备考2024年中考数学探究性训练专题14 反比例函数

试卷更新日期：2024-03-24 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 探究函数 $y = \frac{1}{x - 2} + 3$ 的图像发现，可以由 $y = \frac{1}{x}$ 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据以上信息判断，下列直线中与函数 $y = \frac{1}{x - 1} - 3$ 的图像没有公共点的是（）

A、经过点 $(0 ， 3)$ 且平行于x轴的直线 B、经过点 $(0 ， - 3)$ 且平行于x轴的直线 C、经过点 $(- 1 ， 0)$ 且平行于y轴的直线 D、经过点 $(3 ， 0)$ 且平行于y轴的直线

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2. 小明使用电脑软件探究函数 $y = \frac{a x}{{(x - b)}^{2}}$ 的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（）

A、 $a > 0$ ， $b > 0$ B、 $a > 0$ ， $b < 0$ C、 $a < 0$ ， $b > 0$ D、 $a < 0$ ， $b < 0$

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3. 小明使用图形计算器探究函数y＝ $\frac{a x}{{(x - b)}^{2}}$ 的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（　　）

A、a＞0，b＞0 B、a＞0，b＜0 C、a＜0，b＞0 D、a＜0，b＜0

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4. 在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l₁和l₂ ，探究直线l₁ ，直线l₂与双曲线y= $\frac{3}{x}$ 的关系，下列结论错误的是（）

A、两直线中总有一条与双曲线相交 B、当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C、当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧 D、当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2

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5. 某学习小组，在探究1+ $\frac{2}{x}$ 的性质时，得到了如下数据：
x
1
10
100
1000
10000
…
1+ $\frac{2}{x}$
3
1.2
1.02
1.002
1.0002
…
根据表格中的数据，做出了四个推测：
①1+ $\frac{2}{x}$ （x＞0）的值随着x的增大而减小；
②1+ $\frac{2}{x}$ （x＞0）的值有可能等于1；
③1+ $\frac{2}{x}$ （x＞0）的值随着x的增大越来越接近于1；
④1+ $\frac{2}{x}$ （x＞0）的值最大值是3．则推测正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

6. 如图1，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上一点，连接$OA$，过点 $A$ 作 $A A_{I} / / y$ 轴交 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $A_{1}$ ，连接 $O A_{1}$ 并延长交 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象于点 $B$ ，过点 $B$ 作 $B B_{1} / / y$ 轴交 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $B_{1}$ ，已知点 $A$ 的横坐标为 $1 ， S_{△ A O A_{1}} = 2 S_{△ B A_{1} B_{1}}$ ，连接 $O B_{1}$ ，小明通过对 $△ A O A_{1}$ 和 $△ B O B_{1}$ 的面积与 $k$ 的关系展开探究，发现 $k$ 的值为；如图2，延长 $O B_{1}$ 交 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $C C_{1} / / y$ 轴交 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $C_{1}$ ，依此进行下去.记 $S_{△ B A_{1} B_{1}} = S_{1} ， S_{△ C B_{1} C_{1}} = S_{2} ， \dots \dots$ ，则 $S_{2023} =$ .

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7. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $1 ： y = x - 1$ ，双曲线 $y = - \frac{1}{x}$ ，在l上取一点 $A_{1}$ ，过 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线于点 $B_{1}$ ，过 $B_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线交l于点 $A_{2}$ ，请继续操作并探究：过 $A_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线于点 $B_{2}$ ，过 $B_{2}$ 作 $y$ 轴的垂线交l于点 $A_{3}$ ，…，这样依次得到l上的点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ，…， $A_{n}$ ，…，记点 $A_{n}$ 的横坐标为 $a_{n}$ ，若 $a_{1} = - 2$ ，则 $a_{2021} =$ ；若要将上述操作无限次地进行下去，则 $a_{1}$ 不能取的值是．

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三、理论探究题

8. 对于某些函数，由自变量的大小关系确定函数值的大小关系，不仅可以利用函数的图象判断，也可以用代数的方法判断，这是“数形结合”思想的典型应用．

(1)、已知一次函数 $y = - 2 x + 1$ 的图象上的两点 $A (x_{1} ， y_{1}) ､ B (x_{2} ， y_{2}) ， x_{1} < x_{2}$ ，如何用代数的方法判断 $y_{1} ､ y_{2}$ 的大小关系呢？由点 $A ､ B$ 都在函数图象上，得 $y_{1} = - 2 x_{1} + 1$ ， $y_{2} = - 2 x_{2} + 1$ ，再将 $y_{1} ､ y_{2}$ 作差，按照该思路写出判断过程；

(2)、已知反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上的两点 $A (x_{1} ， y_{1}) ､ B (x_{2} ， y_{2}) ， x_{1} < x_{2} < 0$ ，仿照（1）中的思路写出 $y_{1} ､ y_{2}$ 的大小关系的判断过程．

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四、数形结合探究题

9. 某数学学习小组在研究函数 $y = \frac{2}{x - 2} + 1$ 时，对函数的图象和性质进行了探究．
探究过程如下：

(1)、x与y的几组对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
$\frac{3}{2}$
$\frac{5}{2}$
3
4
5
6
…
y
…
$\frac{1}{2}$
m
0
﹣1
n
5
3
2
$\frac{5}{3}$
$\frac{3}{2}$
…
其中 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；

(3)、观察图像，我们可以认为函数 $y = \frac{2}{x - 2} + 1$ 的图像可由函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图像向右平移个单位，再向上平移个单位得到；

(4)、根据函数图象，当 $y \geq 0$ 时，自变量x的取值范围为．

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10. 有这样一个问题：探究函数y=

\frac{2 x - 6}{x - 2}

的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数y=

\frac{2 x - 6}{x - 2}

的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：

(1)、函数y=

\frac{2 x - 6}{x - 2}

的自变量x的取值范围是；

(2)、列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=；

x	…	-3	-2	0	1	1.5	2.5	m	4	6	7	…
y	…	2.4	2.5	3	4	6	-2	0	1	1.5	1.6	…

(3)、请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

(4)、结合函数的图象，写出该函数的两条性质：

①；

② ．

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11. 启航同学根据学习函数的经验，对函数

y = \frac{1}{| - x + 1 |}

的图象与性质进行了探究.下面是他的探究过程，请补充完成：

(1)、函数

y = \frac{1}{| - x + 1 |}

的自变量x 的取值范围是；

(2)、列表，找出y 与x 的几组对应值，列表如下：

x	…	-2	-1	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	2	3	..
y	…	a	$\frac{1}{2}$	1	2	2	1	$\frac{1}{2}$	…

其中， a=；

(3)、在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象并写出该函数的一条性质：

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12. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象和性质后，进一步研究了函数 $y = \frac{2}{| x |}$ 的图像与性质，其探究过程如下：

(1)、绘制函数图象，如图1
①列表；下表是x与y的几组对应值，其中 m= ；

②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；

(2)、通过观察图1，写出该函数的两条性质：①；②；

(3)、①观察发现：如图2，若直线y=2交函数 $y = \frac{2}{| x |}$ 的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于点C，则S_OABC=；
②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则S_OABC=；

③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数 $y = \frac{k}{| x |} (k > 0)$ 的图像于A，B两点，连接OA，过点B作BC//OA交x轴于C，则 S_OABC= ；

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13. 综合与探究
如图，已知， $A (0 ， 4)$ ， $B (- 3 ， 0)$ ， $C (2 ， 0)$ ， D为B点关于 $A C$ 的对称点，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过D点．

(1)、证明四边形 $A B C D$ 为菱形；

(2)、求此反比例函数的解析式；

(3)、已知在 $y = \frac{k}{x}$ 的图象（ $x > 0$ ）上有一点N，y轴正半轴上有一点M，且四边形 $A B M N$ 是平行四边形，求M点的坐标．

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14. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点 $A (x ， y)$ ，我们把点B $(\frac{1}{x} ， \frac{1}{y})$ 称为点A的“倒数点”．

(1)、写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标；

(2)、点P是反比例函数 $y = \frac{\sqrt{2}}{x} (x > 0)$ 图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；

(3)、如图，矩形 $O C D E$ 的顶点 $C (3 ， 0)$ ，顶点E在y轴上，函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象与 $D E$ 交于点A ．若点B点A的“倒数点”，且点B在矩形 $O C D E$ 的一边上，求 $△ O B C$ 的面积．

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15. 背景：点A在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k>0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形.如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3.
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.

(1)、求k的值.

(2)、设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象.
①求这个“Z函数”的表达式.
②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.

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16. 阅读材料：
已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝ $\frac{4}{x}$ （x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围.

(1)、方方给出了下列解答：
﹣x+b＝ $\frac{4}{x}$

x²﹣bx+4＝0

∵两个函数有交点

∴△＝b²﹣16≥0

但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b²﹣16≥0这个不等式；

此时，圆圆提供了另一种解题思路；

第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝ ▲ ；

第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；

第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是 ▲ .

应用：

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S_△ABC＝12.

(2)、求y关于x的函数表达式；

(3)、设x+y＝m，求m的取值范围.

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17. 综合与探究：如图，一次函数 $y = x + 1$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (m ， 2)$ ， $B$ 两点，分别连接 $O A$ ， $O B$ ．

(1)、求这个反比例函数的表达式；

(2)、已知点 $B$ 的横坐标为 $- 2$ ，求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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18. 如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A(-5，0)，C(0，6)，反比例函数图象 L₁ 对应的函数表达式为 $y = - \frac{6}{x} (x < 0) ，$ 反比例函数图象 L₂ 对应的函数表达式为 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x < 0) .$ 把矩形 ABCO内部(不含边界)横、纵坐标均为整数的点称为“整点”.

(1)、若 k=-12，则L₂和L₁ 之间(不含边界)有个“整点”.

(2)、若L₂ 和L₁之间(不含边界)有4个“整点”，求k的取值范围.

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19. 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x₁ ， y₁)，点N的坐标为(x₂ ， y₂)，且x₁≠x₂ ， y₁≠y₂ ，若M，N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M，N的“相关矩形”．如图中的矩形为点M，N的“相关矩形”。

(1)、已知点A的坐标为(2，0)．
①若点B的坐标为(4，4)，则点A，B的“相关矩形”的周长为；
②若点C在直线x=4上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式．

(2)、已知点P的坐标为(3，-4)，点Q的坐标为(6，-2)，若使函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象与点P，Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围．

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20. 如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数 $y = - \frac{4}{x}$ 的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“ $y = - \frac{4}{x}$ 的l镜像”．

(1)、当 $O P = 3$ 时；
①点 $M (- \frac{1}{2} ， - 2)$ “ $y = - \frac{4}{x}$ 的l镜像”；（填“在”或“不在”）
②“ $y = - \frac{4}{x}$ 的l镜像”与x轴交点坐标是；

(2)、过y轴上的点 $Q (0 ， - 1)$ 作y轴垂线，与“ $y = - \frac{4}{x}$ 的l镜像”交于点B、C，若 $B Q = 2 C Q$ ，求 $O P$ 的长．

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21. 阅读材料，用配方法求最值.
已知a，b为非负实数，∵ $a + b - 2 \sqrt{a b} = {(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} - 2 \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq$ 0，

∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当“a＝b”时，等号成立.示例：当x＞0时，求 $y = x + \frac{4}{x} + 1$ 的最小值；

解： $y = (x + \frac{4}{x}) + 1 \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} + 1 = 5$ ，当 $x = \frac{4}{x}$ ，即x＝2时，y的最小值为5.

(1)、若m＞0， $m + \frac{3}{m}$ 的最小值为；

(2)、探究：当x＞0时，求 $y = \frac{x^{2} + 3 x + 1}{x}$ 的最小值；

(3)、如图，已知P为双曲线 $y = \frac{6}{x}$ （x＜0）上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，﹣4），D（6，0），求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时A，B的坐标.

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五、实践探究题

22. 阅读与思考

下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．

第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．

第二步，整理数据．

$R / Ω$	…	3	6	9	12	15	…
$P / W$	…	3	1.5	1	0.75	0.7	…

第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．

在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．

任务：

(1)、表格中错误的数据是， P与R的函数表达式为；

(2)、在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；

(3)、结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．

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23. 在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮。设选用小灯泡的电阻为 R(Ω)，通过的电流强度为I(A)(欧姆定律公式： $I = \frac{U}{R} .$ ）

(1)、若电阻为40 Ω，通过的电流强度为0.30 A，求Ⅰ关于R的函数表达式.

(2)、如果电阻小于 40 Ω，那么与(1)中相比，小灯泡的亮度将发生怎样的变化?请说明理由.

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24. 如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘

A

中放置一个重物，在右边活动托盘

B

（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘

B

与点

O

的距离

x (c m)

，观察活动托盘

B

中砝码的质量

y (g)

的变化情况．实验数据记录如表

$x (c m)$	10	15	20	25	30
$y (g)$	30	20	15	12	10

(1)、把表中

(x ， y)

的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；

(2)、观察所画的图象，猜测

y

与

x

之间的函数关系，求出函数关系式；

(3)、当砝码的质量为

24 g

时，活动托盘

B

与点

O

的距离是多少？

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25. 阅读与思考
下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．
第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P．
第二步，整理数据．

R/Ω	…	3	6	9	12	15	…
P/W	…	3	1.5	1	0.75	0.7	…

第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．

任务：

(1)、表格中错误的数据是， P与R的函数表达式为；

(2)、在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象；

(3)、结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围．

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26. 模具长计划生产面积为9，周长为m的矩形模具，对于m的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

(1)、建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为 $x ， y$ .由矩形的面积为9，得 $x y = 9$ .即 $y = \frac{9}{x}$ ；由周长为m，得 $2 (x + y) = m$ ，即 $y = - x + \frac{m}{2}$ ，满足要求的 $(x ， y)$ .应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.

(2)、画出函数图象
函数 $y = \frac{9}{x}$ 的图象如图所示，而函数 $y = - x + \frac{m}{2}$ 的图象可由直线 $y = - x$ 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线 $y = - x$ .

(3)、平移直线 $y = - x$ ，观察函数图象
①当直线平移到与函数 $y = \frac{9}{x}$ 的图象有唯一交点（3，3），周长m的值为；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围；

(4)、得出结论
若能生产出面积为9的矩形模具，则周长m的取值范围为

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27.
【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图，即F_A×L₁＝F_B×L₂），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L₁＝1m ，距右端L₂＝0.4m ，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A ．

(1)、若在杠杆右端挂重物B ，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为N ．

(2)、为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L₂的长度随之变化．设重物B的质量为xN ， L₂的长度为ycm ．则：
①y关于x的函数解析式是 ▲ ．
②完成下表：
x/N
…
10
20
30
40
50
…
y/cm
…
8
a
$\frac{8}{3}$
2
b
…
③在直角坐标系中画出该函数的图象．

(3)、在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点A的坐标为（2，0），在L上存在点Q ，使得S_△_OAQ＝9．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．

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28. 确定有效消毒的时间段
背景素材
预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足 $\frac{8}{3} (m g) \leq y \leq 4 (m g)$ 的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．
x
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
…
y
…
2.5
3
3.5
4
3.2
2.67
…
问题解决

(1)、任务1
确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式．

(2)、任务2
初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围．

(3)、任务3
若实际生活中有效消毒时间段要求满足a≤x≤3a ，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．

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29. 【问题背景】

(1)、数学活动课上，老师拿出一个由五个边长均为1的小正方形连成的L形教具，如图1，将它放入一个直角三角形中，已知∠BCA＝90°，∠B＝30°，顶点D、E、F、G刚好落在三边上，求AB的长；

(2)、【问题提出与解决】
小颖同学受到启发，将该教具放入如图2所示的直角坐标系中，顶点A、B、C分别落在坐标轴上，提出问题：如果反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （x＜0）图象经过顶点D，求k的值；

(3)、小明同学也受到启发，画了一个圆，如图3，将该教具放入圆内，使圆经过其顶点A、B、C，提出问题：求该圆的面积．

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30. 数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：将长为 $12 c m$ 的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端 $A$ 固定在桌面上，图乙是示意图.如图丙所示，将铅笔AB绕端点 $A$ 按顺时针方向旋转，AB与OF交于点 $D$ ，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点 $C$ 与点 $O$ 重合.

(1)、设 $C D = x (c m)$ ，点 $B$ 到OF的距离 $B G = y (c m)$ .请回答下列问题：
①用含 $x$ 的代数式表示：AD的长是 $c m ， B D$ 的长是 $c m$ ；
②写出 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式：，自变量 $x$ 的取值范围是.

(2)、①列表：根据第(1)题中求出的函数表达式计算并补全表格；
          $x c m$
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
          $y c m$
0
0.55
1.2
1.58

2.47
3
4.29
5.08

②描点：根据表中的数值，在平面直角坐标系(如图丙所示)中描出①中剩余的两个点 $(x ， y)$ ；
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象.

(3)、请你结合函数的图象，写出关于该函数的两条性质或结论.

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31. 【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．

(1)、任务一：考察测量
如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝m；

(2)、任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道；
②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是；③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道．

(3)、如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．

(4)、任务三：成果迁移
如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝4 $\sqrt{2}$ m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为．（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.4， $\sqrt{3}$ ≈1.7， $\sqrt{5}$ ≈2.2， $\sqrt{7}$ ≈2.6）

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x	1	10	100	1000	10000	…
1+ $\frac{2}{x}$	3	1.2	1.02	1.002	1.0002	…

$x c m$	6	5	4	3.5	3	2.5	2	1	0.5	0
$y c m$	0	0.55	1.2	1.58		2.47	3	4.29	5.08