备考2024年中考数学探究性训练专题17 图形的初步认识

试卷更新日期：2024-03-24 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 阳泉市郊区教科局提出开展“三有课堂”，某中学在一节体现“三有课堂”公开展示课上，李老师展示一幅图，条件是：C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各个小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余 ②∠FCG与∠HCG互补 ③∠ECF与∠GCH互补 ④∠ACD﹣∠BCE＝90°，聪明的你认为哪些组的结论是正确的，正确的有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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2.
在一次数学实践探究活动中，大家遇到了这样的问题：
如图，在一个圆柱体形状的包装盒的底部A处有一只壁虎，在顶部B处有一只小昆虫，壁虎沿着什么路线爬行，才能以最短的路线接近小昆虫？
楠楠同学设计的方案是壁虎沿着A﹣C﹣B爬行；
浩浩同学设计的方案是将包装盒展开，在侧面展开图上连接AB，然后壁虎在包装盒的表面上沿着AB爬行．
在这两位同学的设计中，哪位同学的设计是最短路线呢？他们的理论依据是什么？（　　）

A、楠楠同学正确，他的理论依据是“直线段最短” B、浩浩同学正确，他的理论依据是“两点确定一条直线” C、楠楠同学正确，他的理论依据是“垂线段最短” D、浩浩同学正确，他的理论依据是“两点之间，线段最短”

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3. 如图是一个正方体，小敏同学经过研究得到如下5个结论，正确的结论有（）个.
①用剪刀沿着它的棱剪开这个纸盒，至少要剪7刀，才能展开成平面图形；②用一平面去截这个正方体得到的截面是三角形ABC，则∠ABC=45°；③一只蚂蚁在一个实心正方体木块P点处想沿着表面爬到C点最近的路只有4条；④用一平面去截这个正方体得到的截面可能是八边形；⑤正方体平面展开图有11种不同的图形．

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论：
⑴若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；
⑵用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形；
⑶用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形ABC中∠ABC＝45°；
⑷如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是a，最多是b，则a＋b＝19
其中正确结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5.
（体验探究题）如图所示，该图中包含的平面图形有（　　）
①等腰梯形；②正六边形；③四边形；④三角形（实线与虚线组成）；⑤平行四边形（实线与虚线组成）

A、3种平面图形 B、5种平面图形 C、4种平面图形 D、以上都不对

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二、填空题

6. 先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

(1)、如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和， B，C两点间的距离是；

(2)、数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为；

(3)、若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；

(4)、要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．

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三、几何探究题

7. 如图点P为线段AB的中点，M为PB上任一点，试探究2PM与AM﹣BM之间的大小关系，并简要说明理由？

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8. 如图，已知线段a，b，射线AM．
实践与操作：在射线AM上作线段AB＝a，AC＝a－b．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
推理与探究：若线段AB的中点是点D，线段BC的中点是点E，请在上图中标出点D，E．探究：线段DE与AC有怎样的数量关系，并说明理由．

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9. 在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，综合运用所学知识和解题方法，这样才能提高我们解决问题的能力，下面就从学完《数轴》发现的规律，开始我们的探究之旅吧！
规律发现：

(1)、点A表示的数是4，点B表示的数是10，则线段AB的中点C表示的数为；

(2)、点A表示的数是﹣7，点B表示的数是5，则线段AB的中点C表示的数为；

(3)、发现：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段AB的中点C表示的数为。

(4)、直接运用：
数轴上有三个不重合的点A、B、C，点A表示的数为x+2，点B表示的数为2x+3，C表示的数为x﹣4，且AB=AC，则x值为。

(5)、类比迁移：如图：OB⊥OX，OA⊥OC，∠COX＝30°，若射线OA绕O点每秒30°的速度顺时针旋转，射线OB绕O点每秒20°的速度顺时针旋转，射线OC以每秒10°的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线OX重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？

问题解答：
设运动时间为t秒，请用含t的式子表示：
$∠ A O X =$ 度；
$∠ B O X =$ 度；
$∠ C O X =$ 度.

(6)、请直接写出你探究的所有符合条件的运动时间.

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10.
观察、探究与思考．根据图，求解下列问题：
（1）比较∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE、的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角．
（2）写出∠AOB、∠AOC、∠BOC、∠AOE中某些角之间的两个等量关系．

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11. 画图，探究：

(1)、一个正方体组合图形的主视图、左视图（如图1）所示．
①这个几何体可能是（图2）甲、乙中的；

②这个几何体最多可由个小正方体构成，请在图3中画出符合最多情况的一个俯视图．

(2)、如图，已知一平面内的四个点A、B、C、D，根据要求用直尺画图．
①画线段AB，射线AD；

②找一点M，使M点即在射线AD上，又在直线BC上；

③找一点N，使N到A、B、C、D四个点的距离和最短．

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12.
探究：有一弦长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边为点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？

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13. 理解计算：如图①，∠AOB=90°，∠AOC为∠AOB外的一个角，且∠AOC=30°，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．求∠MON的度数；
拓展探究：如图②，∠AOB=α，∠AOC=β．（α，β为锐角），射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．求∠MON的度数；
迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，如图③线段AB=m，延长线段AB到C，使得BC=n，点M，N分别为AC，BC的中点，则MN的长为 ▲ （直接写出结果）．

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14.
如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.

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15. 操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．

(1)、折叠纸面，使表示点1与-1重合，则-2表示的点与表示的点重合；

(2)、折叠纸面，使-1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
① $\sqrt{3}$ 表示的点与数表示的点重合；

② 若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是，点B表示的数是．

(3)、已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a互为相反数，求a的值．

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16. 综合与探究

(1)、特例感知：如图1，线段 $A B = 16 c m$ ， C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点．
①若 $A C = 4 c m$ ，则线段DE的长为cm．
②设 $A C = a c m$ ，则线段DE的长为cm．

(2)、知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若 $∠ A O B = 120 °$ ， OC是 $∠ A O B$ 内部的一条射线，射线OM平分 $∠ A O C$ ，射线ON平分 $∠ B O C$ ，求 $∠ M O N$ 的度数．

(3)、拓展探究：已知 $∠ C O D$ 在 $∠ A O B$ 内的位置如图3所示， $∠ A O B = α$ ， $∠ C O D = 30 °$ ，且 $∠ D O M = 2 ∠ A O M$ ， $∠ C O N = 2 ∠ B O N$ ，求 $∠ M O N$ 的度数．（用含 $α$ 的代数式表示）

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17. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD＝ $\frac{1}{2}$ ∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．

(1)、如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝．

(2)、如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？

(3)、已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．

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18. 综合与实践
【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化.
【操作发现】如图(1)所示，∠AOB=∠COD=90°且两个角重合.

(1)、将∠COD绕着顶点O顺时针旋转45°如图(2)所示，此时OB平分；∠BOC的余角有个(本身除外)，分别是.

(2)、【实践探究】
将∠COD绕着顶点O顺时针继续旋转如图(3)位置，若∠BOC=45°，射线OE在∠BOC内部，且∠BOC=3∠BOE.请探究：
①∠BOC的补角有 ▲ 个，分别是 ▲ ；
②求∠DOE的度数.

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19. 利用折纸可以作出角平分线.

(1)、[知识初探]
如图(1)所示，若∠AOB=58°，求∠BOC的度数；

(2)、[类比再探]
折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B′，连接OA′.如图(2)所示，当点B′在OA′上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；

(3)、[类比探究]
如图(3)所示，在图(2)的基础上，当点B′在∠COA′的内部时，连接OB′.若∠AOC=44°，∠BOD=61°，求∠A′OB′的度数.

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20. 【建立概念】
直线a上有三个点A ， B ， C ，若满足 $B C = \frac{1}{2} A B$ ，我们称点C是点A关于点B的“半距点”．如图①， $B C = \frac{1}{2} A B$ ，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．

(1)、【概念理解】
如图②，直线l上有两个点M ， N ，且 $M N = 4 c m$ ．若点P是点M关于点N的“半距点”，则 $N P =$ $c m$ ．

(2)、点M和点N是数轴上的两个点（点M在点N的左侧）， $M N = 4 c m$ ，点P是点M关于点N的“半距点”，若点M对应的数为m ，则点N对应的数可表示为，点P对应的数可表示为（均用含有m的式子表示）

(3)、【拓展应用】
点M和点N在数轴上对应的数分别为m、n ，且 $| m + 4 | + {(n - 16)}^{2} = 0$ ，点W是线段 $M N$ 的中点，P、Q两点分别从点M和N同时出发，沿数轴作匀速运动，点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒3个单位
若点P向右运动，点Q向左运动，在点K相遇，试判断点K是否是点M关于点W的“半距点”，并请说明理由．

(4)、在（3）的条件下，若P、Q两点向左运动，运动时间为t秒．当点Q恰好是点P关于原点的“半距点”时，求t的值．

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21. 综合与探究

(1)、如图1，线段 $A B = 16 c m$ ， $C$ 为线段 $A B$ 上的一个动点，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A C$ ， $B C$ 的中点．

①若 $A C = 6 c m$ ，则线段 $D E$ 的长为 $c m$ ；
②设 $A C = a c m$ ，则线段 $D E$ 的长为 $c m$ ．

(2)、知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若 $∠ M O N = 60 °$ ， $O C$ 是 $∠ A O B$ 内部的一条射线，射线 $O M$ 平分 $∠ A O C$ ，射线 $O N$ 平分 $∠ B O C$ ，求 $∠ A O B$ 的度数．

(3)、已知 $∠ C O D$ 在 $∠ A O B$ 内的位置如图3所示，若 $∠ C O D = 30 °$ ，且 $∠ D O M = 2 ∠ A O M$ ， $∠ C O N = 2 ∠ B O N$ ，求 $∠ M O N$ 与 $∠ A O B$ 的数量关系．

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22. 如图（1）所示，线段 $A M$ 与线段 $B N$ 重合，点 $O$ 是它们的中点，保持 $A M$ 不动，将 $B N$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $m^{∘} (0 < m < 180$ ）；射线 $O P$ 从与射线 $O M$ 重合开始，绕点 $O$ 逆时针旋转 $n^{∘}$ （至多旋转到与射线 $O N$ 重合为止）．
在此基础上，我们给出如下定义：比较 $∠ P O A$ 与 $∠ P O B$ 的大小，若 $∠ P O A \neq ∠ P O B$ ，则将其中较小角的度数定义为 $O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”；若 $∠ P O A = ∠ P O B$ ，则将 $∠ P O A$ 或 $∠ P O B$ 的度数定义为 $O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”．

(1)、当 $m = 60$ 时，
①如图（2）所示，若 $n = 138$ ，求 $O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”是多少度；
②若 $O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”为 $6 5^{∘}$ ，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出 $n$ 的值是多少．

(2)、若 $m ： n = 1 ： 2$ 时， $O P$ 对 $∠ A O B$ 的“迷你角度”是 $4 2^{∘}$ ，请直接写出 $m$ 的值，不用说明理由．

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23.
如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题．
（1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：
（2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；
（3）如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数．

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24. 综合与探究
已知∠AOB、∠BOC，∠AOB＝90°，

(1)、若∠BOC为锐角，OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，
①如图1，当射线OC在∠AOB外部，∠BOC＝40°时，求∠EOD的度数；
②当∠BOC＝α（ $0 ° < α < 90 °$ ）时，则∠EOD的度数是 ▲ ；

(2)、若∠AOC和∠BOC均为小于平角的角，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，
①当∠BOC＝40°，OC位置如图2所示时，求∠EOD的度数．
②当∠BOC＝α时（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是 ▲ ．

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四、实践探究题

25. 小冬阅读了教材中“借助三角尺画角”的探究活动（如图1、图2的实物图所示），他在老师指导下画出了图1所对应的几何图形，并标注了所使用三角尺的相应角度（如图3），他发现用一副三角尺还能画出其他特殊角．
请你借助三角尺完成以下画图，并标注所使用三角尺的相应角度．

(1)、画出图2对应的几何图形；

(2)、设计用一副三角尺画出 $10 5^{∘}$ 角的画图方案，并画出相应的几何图形；

(3)、如图4，已知 $∠ M O N = 3 0^{∘}$ ，画∠MON的角平分线OP．

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26. 探究实验：《钟面上的数学》
实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．
实验准备：机械钟（手表）一只
实验内容与步骤：

(1)、观察与思考：
①时针每分钟转动 °，分针每分钟转动．
②从3点整到3点20分，分针转动的角度为 °．

(2)、操作与探究：
①若时间为2：30，则钟面角为 °（钟面角是时针与分针所成的夹角）．
②1点整到3点整之间，钟面角为90°的情况有种．

(3)、拓展延伸：
晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看时钟，发现此时时针和分针在同一直线上，他做完作业，八点不到，此时，时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间？（直接写出答案）

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27.
如图，将一张正方形纸片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体纸盒，设这个正方形纸片的边长为a，这个无盖的长方体盒子高为h．
（1）若a=18cm，h=4cm，则这个无盖长方体盒子的底面面积为；
（2）用含a和h的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积V= ；
（3）若a=18cm，试探究：当h越大，无盖长方体盒子的容积V就越大吗？请举例说明；这个无盖长方体盒子的最大容积是．

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28. 【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．

【操作探究】

(1)、图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？（填序号）．

(2)、小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为 $2 dm$ 的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；

②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加个正方体纸盒．

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