河北省2024年中考数学模拟试卷（四）

试卷更新日期：2024-03-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 ${(a^{3})}^{2} = a^{？}$ ，则？＝（）

A、1 B、5 C、6 D、9

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2. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线．看到图形，甲、乙、丙、丁四名同学给出四个不同的结论，其中正确的是（）
甲： $A D ⊥ B C$
乙： $∠ B A D = ∠ C A D$
丙： $A B = A C$
丁： $B D = C D$

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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3. 若 $\sqrt{12} - a \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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4. 如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 互联网已经进入 $5 G$ 时代，应用 $5 G$ 网络下载一个 $1000 K B$ 的文件只需要 $0.00076$ 秒，将数据 $0.00076$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $76 \times 1 0^{- 3}$ B、 $7.6 \times 1 0^{- 3}$ C、 $7.6 \times 1 0^{- 4}$ D、 $7.6 \times 1 0^{- 5}$

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6. 数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（　　）
（1） ${(- a^{3})}^{2} = {(- a^{2})}^{3}$ （×）
（2） $a^{3} - a^{2} ＝ a$ （×）
（3） $a^{6} \div a^{2} ＝ a^{3}$ （×）
（4） $3 a^{2} - (- a^{2}) ＝ 2 a^{2}$ （√）
（5） $a^{4} ・ a^{2} ＝ a^{8}$ （×）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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7. 如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. $6 5^{3} - 65$ 不能被下列数整除的是（）

A、 $3$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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9. 如图，在正方形网格中， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，则下列说法正确的是（）

A、位似中心是点 $B$ B、位似中心是点 $D$ C、位似比为 $2 ： 1$ D、位似比为 $1 ： 2$

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10. 如图，在平面直角坐标系中有 $P$ ， $Q$ ， $M$ ， $N$ 四个点，其中恰有三点在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上.根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上的点是（）

A、点 $P$ B、点 $Q$ C、点 $M$ D、点 $N$

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11. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：

组员	甲	乙	丙	丁	戊	平均成绩	众数
得分	$81$	$77$		$80$	$82$	$80$

则被遮盖的两个数据依次是（）

A、

80 ， 80

B、

81 ， 80

C、

80 ， 2

D、

81 ， 2

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12. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的顶点为 $O (0 ， 0)$ ， $A (12 ， 9)$ ， $B (9 ， 0)$ ．以点 $O$ 为位似中心，在第三象限内作与 $△ O A B$ 的位似比为 $\frac{1}{3}$ 的位似图形 $△ O C D$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 3 ， - 3)$ B、 $(- 4 ， - 3)$ C、 $(- 3 ， - 4)$ D、 $(- 6 ， - 3)$

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13. 老师在微信群发了这样一个图：以线段 $A B$ 为边作正五边形 $A B C D E$ 和正三角形 $A B G$ ，连接 $A C$ ， $D G$ 交于点 $F$ ，下列四位同学的说法错误的是（   ）
甲   $A C ⊥ A G$ 乙   $D G$ 是 $A B$ 的垂直平分线
丙   $△ D C F$ 是等腰三角形
丁   $A C$ 与 $D E$ 平行

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B$ 与 $C D$ 不平行， $M$ ， $N$ 分别是 $A D$ 、 $B C$ 的中点， $A B = 6$ ， $C D = 3$ ，则 $M N$ 的长可能是（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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15. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，在弧 $B C$ 上找一点M，使点M平分弧 $B C$ ．以下是甲乙丙三种不同的作法：
作法正确的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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16. 如图，把两块全等的直角三角板 $A B C$ 和 $D E F$ 叠放在一起，使三角板 $D E F$ 的锐角顶点 $D$ 与三角板 $A B C$ 的斜边中点 $O$ 重合， $D F$ 经过点 $B$ ，其中 $∠ A B C = ∠ D E F = 9 0^{∘}$ ， $∠ C = ∠ F = 4 5^{∘}$ ， $A B = D E = 4$ ，把三角板 $A B C$ 固定不动，让三角板 $D E F$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，旋转角为 $α$ ．其中 $0^{∘} < α < 9 0^{∘}$ ．设射线 $D E$ 与射线 $A B$ 相交于点 $P$ ，线段 $D F$ 与线段 $B C$ 相交于点 $Q$ ．给出下面三个结论：
① $△ A P D ∽ △ C D Q$ ；② $A P \cdot C Q$ 的值不变，为8；③当 $45 ° \leq α < 90 °$ 时，设 $C Q = x$ ，两块三角板重叠部分的面积为 $y = 4 - x - \frac{8 - 4 x}{4 - x}$ ．其中正确的是（）

A、只有①与② B、只有①与③ C、只有②与③ D、①②③

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二、填空题

17. 如图，直线 $m ∥ n$ ， $∠ 1 = 100 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，则 $∠ 3 =$ ．

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18. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = A C = 6$ ，点P是 $A B$ 的中点，过点P的直线与 $A C$ 交于点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．

(1)、 $P Q$ 与 $B C$ 是否平行？（填“是”或“否”）；

(2)、 $△ A P Q$ 的周长为．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， D是 $B C$ 边上一点，线段 $D A$ 绕点D顺时针旋转 $90 °$ 得到 $D E$ ，连接 $A E$ ，若F是 $A E$ 的中点．

(1)、 $A D$ 与 $D E$ 的位置关系是；

(2)、当点F在 $A C$ 上时， $B D =$ ；

(3)、 $C F$ 的最小值为．

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三、解答题

20. 已知P＝A·B-M．

(1)、若A＝(-3)⁰ ， B＝ ${(- \frac{1}{2})}^{- 1}$ ， M＝|-1|，求P的值；

(2)、若A＝3，B＝x，M＝5x-1，且P≤3，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出解集．

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21. 定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．
例如，三位正整数234，因为 $3 = \frac{1}{2} \times (2 + 4)$ ，所以234是“半和数”．

(1)、判断147是否为“半和数”，并说明理由；

(2)、小林列举了几个“半和数”：111、123、234、840…，并且她发现： $111 \div 3 = 37$ ， $123 \div 3 = 41$ ， $234 \div 3 = 78$ ， $840 \div 3 = 280$ …，所以她猜测任意一个“半和数”都能被3整除．小林的猜想正确吗？若正确，请你帮小林说明该猜想的正确性；若错误，说明理由．

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22. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $O$ 为线段 $A B$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $O B$ 长为半径的圆与边 $B C$ ， $A C$ 分别交于 $D$ ， $E$ 两点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $A C$ 于 $H$ 点．

(1)、求证： $D H ⊥ A C$ ．

(2)、如图2，若 $O$ 为 $A B$ 的中点．
①探究 $B D$ 与 $C D$ 的数量关系，并说明理由；

②连接 $O D$ ，若 $D E ∥ A B$ ， $B C = 8$ ，求阴影部分的面积．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ 过点 $A (6 ， 0)$ ，点 $B (2 ， 4)$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = k x - 1$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的函数表达式．

(2)、若直线 $l_{2}$ 过点 $B$ ．
①求 $S_{△ A B C}$ 的值．
②若点 $P (m ， \frac{1}{2} m + 1)$ 在 $△ A B C$ 内部，求 $m$ 的取值范围．

(3)、直线 $x = 5$ 与直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 分别交于点 $M$ 、 $N$ ，当线段 $M N$ 的长不大于4时，求 $k$ 的取值范围．

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24. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

(1)、求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．

(2)、实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得 $c o s ∠ B A D = \frac{3}{5}$ ．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．

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25. 如图，抛物线 $L$ ： $y = a (x - 1) (x - 3)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ 且 $O B = O C$ ，点 $P (m ， n)$ 为抛物线 $L$ 的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）．

(1)、 $a$ 的值为，抛物线的顶点坐标为；

(2)、设抛物线 $L$ 在点 $C$ 和点 $P$ 之间的部分（含点 $C$ 和点 $P$ ）的最高点与最低点的纵坐标之差为 $h$ ，求 $h$ 关于 $m$ 的函数表达式，并写出自变量 $m$ 的取值范围；

(3)、若点 $P (m ， n)$ 的坐标满足 $m + n = 13$ 时，连接 $C P$ ，将直线 $C P$ 与抛物线 $L$ 围成的封闭图形记为 $G$ ．
①求点 $P$ 的坐标；
②直接写出封闭图形 $G$ 的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数．

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26. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 15$ ， $B C = 20$ ，点P从点C出发，沿 $C A - A B$ 的方向运动，点Q从点C出发，沿射线 $C B$ 的方向运动，过点Q且与 $A B$ 垂直的直线 $l$ 也随之运动．点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒3个单位．点P与点Q同时出发，当点P运动到点B时同时停止．连接 $P Q$ ，设运动时间为t，

(1)、当点P在 $A C$ 上，且不与点C，A重合（即 $0 < t < \frac{15}{4}$ ）时，
①求证： $∠ P Q C = ∠ D Q B$ ；
②当t为何值时 $△ P C Q$ 与 $△ B D Q$ 全等．

(2)、直接写出当t为何值时，点P到直线 $l$ 的距离是8．

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