备考2024年中考数学探究性训练专题16 分段函数与函数动点问题

试卷更新日期：2024-03-24 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额

y

，与购书数量

x

之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论：

⑴小明说： $y$ 与 $x$ 之间的函数关系为 $y = 6.4 x + 16$ ；

⑵小刚说： $y$ 与 $x$ 之间的函数关系为 $y = 8 x$ ；

⑶小聪说： $y$ 与 $x$ 之间的函数关系在 $0 \leq x \leq 10$ 时， $y = 8 x$ ；在 $x > 10$ 时， $y = 6.4 x + 16$ ；

⑷小斌说；我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系．

购买量/本	1	2	3	4	…	9	10	11	12	…
付款金额/元	8	16	24	32	…	72	80	86.4	92.8	…

其中，表示函数关系正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

2. 小明同学在研究函数 $y = {\begin{array}{l} a | x + 1 | (x \leq 0) \\ a | x - 1 | (x > 0) \end{array}$ （ $a > 0 ， a$ 为常数）时，得到以下四个结论：
①当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；②当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时， $y$ 有最小值0，没有最大值；
③该函数的图象关于 $y$ 轴对称；④若该函数的图象与直线 $y = b$ （ $b$ 为常数）至少有3个交点，则 $0 < b \leq a$ ．其中正确的结论是．（请填写序号）

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3. 心理学家研究发现：一般情形下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持为理想的稳定状态，随后学生的汪意力开始分散．经过实验分析，知学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律为：
$y = {\begin{matrix} 4 x + 60 ， (0 \leq x \leq 10) \\ 100 ， (10 ≺ x \leq 20) \\ \frac{1}{32} x^{2} - \frac{31}{8} x + 165 ， (20 ≺ x \leq 40) \end{matrix}$
有一道数学竞赛题需要讲解16.5分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低值达到最大．那么，教师经过适当安排，应在上课的第分钟开始讲解这道题．

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4. 在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索：
如图1，一根长为5米的木棍 $A B$ 斜靠在一竖直的墙上， $A O$ 为4米，如果木棍的顶端 $A$ 沿墙下滑 $x$ 米，底端向外移动 $y$ 米，下滑后的木棍记为 $C D$ ，则 $x$ 与 $y$ 满足的等式 ${(4 - x)}^{2} + {(3 + y)}^{2} = 25$ ，即 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = \sqrt{25 - {(4 - x)}^{2}} - 3$ ，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2，

(1)、请写出图象上点 $P$ 的坐标（1，）

(2)、根据图象，当 $x$ 的取值范围为时， $△ C O D$ 的周长大于 $△ A O B$ 的周长.

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三、数形结合探究题

5. 小飞哥根据学习“一次函数”时积累的经验，对函数

y = | x - 1 | - 3

的图象与性质进行了探究，下面是小飞哥的探究过程，请补充完整：

(1)、平面直角坐标系中，画出函数

y = | x - 1 | - 3

的图象：

①在函数 $y = | x - 1 | - 3$ 中，自变量的取值范围是；

②列表：

$x$	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	…
$y$	…	0	$- 1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$m$	…

其中， $m =$ ；

③描点、连线，在平面直角坐标系中，画出 $y = | x - 1 | - 3$ 的图象；

(2)、结合所画函数图象，写出

y = | x - 1 | - 3

两条不同类型的性质；

性质1：；

性质2：；

(3)、小飞哥利用所画函数图象，估算不等式

| x - 1 | - 3 \leq - \frac{1}{3} x

的解集是．

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6. 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P为射线BA上一个动点，连接PC，点D在直线BC上，且PD=PC。过点P作EP⊥PC于点P，点D，E在直线AC的同侧，且PE=PC，连接BE。请用等式表示线段BE，BP，BC之间的数量关系。

小明根据学习函数的经验，对线段BE，BP，BC的长度之间的关系进行了探究。下面是小明的探究过程。请补充完整：

(1)、对于点PC在射线BA上的不同位置，画图、测量，得到了线段BE，BP，BC的长度的几组值，如下表：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8
BC/cm	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83
BE/cm	2.10	1.32	0.53	0.00	1.32	2.10	4.37	5.6
BP/cm	0.52	1.07	1.63	2.00	2.92	3.48	5.09	5.97

在BE，BP，BC的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数，的长度是常量。

(2)、在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；

(3)、结合函数图象，解决问题：请用等式表示线段BE，BP，BC之间的数量关系。

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7. 如图1，AB为半圆O的直径，半径的长为4cm，点C为半圆上一动点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，点D为弧AC的中点，连接DE，如果DE=2OE，求线段AE的长.

小何根据学习函数的经验，将此问题转化为函数问题解决.

小华假设AE的长度为xcm，线段DE的长度为ycm.

（当点C与点A重合时，AE的长度为0cm），对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.

下面是小何的探究过程，请补充完整：（说明：相关数据保留一位小数）.

(1)、通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y/cm	0	1.6	2.5	3.3	4.0	4.7		5.8	5.7

当x=6cm时，请你在图中帮助小何完成作图，并使用刻度尺度量此时线段DE的长度，填写在表格空白处：

(2)、在图2中建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(3)、结合画出的函数图象解决问题，当DE=2OE时，AE的长度约为cm.

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8. 如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm² ．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)、确定自变量x的取值范围是；

(2)、通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	…
y/cm²	4.0	3.7		3.9		3.8	3.3	2.0	…

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

(3)、建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(4)、结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为cm．

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9. 问题探究：嘉嘉同学根据学习函数的经验，对函数y=-2|x|+5的图象和性质进行了探究.下面是嘉嘉的探究过程，请你解决相关问题：

(1)、如图，嘉嘉同学在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象：
若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m= ▲ ；

(2)、观察函数y=-2|x|+5的图象，写出该图象的两条性质；

(3)、直接写出，当0＜-2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围.

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10. 小航在学习中遇到这样一个问题：

如图，点C是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一动点，直径 $A B = 8 c m$ ，过点C作 $C D ∥ A B$ 交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点D，O为AB的中点，连接OC，OD，当 $△ O C D$ 的面积为 $3.5 c m^{2}$ 时，求线段CD的长.

小航结合学习函数的经验探究此问题，请将下面的探究过程补充完整：

(1)、根据点C在

\overset{⌢}{A B}

上的不同位置，画出相应的图形，测量、计算线段CD的长度和

△ O C D

的面积

S_{△ O C D}

得到下表的几组对应值（当点C与点A或点B重合时，

△ O C D

的面积为0）.

$C D / c m$	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
$S_{△ O C D} / c m^{2}$	0	2.0	3.9	5.6	m	7.8	7.9	6.8	0

填空：m=.（结果保留一位小数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

(2)、将线段CD的长度作为自变量x（cm），

△ O C D

的面积是x的函数，记为

y (c m^{2})

，请在如下平面直角坐标系xOy中画出y关于x的函数图象，并根据图象判断下列说法是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）

①该函数图象为抛物线的一部分；（）

②当 $x > 3$ 时，y随x的增大而增大；（）

③ $△ O C D$ 的面积有最大值.（）

(3)、继续在同一坐标系中画出所需的图象，并结合图象直接写出：当

△ O C D

的面积为

3.5 c m^{2}

时，线段CD长度的近似值.（结果保留一位小数）

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11. 如图1， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B = 4$ cm，点D为AB边上的动点（点D不与点A，B重合），过点D作 $E D ⊥ C D$ 交直线AC于点E.在点D由点A到点B运动的过程中，设 $A D = x$ cm， $A E = y$ cm.根据学习函数的经验，可对函数y随x的变化而变化的情况进行了探究，请将探究过程补充完整：

(1)、通过取点、画图、测量或计算，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
…
$\frac{1}{2}$
1
$\frac{3}{2}$
2
$\frac{5}{2}$
3
$\frac{7}{2}$
…
y/cm
…
0.4
0.8
1.0
m
1.0
0
4.0
…
则表中m的值为.（保留一位小数）

(2)、在图2的平面直角坐标系 $x O y$ 中，以表格中各对x，y的值为坐标描点，并画出该函数的大致图象；

(3)、结合（2）中画出的函数图象，解决问题：当 $A E = \frac{1}{3} A D$ 时，AD的长度约为cm.

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12. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数

y = {\begin{array}{l} - \frac{2}{x} (x \leq - 1) \\ | x - 1 | (x > - 1) \end{array}

的图象与性质，探究过程如下，请补充完整.

(1)、列表：

…

$- 3$

$- \frac{5}{2}$

$\frac{1}{2}$

$- \frac{3}{2}$

$- 1$

$- \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{5}{2}$

…

$\frac{4}{5}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{2}$

…

其中， $m =$ ， $n =$ .

(2)、描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象.

(3)、研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点 $A (- 6 ， y_{1}) ， B (- \frac{7}{2} ， y_{2}) ， C (x_{1} ， \frac{3}{2}) ， D (x_{2} ， 6)$ ，在函数图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ， $x_{1}$ $x_{2}$ ；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②当函数值时 $y = 1$ ，求自变量x的值；

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13. 小东同学根据函数的学习经验，对函数y = $| x - 1 |$ + $| x + 3 |$ 进行了探究，

下面是他的探究过程：

(1)、已知x＝－3时 $| x + 3 |$ = 0；x＝1 时 $| x - 1 |$ = 0，化简：
①当x＜－3时，y＝

②当－3≤x≤1时，y＝

③当x＞1时，y＝

(2)、在平面直角坐标系中画出y = $| x - 1 |$ + $| x + 3 |$ 的图像，根据图像，写出该函数的一条性质.

(3)、根据上面的探究解决，下面问题：
已知A(a，0)是x轴上一动点，B(1，0)，C(－3，0)，则AB＋AC的最小值是

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14. 在

Rt △ A B C

中，

∠ A C B = 90 °

，

A C = 6 cm

，

B C = 8 cm

，将

∠ B A C

绕点

A

顺时针旋转，角的两边分别交射线

B C

于

D

，

E

两点，

F

为

A E

上一点，连接

C F

，且

∠ A C F = ∠ B

（当点

B

，

D

重合时，点

C

，

F

也重合）.设

B

，

D

两点间的距离为

x cm (0 \leq x \leq 8)

，

A

，

F

两点间的距离为

y cm

小刚根据学习函数的经验，对因变量 $y$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小刚的探究过程，请补充完整.

(1)、列表：下表的已知数据是根据

B

，

D

两点间的距离

x

进行取点，画图，测量分别得到了

x

与

y

的几组对应值；

$x / cm$	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	6	7	8
$y / cm$	6.00	5.76	5.53	5.31	5.09	4.88	4.69	4.50	4.33	4.17	4.02	3.79	3.65	$a$

请你通过计算补全表格： $a =$ ；

(2)、描点、连线：在平面直角坐标系

x O y

中，描出表中各组数值所对应的点

(x ， y)

，并画出函数

y

关于

x

的图象；

(3)、探究性质：随着自变量

x

的不断增大，函数

y

的变化趋势；

(4)、解决问题：当

A F = C D

时，

B D

的长度大约是

cm

.（结果保留两位小数）

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15. 利用函数图象探究方程x|x-2|= $\frac{1}{2}$ 的实数根的个数．

(1)、设函数y=x|x-2|，则这个函数的图象与直线y= $\frac{1}{2}$ 的交点的坐标（填横或纵）就是方程x|x-2|= $\frac{1}{2}$ 的实数根．

(2)、分类讨论：当x<2时，y=-x²+2x；当x≥2时，y= ．

(3)、在给定的坐标系中，已经画出了当x≥2时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当x<2时的函数图象．

(4)、在给定的坐标系中画直线y= $\frac{1}{2}$ ，观察图象可知方程x|x-2|= $\frac{1}{2}$ 的实数根有个．

(5)、深入探究：若关于x的方程2x|x-2|=m有3个实数根，则m的取值范围是

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16. 在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程．
下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数 $y = = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 x - 1 (x \leq 1) \\ \frac{4}{x} - 5 (x > 1) \end{array}$ 的相关性质和应用．

(1)、在如图所示的平面直角坐标系中，画出了分段函数图象的一部分，补全该分段函数的图象．
$x$
$\dots \dots$
$- 5$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$y$
$\dots \dots$
$4$
$- 1$
$- 4$
$- 5$
$- 4$
$- 1$
$4$
写出该分段函数的一条性质：；

(2)、直线 $y = k$ 与该分段函数的图象有 $2$ 个交点，则 $k$ 的取值范围是；

(3)、若该分段函数图象上有两点 $A (- 3 ， y_{1}) B (m ， y_{2})$ ，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是；

(4)、当 $x \geq a$ 时，函数值 $y$ 的取值范围为 $- 5 \leq y \leq b$ ，当 $a$ 取某个范围内的任意值时， $b$ 为定值，直接写出满足条件的 $a$ 的取值范围及其对应的 $b$ 值．

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17. 如图1 ，在菱形

A B C D

中，

A B = 1 cm

，连结

A C ， B D

．设

∠ D A B = x

(0^{\circ} < x < 180^{\circ}) ， y = | A C - B D |

，小宁根据学习函数的经验，对变量

y

与

x

之间的关系进行了如下探究．

(1)、【探究】列表：通过观察补全下表（精确到 0.01）．

$x /^{\circ}$	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165
$y / cm$	1.72		1.08		0.37	0		0.73	1.08	1.41	1.72

描点、连线：在图2中描出表中各组数值所对应的点 $(x ， y)$ ，并画出 $y$ 关于 $x$ 的函数图象．

(2)、【发现】结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：

①；

② ．

(3)、【应用】有一种 “千斤顶”，它是由4根长为

30 cm

的连杆组成的菱形

A B C D

，当手柄顺时针旋转时，

B 、 D

两点的距离变小（如图 3）．在这个过程中，当

| A C - B D | = 33 cm

时，

∠ B A D

的度数约为．（精确到1°）．

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18. 如图，在

△ A B C

中，

∠ C = 60 °

，

B C = 3

厘米，

A C = 4

厘米，点P从点B出发，沿

B \to C \to A

以每秒1厘米的速度匀速运动到点A ．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：

(1)、通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x（s）	0	1	2	3	4	5	6	7
y（ $cm$ ）	0	1.0	2.0	3.0	2.7	2.7	m	3.6

m的值是．

(2)、建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(3)、结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在

△ A B C

中画出点P所在的位置，此时P运动的时间为 ▲ 秒

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19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点D是AB的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠A，∠MDN的两边分别与线段AC交于点M.N（点M在点N左边）.设A，M两点间的距离为xcm，C、N两点间的距离为ycm.

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.

(1)、列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：

x/cm	0	0.6	1.2	1.8	2.3	2.9	3.4	3.5	4.0	4.3	4.5	4.7	4.8
y/cm	a	4.6	4.3	3.9	3.6	3.1	2.6	2.4	b	1.2	0.9	0.4	0.2

请你补全表格：a＝；b＝.

(2)、描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象：

(3)、探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：.

(4)、解决问题：当AM＝CN时，A、M两点间的距离大约是cm.（保留一位小数）

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20. 某数学小组对函数y₁＝ ${\begin{array}{l} | x - 2 | (x \leq 2) \\ x^{2} + b x + 8 (x > 2) \end{array}$ 图象和性质进行探究.当x＝4时，y₁＝0.

(1)、当x＝5时，求y₁的值；

(2)、在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；

(3)、进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y₂＝﹣ $\frac{8}{x}$ 的图象如图所示，结合函数y₁的图象，直接写出不等式y₁≥y₂的解集.

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21. 有这样一个问题：探究函数 $y = \sqrt{{(2 x - 1)}^{2}}$ 的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数 $y = \sqrt{{(2 x - 1)}^{2}}$ 的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：

(1)、函数 $y = \sqrt{{(2 x - 1)}^{2}}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是．

(2)、下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值．
$x$
$\dots$
$- 1$
$- \frac{1}{2}$
$0$
$\frac{1}{2}$
$1$
$\frac{3}{2}$
$2$
$\dots$
$y$
$\dots$
$3$
$2$
$1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$\dots$
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．
根据描出的点，画出该函数的图象，标出函数的解析式．

(3)、结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．

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22. 探究与应用
【探究发现】
某数学小组的同学在学习完函数及一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义→图像→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：
点A是数轴上一点，表示的数是2；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x ， $A B$ 的距离为 $y$ ．随着x的变化， $A B$ 的距离y会如何变化呢？

(1)、数学小组通过列表得到以下数据：
$x$
$\dots$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
5
$\dots$
$y$
$\dots$
4
m
2
1
0
1
2
3
$\dots$
其中m= ．
数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？（填“是”或“不是”）；

(2)、请通过描点、连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ▲ ；

(3)、【应用拓展】
若点 $P (a ， n)$ ， $Q (b ， n)$ 均在该函数图象上，请直接写出a ， b满足的数量关系：；

(4)、将该函数图象在直线 $y = 2$ 上方的部分保持不变，下方的图象沿直线 $y = 2$ 进行翻折，得到新函数图象，若一次函数 $y = k x + 3$ 与该函数图象只有一个交点，则k的取值范围为．
(备注：直线y=2即过点 $(0 ， 2)$ 且与x轴平行的直线．)

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23. 已知 $y_{1} ， y_{2}$ 均是x的函数，下表是 $y_{1} ， y_{2}$ 与 $x$ 的几组对应值．

小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 $y_{1} ， y_{2}$ 与x之间的变化规律，分别对函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象与性质进行了探究．

下面是小聪的探究过程，请补充完整：

(1)、如图，在同一平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出上表中各组数值所对应的点 $(x ， y_{1}) ， (x ， y_{2})$ ，并画出函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象；

(2)、结合画出的函数图象，解决问题：
①当 $x = 3.5$ 时，对应的函数值 $y_{1}$ 约为；

②写出函数 $y_{2}$ 的一条性质：；

③当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围是．

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24. 小星在学习中遇到这样一个问题：如图1

R t △ A B C

中，

∠ A B C = 90 °

，

A B = 6 cm

，

A C = 10 cm

，点

E

在线段

C B

上，且

E C = 2 cm

，点

P

是线段

B E

上一动点，连接

A P

，以

A

为圆心、

A P

的长为半径画弧交线段

A E

于点

Q

，连接

P Q

，当

B P

是

△ P Q E

中某条边的

1 ． 5

倍时，求

B P

的长.小星的探究过程如下：

⑴小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当 $B P = 1.5 P E$ 时，通过推理计算可得 $B P$ 的长为 $cm$ .但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到 $B P$ 的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题.

⑵小星将线段 $B P$ 的长度记为 $x$ ， $P Q$ 和 $Q E$ 的长度分别记为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，并分别对函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 随着自变量 $x$ 的变化规律进行探究.小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值：

$x / cm$	$0$	$1.0$	$2.0$	$3.0$	$4.0$	$5.0$	$6.0$
$y_{1} / cm$	$4.59$	$3.71$	$2.91$	$2.15$	$1.42$	$0.71$	$0$
$y_{2} / cm$		$2.40$	$2.16$	$1.78$	$1.27$	$0.68$	$0$

①在探究过程中，小星发现当 $B P = 0$ 时，无须测量可以求出 $Q E$ 的长，此时 $Q E$ 的长约为 $cm$ （结果精确到 $0.01$ .参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）.

②利用表格中的数据，小星已经在图2所示的平面直角坐标系中画出了 $y_{1}$ 关于 $x$ 的函数图象，请你根据上文中 $y_{2}$ 和 $x$ 的 $7$ 组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出 $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数图象

⑶小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式：，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象.

⑷请结合图象直接写出：当 $B P$ 是 $P Q$ 或 $Q E$ 的 $1.5$ 倍时， $B P$ 的长约为（结果精确到 $0.1 cm$ ）.

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25. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是边 $B C$ 上一动点，连结 $A E$ ，取 $A E$ 的中点 $F$ ，连结 $B F$ .小梦根据学习函数的经验，对 $Δ A D E$ 的面积与 $B E$ 的长度之间的关系进行了探究：

(1)、设 $B E$ 的长度为 $x$ ， $Δ A D E$ 的面积 $y_{1}$ ，通过取 $B C$ 边上的不同位置的点 $E$ ，经分析和计算，得到了 $y_{1}$ 与 $x$ 的几组值，如下表：

$x$

0

1

2

3

4

5

6

$y_{1}$

3

$a$

1

0

$b$

2

3

根据上表可知， $a =$ ， $b =$ .

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出（1）中所确定的函数的图象.

(3)、在（1）的条件下，令 $Δ B E F$ 的面积为 $y_{2}$ .
①用 $x$ 的代数式表示 $y_{2}$ .

②结合函数图象.解决问题：当 $y_{1} < y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围为.

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26. 小颖根据学习函数的经验，对函数

y = 1 - | x - 1 |

的图像与性质进行了探究下面是小颖的探究过程，请你补充完整

(1)、列表：

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\dots$
$y$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$0$	$- 1$	$k$	$\dots$

① $k =$ ；

②若 $A (8 ， - 6)$ ， $B (m ， - 6)$ 为该函数图象上不同的两点，则 $m =$ ；

(2)、描点并画出该函数的图象；

(3)、①根据函数图象可得：该函数的最大值为；

②写出函数图象的两条性质：；

③若方程 $1 - | x - 1 | = n - 1$ 有两个实数解，求 $n$ 的取值范围：；

④当 $\frac{1}{2} x - 1 < 1 - | x - 1 |$ 时 $x$ 的取值范围是；

⑤将 $y_{1} = \frac{1}{2} x - 1$ 沿 $y$ 轴至少平移个单位长度，能使 $y_{1}$ 与 $y$ 的函数图象无交点？

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 边的中点，点E是 $B C$ 边上的一个动点，连接 $A E$ ．设 $△ A D E$ 的面积为y， $B E$ 的长为x，小明对变量x和y之间的关系进行了探究，得到了如下的数据：
请根据以上信息，解答下列问题：




x

0

3

6

y

3

0

3

(1)、题中的自变量和因变量分别是什么？当 $x = 0$ 时，y的值是多少？直接写出 $B C$ 的值；

(2)、当 $△ A D E$ 的面积为 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{4}$ 时，求出x的值．

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28. 八年级下册，我们曾经探究过“一元一次方程、一元一次不等式与一次函数”之间的关系，学会了运用一次函数的图象可以解一元一次方程与一元一次不等式．例如：一次函数y=3x+2与x轴交点的横坐标是方程3x+2=0的解；一次函数y=3x+2在x轴上方部分图像的自变量取值范围是不等式3x+2>0的解集．

(1)、【类比解决】
利用图像解下列方程或不等式．

Ⅰ.如图①，方程ax²＋bx＋c－m=0的解为；

Ⅱ.如图②，不等式kx＋b< $\frac{m}{x}$ 的解为．

(2)、【拓展探究】
已知函数y₁=|60－x|，y₂=|120－x|．

Ⅰ.利用分类思想，可将函数y1=|60－x|先转化为 $y_{1} = {\begin{matrix} 60 - x (x \leq 60) \\ x - 60 (x > 60) \end{matrix}$ ，然后分别画出y1=60－x的图像x≤60的部分和y1=x－60的图像x＞60的部分，就可以得到函数y1=|60－x|的图像，如图③所示．请在图③所在的平面直角坐标系中直接画出y2=|120－x|的图像．

Ⅱ.已知min{m，n} =m（m≤n），例如：min{1，－2} =－2．若y=min{y₁ ， y₂}的图像为W，请计算图像W与坐标轴围成图形的总面积．

(3)、【实际应用】
有一条长为600米的步行道OA，A是垃圾投放点w1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设B（x，0），现要在步行道上建另一座垃圾投放点w2（t，0），点B与w1的距离为d1=|600－x|，点B与w2的距离为d2＝|x－t|，d表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离，即：d＝min{d1，d2}．若可以通过函数d的图像与坐标轴围成的总面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点w2建在何处才能比建在OA中点时更加便利?

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29. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝

{\begin{array}{l} | x + 1 | (x \leq 1) \\ \frac{2}{x} (x > 1) \end{array}

的图象与性质，探究过程如下，请补充完整.

(1)、列表：

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	3	m	1	0	1	2	1	n	$\frac{1}{2}$	…

其中，m＝， n＝.

(2)、描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象.

(3)、研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点A（ $\frac{7}{2}$ ，y₁），B（5，y₂），C（x₁ ， $\frac{5}{2}$ ），D（x₂ ， 6）在函数图象上，则y₁　▲ y₂ ， x₁　▲ x₂；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②当函数值y＝1时，求自变量x的值；

(4)、若直线y＝﹣x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围.

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30. 小亮在学习中遇到如下一个问题：

如图1，点 $C$ 是半圆 $A m B$ 上一动点，线段AB=6，CD平分 $∠ A C B$ ，过点 $A$ 作 $A D // B C$ 交 $C D$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ .当 $△ B C D$ 为等腰三角形时，求线段 $A C$ 的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题.将线段 $A C$ 的长度作为自变量 $x$ ， $B C$ ， $B D$ 和 $C D$ 的长度都是 $x$ 的函数，分别记为 $y_{B C}$ ， $y_{B D}$ 和 $y_{C D}$ .请将下面的探究过程补充完整：

(1)、根据点

C

在半圆

A m B

上的不同位置，画出相应的图形，测量线段

A C

，

B C

，

B D

的长度，得到下表的几组对应值：

$A C$	0	1.0	2.0	3.0	4.0	4.5	5.0	5.5	6
$B C$	6	5.9	5.7	5.2	4.5	a	3.3	2.4	0
$B D$	6	5.0	4.2	3.7	4	4.5	5.3	6.3	8.5

①上表中 $a$ 的值是 ▲

②操作中发现，“无需测量线段 $C D$ 的长度即可得到 $y_{C D}$ 关于 $x$ 的函数解析式”.请直接写出 $y_{C D}$ 关于 $x$ 的函数解析式.

(2)、小亮已在平面直角坐标系

x O y

中画出了函数

y_{B D}

的图象，如图2所示.

①请在同一个坐标系中画出函数 $y_{B C}$ 和 $y_{C D}$ 的图象；

②结合图象直接写出当 $△ B C D$ 为等腰三角形时，线段 $A C$ 长度的近似值（结果保留一位小数）.

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$x$	$\dots \dots$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$y$	$\dots \dots$	$4$	$- 1$	$- 4$	$- 5$	$- 4$	$- 1$	$4$