCD的一角折叠，折痕为 AE，∠BAD比∠BAE 大 48°.设∠BAD和∠BAE的度数分别为x°，y°，那么x，y所适合的一个方程组是（）

A、 $\{\begin{matrix} y - x = 48 ， \\ y + x = 90 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} y - x = 48 ， \\ y = 2 x \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} y - x = 48 ， \\ y + 2 x = 90 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} x - y = 48 ， \\ x + 2 y = 90 \end{matrix}$

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7. 已知关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 1 - α ， \\ x - y = 3 a + 5 ， \end{matrix}$ 有以下两个结论：①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解.②不论a取什么值，代数式2x+y的值始终不变.下列说法正确的是（）

A、①②都正确 B、①正确，②错误 C、①错误，②正确 D、①②都错误

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8. 下列用代入法解方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 8 ， ① \\ 3 x - 5 y = 5 ， ② \end{matrix}$ 的过程中，开始出现错误的一步是（）
Ⅰ.由①，得 $x = \frac{8 - 3 y}{2} ， ③$
Ⅱ.把③代入②，得 $3 \times \frac{8 - 3 y}{2} - 5 y = 5 .$
Ⅲ.去分母，得24-9y-10y=5.
Ⅳ.解得y=1，再代入③，得x=2.5.

A、I B、Ⅱ C、Ⅲ D、Ⅳ

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9. 对于代数式ax+b(a，b是常数)，当x分别等于3，2，1，0时，小虎同学依次求得下面四个结果：3，2，-1，-3.若其中有一个是错误的，则错误的结果是（）

A、3 B、2 C、-1 D、-3

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10. 将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度 $h =$ （）

A、70 B、55 C、40 D、30

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二、填空题

11. 若 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ 是关于 $x$ 、 $y$ 的方程 $2 x + a y = 6$ 的解，则 $a$ 的值为．

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12. 若方程组 $\{\begin{matrix} 3 x + 4 y = 12.5 ， \\ 2 x + 5 y = 13 \end{matrix}$ 的解是 $\{\begin{matrix} x = 1.5 ， \\ y = 2 ， \end{matrix}$ 则方程组 $\{\begin{matrix} 3 (m - 5) + 4 (n + 3) = 12.5 ， \\ 2 (m - 5) + 5 (n + 3) = 13 \end{matrix}$ 中m，n的值分别为：m= ， n=.

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13. 某果园现有桃树和杏树共500 棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为 x棵，y棵，则可列的方程组为

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14. 课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：
① ${\begin{array}{l} x + y + z = 12 \\ 5 x + 7 y + 8 z = 80 \end{array}$ ；② $x = \frac{1}{2} z + 2$ ；③ $y = - \frac{3}{2} z + 10$ ；④5人一组的最多有5组.

其中正确的有.（把正确结论的序号都填上）

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15. 若x＋y＋z＝15，－3x－y＋z＝－25，x、y、z皆为非负数，记整式5x+4y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b =.

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16. 三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品.则先生C购买的商品数量是.

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三、计算题

17. 解下列方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} 3 x + 4 y = 19 ， \\ x - y = 4 . \end{matrix}$

(2)、 $\{\begin{matrix} 8 y + 5 x = 2 ， \\ 4 y - 3 x = - 10 . \end{matrix}$

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四、解答题

18. 随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算(总费用不足9元按9元计价).小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：

车速y(km/h)
里程数s(km)
车费(元)
小明
60
8
12
小刚
50
10
16

(1)、求p，q的值.

(2)、如果小华也用该打车方式打车，车速为55km/h，行驶了11km，那么小华的打车总费用为多少?

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19. 某地发生地震后，全国人民抗震救灾，众志成城，借地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资 120吨，并打算将这些物质运往灾区.现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载）：
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600

(1)、全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车辆来运送.

(2)、若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问：分别需甲、乙两种车型各几辆？

(3)、为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗? 此时的运费又是多少元？

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20. 陈师傅要给一块长6米、宽5米的长方形地面铺瓷砖，如图1，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长是宽的3倍.已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为150元，2块A款瓷砖的价格和3块B款瓷砖的价格相等.

(1)、分别求出每款瓷砖的单价.

(2)、陈师傅购买瓷砖时，A款瓷砖在以原价八折的价格进行促销，结果陈师傅共花费6600元购买了两种瓷砖，且两种瓷砖的数量相差不超过20块，则两种瓷砖各买了多少块?

(3)、陈师傅打算将长方形地面的四周都铺上B款瓷砖，中间部分全部铺上A款瓷砖(如图2)，铺完时B款瓷砖恰好用了52块，则A款瓷砖用了多少块?

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五、实践探究题

21. 定义：关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ （其中 $a \neq b \neq c$ ）中的常数项 $c$ 与未知数系数 $a$ ， $b$ 之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如： $a x + b y = c$ 的交换系数方程为 $c x + b y = a$ 或 $a x + c y = b$ ．

(1)、方程 $3 x + 2 y = 4$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为；

(2)、已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ 的系数满足 $a + b + c = 0$ ，且 $a x + b y = c$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $m x + n y = p$ 的一个解，求代数式 $(m + n) m - p (n + p) + 2023$ 的值；

(3)、已知整数 $m$ ， $n$ ， $t$ 满足条件 $t < n < 8 m$ ，并且 $(10 m - t) x + 2023 y = m + t$ 是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $(1 + n) x + 2023 y = 2 m + 2$ 的“交换系数方程”求 $m$ 的值．

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22. 阅读探索：
小明在解方程组 ${\begin{array}{l} (a - 1) + 2 (b + 2) = 2 \\ 2 (a - 1) + (b + 2) = - 2 \end{array}$ 时发现若设 $a - 1 = x$ ， $b + 2 = y$ ，
则方程组可变为 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 2 \\ 2 x + y = - 2 \end{array}$ ，解此方程组得： ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 2 \end{array}$ ，
即 ${\begin{array}{l} a - 1 = - 2 \\ b + 2 = 2 \end{array}$ ，所以 ${\begin{array}{l} a = - 1 \\ b = 0 \end{array}$ ．

(1)、请你模仿运用上述方法解下列方程组 ${\begin{array}{l} (\frac{a}{3} - 1) + 2 (\frac{b}{5} + 2) = 4 \\ 2 (\frac{a}{3} - 1) + (\frac{b}{5} + 2) = 5 \end{array}$

(2)、若已知关于x、y的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$ ，请直接写出关于m、n的方程组 ${\begin{array}{l} 5 a_{1} (m + 3) + 3 b_{1} (n - 2) = c_{1} \\ 5 a_{2} (m + 3) + 3 b_{2} (n - 2) = c_{2} \end{array}$ 的解．

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23. 综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组： ${\begin{array}{l} \frac{4 x + 3 y}{3} + \frac{6 x - y}{8} = 8 \\ \frac{4 x + 3 y}{6} + \frac{6 x - y}{2} = 11 \end{array}$ ．

(1)、观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 $(4 x + 3 y)$ 看成一个整体，把 $(6 x - y)$ 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设 $4 x + 3 y = m$ ， $6 x - y = n$ ，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得 ${\begin{array}{l} m = 18 \\ n = 16 \end{array}$ ，
所以 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 18 \\ 6 x - y = 16 \end{array}$ ，解方程组，得．

(2)、探索猜想：运用上述方法解下列方程组： ${\begin{array}{l} 3 (2 x + y) - 2 (x - 2 y) = 26 \\ 2 (2 x + y) + 3 (x - 2 y) = 13 \end{array}$ ．

(3)、拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 3 \end{array}$ ，求关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 a_{1} x + 3 b_{1} y = 5 c_{1} \\ 2 a_{2} x + 3 b_{2} y = 5 c_{2} \end{array}$ 的解．

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六、综合题

24. 某公园的门票价格如下表所示：
购票人数
1~50人
51~100人
100人以上(不含100人)
每人门票价
13元
11元
9元
某校初一(1)(2)两个班去游览公园，其中(1)班人数较少，不足50人，(2)班人数较多，超过50人，但是不超过100人.如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则只需付936元.

(1)、请列出方程组，求出两个班各有多少学生?

(2)、你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上(不含100人)买票的钱数相等?如果有，请求出各有多少人时买票钱数相等?

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25. 小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．

(1)、求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？

(2)、“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5.
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．

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	购买商品A的数量(个)	购买商品B的数量(个)	购买总费用(元)
第一次购物	4	3	93
第二次购物	6	6	162

	车速y(km/h)	里程数s(km)	车费(元)
小明	60	8	12
小刚	50	10	16

车型	甲	乙	丙
汽车运载量（吨/辆）	5	8	10
汽车运费（元/辆）	400	500	600

购票人数	1~50人	51~100人	100人以上(不含100人)
每人门票价	13元	11元	9元

2023-2024学年初中数学湘教版七年级下学期 第1章 二元一次方程组 单元测试 B卷

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二、填空题

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四、解答题

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