备考2024年中考数学探究性训练专题13 一次函数

试卷更新日期：2024-03-24 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线 $y = k_{n} x + b_{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7)$ ，其中 $k_{1} = k_{2} ， b_{3} = b_{4} = b_{5}$ ，则他探究这7条直线的交点个数最多是（）

A、17个 B、18个 C、19个 D、21个

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二、填空题

2. 如图，已知点 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (2 ， 1)$ ，直线 $y = k x + k$ 经过点 $P (- 1 ， 0) .$ 试探究：直线与线段 $A B$ 有交点时 $k$ 的变化情况，猜想 $k$ 的取值范围是．

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3. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x ，作A₁（1，0）关于y＝x的对称点B₁ ，将点B₁向右水平平移2个单位得到点A₂；再作A₂关于y＝x的对称点B₂ ，将点B₂向右水平平移2个单位得到点A₃；…．请继续操作并探究：点A₃的坐标是，点B₂₀₁₄的坐标是．

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4. 已知合肥到芜湖的距离为 $150$ 千米，现有一辆邮政车往返两城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留 $1$ 小时再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过 $\frac{19}{6}$ 小时两车第一次相遇．两车之间的距离 $s$ 千米与行驶时间 $t$ 小时之间的部分函数关系如图所示．已知行驶过程时，邮政车的速度大于旅游大巴车的速度，请完成以下探究：

(1)、邮政车的速度为千米 $/$ 小时；

(2)、当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到合肥的距离为千米．

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5. 图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究.

$x$
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…

$y_{1} = 2 |x|$
…
6
4
2
0
2
4
6
…
画函数 $y_{1} = 2 |x|$ 的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数 $y_{2} = 2 |x - 2|$ 的图象是由 $y_{1} = 2 |x|$ 向右平移2个单位得到；
函数 $y_{3} = 2 |x - 2| + 3$ 的图象是由 $y_{2} = 2 |x - 2|$ 向上平移3个单位得到.

(1)、函数 $y_{3} = 2 |x - 2| + 3$ 的最小值为；

(2)、函数 $y_{4} = 2 |x - m| + 3$ 在 $- 2 \leq x \leq 1$ 中有最小值4，则 $m$ 的值是.

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三、理论探究题

6. 定义：我们把一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与正比例函数 $y = x$ 的交点称为一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的“不动点”．例如求 $y = 2 x - 1$ 的“不动点”；联立方程 ${\begin{cases} y = 2 x - 1 \\ y = x \end{cases}$ ，解得 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$ ，则 $y = 2 x - 1$ 的“不动点”为 $(1 ， 1)$ ．

(1)、由定义可知，求一次函数 $y = 3 x + 2$ 的“不动点”．

(2)、若一次函数 $y = m x + n$ 的“不动点”为 $(2 ， n - 1)$ ，求 $m 、 n$ 的值．

(3)、若直线 $y = k x - 3 (k \neq 0)$ 与x轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，且直线 $y = k x - 3$ 上没有“不动点”，若 $P$ 点为 $x$ 轴上一个动点，使得 $S_{△ A B P} = 3 S_{△ A B O}$ ，求满足条件的 $P$ 点坐标．

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四、数形结合探究题

7. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数 $y_{1} = 2 x$ 与 $y_{2} = - x + 6$ 进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1)、绘制函数图象
①列表：下表是 $x$ 与 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的几组对应值；

          $x$
…
0
1
…
          $y_{1}$
…
0
2
…
          $y_{2}$
…
b
5
…
其中，b=     ▲     ；
②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点 $(x ， y_{1})$ ， $(x ， y_{2})$ 并画出函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象．


(2)、结合函数图象，探究函数性质
①函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象的交点坐标为     ▲  ，则关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} y = 2 x ， \\ y = - x + 6 \end{array}$ 的解是     ▲  ；

②过点 $M (m ， 0)$ 作垂直于x轴的直线与函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象分别交于点P ， Q ，当点P位于点Q下方时， $m$ 的取值范围是     ▲ ．

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8. 小宇根据学习一次函数的经验，对函数 $y = | x - 1 | - 2$ 的图象与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整．

(1)、如表列出了部分研究数据：
x
…
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
…
y
…
2
1
0
$- 1$
$- 2$
a
0
1
…
上表 $a$ 的值为；

(2)、在如图所示的平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数图象；

(3)、结合函数图象，写出该函数的两条性质．

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9. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．

请根据以下探究过程，回答问题．

(1)、作出函数y＝|x+1|的图象．

①列表：

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	…
y	…	3	a	1	0	1	2	3	…

其中，表格中a的值为 ▲ ；

②描点，连线：

根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

(2)、观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题：

①当x＝时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为；

②当时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大；

(3)、已知直线

y = \frac{1}{3} x + 1

，请结合图象，直接写出不等式

y = - \frac{1}{3} x + 1 > | x + 1 |

的解集是；

(4)、若直线

y = k x + \frac{1}{2}

与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是．

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10. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣

\frac{12}{x^{2} + 2}

的图象并探究该函数的性质.

x	…	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	﹣ $\frac{2}{3}$	a	﹣2	﹣4	b	﹣4	﹣2	﹣ $\frac{12}{11}$	﹣ $\frac{2}{3}$	…

(1)、列表，写出表中a，b的值：a＝_▲__，b＝__▲_；

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.

(2)、观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：

①函数y＝﹣ $\frac{12}{x^{2} + 2}$ 的图象关于y轴对称；

②当x＝0时，函数y＝﹣ $\frac{12}{x^{2} + 2}$ 有最小值，最小值为﹣6；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.

(3)、已知函数y＝﹣

\frac{2}{3}

x﹣

\frac{10}{3}

的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣

\frac{12}{x^{2} + 2}

＜﹣

\frac{2}{3}

x﹣

\frac{10}{3}

的解集.

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11. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数

y = - 2 | x | + 2

的图象并探究该函数的性质．

x	…	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	…
y	…	$- 4$	a	0	2	b	$- 2$	$- 4$	…

(1)、列表：写出表格中a，b的值：

a =

，

b =

；

(2)、通过描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质；

(3)、已知函数

y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}

的图象如图所示，请结合图象，直接写出不等式

\frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \geq - 2 | x | + 2

的解集．

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12. 有这样一个问题：探究函数 $y = | x - 1 | - 2$ 的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数 $y = | x - 1 | - 2$ 的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．

(1)、化简函数表达式：当 $x ≥ 1$ 时， $y =$ ；当 $x < 1$ 时， $y =$ ；

(2)、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，通过列表描点画出了 $x ≥ 1$ 时的部分图象，请在同一平面直角坐标系中，补全当 $x < 1$ 时的部分图象，并写出函数 $y = | x - 1 | - 2$ 的两条性质；

(3)、进一步研究：若点 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2})$ 都在函数 $y = | x - 1 | - t$ 的图象上，且 $0 \leq x_{1} \leq 3$ ， $t \leq x_{2} \leq t + 2$ ，若存在 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 满足 $y_{1} = y_{2}$ ，求 $t$ 的取值范围．

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13. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 $y = \frac{4}{| x | + 1}$ 的图象并探究该函数的性质．

(1)、绘制函数图象
①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=；

x

…

$- 3$

$- 2$

$- 1$

$- \frac{1}{3}$

0

$\frac{1}{3}$

1

2

3

…

y

…

1

$\frac{4}{3}$

2

3

4

3

m

$\frac{4}{3}$

1

…

②描点：根据表中的数值描点 $(x ， y)$ ，补充描出点 $(1 ， m)$ ；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象．

(2)、探究函数性质
写出函数 $y = \frac{4}{| x | + 1}$ 的一条性质：．

(3)、运用函数图象及性质
①观察你所画的函数图象，回答问题：若点 $A (a ， c)$ ， $B (b ， c)$ 为该函数图象上不同的两点，则 $a + b =$ ；

②根据函数图象，写出不等式 $\frac{4}{| x | + 1} \leq 2$ 的解集是．

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14. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y = x + | - 2 x + 6 | + m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
$x$
$\dots$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
5
$\dots$
$y$
$\dots$
6
5
4
$a$
2
1
$b$
7
$\dots$

(1)、写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：
$m =$ ， $a =$ ， $b =$ ；

(2)、根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；

(3)、已知函数 $y = \frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x + | - 2 x + 6 | + m > \frac{16}{x}$ 的解集．

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15. （数学问题）在同一直角坐标系内直线 $y = k_{1} x (k_{1} \neq 0)$ 与 $y = k_{2} x (k_{2} \neq 0)$ ，当 $k_{1} ， k_{2}$ 满足什么条件时，这两条直线互相垂直？
探究问题：我们采取一般问题特殊化的策略来进行探究．

探究一：如图①，在同一直角坐标系内直线 $y = x$ 与 $y = - x$ 有怎样的位置关系？

解：如图①，设点 $A (t ， t) (t > 0)$ 在直线 $y = x$ 上，则点 $B (- t ， t)$ 一定在直线 $y = - x$ 上．过点 $A 、 B$ 分别作 $x$ 的垂线，垂足分别为 $C ， D$ ．

则 $O C = A C = t$ ， $O D = B D = t$

∴ $∠ A O C = ∠ B O D = 45^{\circ}$

∵ $∠ D O C = 180^{\circ}$

∴ $∠ A O B = 90^{\circ}$

所以，在同一直角坐标系内直线 $y = x$ 与 $y = - x$ 互相垂直．

探究二：如图②，在同一直角坐标系内直线 $y = 2 x$ 上，则点 $B (- 2 t ， t)$ 一定在直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 上．过点 $A 、 B$ 分别作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $C ， D$ ．

∵ $O C = t$ ， $A C = 2 t$ ， $O D = 2 t$ ， $B D = t$

∴ $O C = B D$ ， $A C = O D$

又∵ $∠ A C O = ∠ O D B = 90^{\circ}$

∴ $Δ A O C ≅ Δ O D B$

∴ $∠ A O C = ∠ O B D$

又∵ $∠ B O D = ∠ O B D = 90^{\circ}$

∴ $∠ B O D + ∠ A O C = 90^{\circ}$

∵ $∠ D O C = 180^{\circ}$

∴ $∠ A O B = 90^{\circ}$

所以，在同一直角坐标系内直线 $y = 2 x$ 与 $y = - \frac{1}{2} x$ 互相垂直．

探究三：如图③，在同一直角坐标系内直线 $y = 3 x$ 与 $y = - \frac{1}{3} x$ 有怎样的位置关系？

（仿照上述方法解答，写出探究过程）

(1)、在同一直角坐标系内直线 $y = k_{1} x (k_{1} \neq 0)$ 与 $y = k_{2} x (k_{2} \neq 0)$ ，当 $k_{1} ， k_{2}$ 满足数量关系为时，这两条直线互相垂直．

(2)、在同一直角坐标系内已知直线 $y = k x + 10.4 (k \neq 0)$ 与直线 $y = 0.2 x$ ，使它与直线 $y = 0.2 x$ 互相垂直， $k$ 的值为：；两直线垂足的坐标为：．

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16. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，点 $D$ 为 $B C$ 中点，点 $P$ 从点 $D$ 出发，沿 $D \to C \to A$ 方向以每秒 $1 c m$ 的速度匀速运动到点 $A .$ 设点 $P$ 的运动时间为 $x$ 秒， $△ A D P$ 的面积为 $y c m^{2}$ ．
根据学习函数的经验，对函数 $y$ 随自变量 $x$ 的变化规律进行探究．

(1)、直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，注明 $x$ 的取值范围，并画出 $y$ 的函数图象；

(2)、观察 $y$ 的函数图象，写出一条该函数的性质；

(3)、观察图象，直接写出当 $y = A D$ 时， $x$ 的值 ▲ $. ($ 保留 $1$ 位小数，误差不超过 $0.2)$

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17. 有这样一个问题：探究函数 $y = \frac{| x - 3 | + x + 3}{2}$ 的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数 $y = \frac{| x - 3 | + x + 3}{2}$ 的图象与性质进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完成：

(1)、化简函数解析式，当 $x \geq 3$ 时， $y =$ ，当 $x < 3$ 时 $y =$ ；

(2)、根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数 $y = \frac{| x - 3 | + x + 3}{2}$ 的图象；备用图

(3)、结合画出的函数图象，解决问题：若关于 $x$ 的方程 $a x + 1 = \frac{| x - 3 | + x + 3}{2}$ 只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．

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18. 学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数 $y = | x - 1 | - 2$ 的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．

(1)、列表：
x
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
…
y
…
1
0
a
$- 2$
$- 1$
b
1
…
则 $a =$ ， $b =$ ．

(2)、描点并画出该函数的图象；

(3)、①请写出一条关于函数 $y = | x - 1 | - 2$ 的性质：；
②观察函数图象，当 $2 < y < 4$ 时，x的取值范围是；
③观察图像，直接写出函数 $y = | x - 1 | - 2$ 的最小值．

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19. 如图
问题提出：
如图，等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C B = C A$ ，直线 $E D$ 经过点C，过点A作 $A D ⊥ E D$ 于点D，过点B作 $B E ⊥ E D$ 于点E，求证： $△ B E C ≌ △ C D A$ ；
问题探究：
如图2，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{1}{5} x + 1$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角 $△ A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，求点C的坐标；
问题解决：
古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线 $y = - 2 x$ 平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．

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20. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数

y = | x + 1 |

为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．

请根据以下探究过程，回答问题．

(1)、作出函数

y = x + 1 ∣

的图象．

①列表：

$x$	…	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	3	$a$	1	0	1	2	3	…

其中，表格中 $a$ 的值为 ▲ ；

②描点，连线：

根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

(2)、观察函数

y = | x + 1 |

的图象，回答下列问题：

①当 $x =$ 时，函数 $y = | x + 1 |$ 有最小值，最小值为；

②当时（填自变量 $x$ 的取值范围）， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；

(3)、已知直线

y = - \frac{1}{3} x + 1

，请结合图象，直接写出不等式

- \frac{1}{3} x + 1 > | x + 1 |

的解集是；

(4)、若直线

y = k x + \frac{1}{2}

与

y = | x + 1 |

有2个交点，则

k

的取值范围是．

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21. 【定义】如图1，在同一平面内，点 $P ， Q$ 在线段 $M N$ 所在直线的两侧，若 $M P = N Q$ ，且 $∠ P M N = ∠ Q N M = 9 0^{∘}$ ，则称点 $P$ 与 $Q$ 是线段 $M N$ 的等垂对称点。

(1)、【理解】如图2，在正方形网格中，点 $A ， B ， C ， D ， E ， F$ 均在格点上，连接 $A B$ ，则下列各组点是线段 $A B$ 的等垂对称点的是；（填序号）
①点 $C$ 与点 $D$ ②点 $C$ 与点 $F$ ③点 $D$ 与点 $E$ ④点 $E$ 与点 $F$

(2)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $B C$ 上一点，点 $B$ 与 $D$ 是线段 $A E$ 的等垂对称点，
①求证： $A D ∥ B C$ ；
②若 $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，试探究 $∠ B C D$ 与 $∠ B$ 之间的数量关系，并说明理由。

(3)、【拓展】如图4，已知直线 $y = x + 4$ 与坐标轴交于点 $A ， B$ ，直线 $y = x - 2$ 与坐标轴交于点 $C ， D$ ，当点 $A ， B ， C ， D$ 中恰有两点是线段 $E F$ 的等垂对称点，且 $E F ∥ A B$ 时，请直接写出线段 $E F$ 的长。

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22. 先阅读下列材料，然后解决问题：
【阅读感悟】
在平面直角坐标系中，已知点 $Q (t - 2 ， t + 3)$ ，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x ，纵坐标y ，得到了方程组 ${\begin{array}{l} t - 2 = x \\ t + 3 = y \end{array}$ 消去t ，得 $y - x = 5$ ，即 $y = x + 5$ ，可以发现，点 $Q$ 随t的变化而运动所形成的图象的解析式是 $y = x + 5$ ．

(1)、【尝试应用】
观察下列四个点的坐标，不在函数 $y = - x + 4$ 图象上的是____.

A、 $M (1 ， 3)$ B、 $N (t ， t - 4)$ C、 $P (4 - t ， t)$ D、 $P (2 t ， 4 - 2 t)$

(2)、求点 $M (3 - t ， 2 t - 7)$ 随t的变化而运动所形成的图象的解析式；

(3)、【综合运用】
如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 4$ 的图象上运动．已知点 $A (3 ， 0)$ 为定点，连接 $P A$ ，过点A作直线 $B A ⊥ P A$ ，且 $B A = P A$ ，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式．

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23. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C B = C A$ ，直线DE经过点 $C$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ．过 $B$ 作 $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，则 $△ B E C ≌ △ C D A$ ，我们称这种全等模型为“ $k$ 型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线 $y = k x + 6 (k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于A、B两点．
图1 图2图3 图4

(1)、如图2，当 $k = - \frac{3}{4}$ 时，在第一象限构造等腰直角 $△ A B E$ ， $∠ A B E = 90 °$ ；直接写出 $O A =$ ， $O B =$ ；

(2)、如图3，当 $k$ 的取值变化，点 $A$ 随之在 $x$ 轴负半轴上运动时，在 $y$ 轴左侧过点B作 $B N ⊥ A B$ ，并且 $B N = A B$ ，连接ON，问 $△ O B N$ 的面积是否发生变化？若不变，求出其值；若变，请说明理由；

(3)、【拓展应用】如图4，当 $k = - \frac{3}{2}$ 时，直线 $l ： y = - 4$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $P (n ， - 4)$ 、 $Q$ 分别是直线和直线AB上的动点，点 $C$ 在 $x$ 轴上们坐标为 $(10 ， 0)$ ，当 $△ P Q C$ 是以CQ为斜边的等腰直角三角形时，点 $Q$ 的坐标是．

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24. 综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 图象分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A ， B$ ，一次函数 $y = 2 x + b$ 的图象经过点 $B$ ，并与 $x$ 轴交于点 $C$ ，

(1)、 $b =$ ，点 $C$ 的坐标为；

(2)、小朱发现 $∠ C B A = 90 °$ ，请说明你的理由；

(3)、如图2，点 $P$ 在直线 $A B$ 上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交直线 $B C$ 与点 $F$ ，若点 $P$ 的横坐标为 $- 2$ ，则 $P F$ 是 $A C$ 的一半，请通过计算说明原因；

(4)、若点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $E$ ，点 $Q$ 是直线 $A B$ 上的一个动点，是否存在点 $Q$ ，使 $S_{△ A E Q} = 15$ ？若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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25. 【模型介绍】
如图 $1$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ A C$ 于点 $C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ．则 $△ A B C ≌ △ D A E$ ．我们把这个数学模型称为“ $K$ 字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
在平面直角坐标系中，直线 $y = - 2 x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、如图 $2$ ，将直线 $y = - 2 x + 4$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $45 °$ ，得到直线 $l$ ，求直线 $l$ 的表达式．下面是小明的想法，请你帮助完成．
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点 $A$ 作 $A B$ 的垂线交 $l$ 于点 $C$ ，再过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $D$ ，可求出点 $C$ 的坐标为，从而求得直线 $l$ 的表达式为．

(2)、若将直线 $y = - 2 x + 4$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ ，所得直线的表达式为．

(3)、点 $P$ 是线段 $O B$ 上的一个动点，点 $Q$ 是线段 $A B$ 上一动点，若 $△ A P Q$ 是等腰直角三角形，且 $∠ A P Q = 90 °$ ，则点 $Q$ 的坐标是．

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五、实践探究题

26. 根据表中素材，探索完成以下任务：

建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴”

问题情境

素材1

已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨．

素材2

现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨．

素材3

从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；

从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨．

问题解决

分析

设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格．

	运量（吨）		运费（元）
	甲仓库	乙仓库	甲仓库	乙仓库
A村	x	$48 - x$	$20 x$	$15 (48 - x)$
B村	$40 - x$	① ▲	$25 (40 - x)$	② ▲

问题1

设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．

问题2

为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少 $a (4 < a < 8)$ 元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（用含a的代数式表示）

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27. 缂丝，是中国传统丝绸艺术品中的精华．缂丝织造技艺主要是使用古老的木机（如图①）及若干竹制的梭子和拨子，经过“通经断纬”的织造方法，将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物．缂丝工匠现要完成一件织品，工作一段时间后，记录了工作时间和织品长度的数据变化，并从函数角度进行了如下实验探究．

图①

【数据观察】记录的工作时间x（时）和织品长度y（厘米）的数据变化，如下表：

工作时间x（时）	0	2	4	6	8
织品长度y（厘米）	3	3.6	4.2	4.8	5.4

【探索发现】

(1)、建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示记录的工作时间x ，纵轴表示织品长度y ，描出以表格中数据为坐标的各点．

图②

(2)、观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

(3)、如果每天工作10小时，要完成长为240厘米的织品，共需要多少天？

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28. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t(分钟)
1
2
3
4
5
***
总水量y(毫升)
7
12
17
22
27
…

(1)、探究：根据上表中的数据，请判断 $y = \frac{k}{t}$ 和y=kt+b(k，b为常数，k≠0)哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系，并求出y关于t的函数表达式.

(2)、应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升.
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用多少天.

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29. 综合与实践：.
【问题情境】
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆）日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
【数据整理】

(1)、请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）

日销售量（盆）

(2)、分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系.

(3)、根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
冲剌高分练

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30. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 $x$ （单位： $m$ ）以、飞行高度 $y$ （单位： $m$ ）随飞行时间 $t$ （单位： $s$ ）变化的数据如下表．
飞行时间 $t / s$
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离 $x / m$
0
10
20
30
40
…
飞行高度 $y / m$
0
22
40
54
64
…

(1)、探究发现： $x$ 与 $t$ ， $y$ 与 $t$ 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 $x$ 关于 $t$ 的函数解析式和 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．

(2)、问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 $A$ 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
②在安全线上设置回收区域 $M N ， A M = 125 m ， M N = 5 m$ ．若飞机落到 $M N$ 内（不包括端点 $M ， N$ ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

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31. 五子棋的比赛规则是：只要同色5子连成一条直线为胜利．如图是两人玩的一盘棋，若白棋①的位置是（1，﹣5），黑棋②的位置是（2，﹣4）．解答下列问题：

(1)、白棋③的位置是；

(2)、如果现在轮到黑棋走，黑棋放在位置就获得胜利了；

(3)、如果现在轮到白棋走，白棋放在位置就获得胜利了．

(4)、在（2）的条件下，黑棋获胜了．
①设此时黑色5子连成直线的表达式是y＝ax+b，则方程ax+b＝0的解是．
②若黑色5子连成直线的表达式中y＜0，则x的取值范围是．

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32. 综合与实践．
【问题情境】“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图（a）所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】下表是实验记录的圆柱容器液面高度 $y (c m)$ 与时间 $x (h)$ 的数据：
时间 $x (h)$ 1 2 3 4 5
6圆柱容器液面高度 $y (c m)$ 6 10 14 18 22

(1)、【探索发现】
请你根据表中的数据在图（b）中描点、连线，用所学过的一次函数的知识确定 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(2)、【结论应用】
如果本次实验记录的开始时间是上午 $9 ∶ 00$ ，那么当圆柱容器液面高度达到 $12 c m$ 时是几点？

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33.

(1)、问题发现：
如图1，等腰直角 $△ A O B$ 置于平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(4 ， 0)$ ， $(0 ， 4)$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点， $A D = O A$ ，则点 $D$ 的坐标为

(2)、问题探究：如图2，若点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(16 ， 0)$ ， $(0 ， 12)$ ，其余条件与（1）相同，求经过 $O$ ， $D$ 两点的直线表达式。

(3)、问题解决：国庆前夕，大唐芙蓉园景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图3， $△ A B O$ 是景区东门的广场一角， $O A ，$ $O B$ 两面墙互相垂直，景区管理部门设计将 $O A$ ， $O B$ 墙面布置成历史人文宣传墙， $A B$ 边上用建筑隔板搭出 $A D$ 段将该角落与广场其他区域隔开， $A D$ 段布置成长安八景图，剩余 $B D$ 部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到出入安全，还需在靠近出入口的 $E$ 处建一个安检点．已知 $A D = O A = 16 m$ ， $O B = 12 m$ ， $B C$ 平分 $∠ O B A$ ，安检点 $E$ 在 $B C$ 与 $O D$ 的交点处．求点 $E$ 分别到 $O B$ ， $O A$ 墙面的距离。

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34. 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 $8 m^{2}$ 的矩形地块 $A B C D$ 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 $a m^{2}$ ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若 $a = 10$ ，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设 $A B$ 为 $x m$ ， $B C$ 为 $y m$ ．由矩形地块面积为 $8 m^{2}$ ，得到 $x y = 8$ ，满足条件的 $(x ， y)$ 可看成是反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 $10 m$ ，得到 $2 x + y = 10$ ，满足条件的 $(x ， y)$ 可看成一次函数 $y = - 2 x + 10$ 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的 $(x ， y)$ 就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象与直线 $l_{1}$ ： $y = - 2 x + 10$ 的交点坐标为 $(1 ， 8)$ 和 ▲ ，因此，木栏总长为 $10 m$ 时，能围出矩形地块，分别为： $A B = 1 m$ ， $B C = 8 m$ ；或 $A B =$ ▲ m ， $B C =$ ▲ m ．

(1)、根据小颖的分析思路，完成上面的填空．

(2)、【类比探究】
若 $a = 6$ ，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．

(3)、【问题延伸】
当木栏总长为 $a m$ 时，小颖建立了一次函数 $y = - 2 x + a$ ．发现直线 $y = - 2 x + a$ 可以看成是直线 $y = - 2 x$ 通过平移得到的，在平移过程中，当过点 $(2 ， 4)$ 时，直线 $y = - 2 x + a$ 与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线 $y = - 2 x + a$ 过点 $(2 ， 4)$ 时的图象，并求出 $a$ 的值．

(4)、【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“ $y = - 2 x + a$ 与 $y = \frac{8}{x}$ 图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且 $A B$ 和 $B C$ 的长均不小于 $1 m$ ，请直接写出 $a$ 的取值范围．

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	6	5	4	$a$	2	1	$b$	7	$\dots$

	售价（元/盆）	日销售量（盆）
A	20	50
B	30	30
C	18	54
D	22	46
E	26	38

飞行时间 $t / s$	2	4	6	8	…
飞行水平距离 $x / m$	10	20	30	40	…
飞行高度 $y / m$	22	40	54	64	…

时间 $x (h)$	1	2	3	4	5
6圆柱容器液面高度 $y (c m)$	6	10	14	18	22

x	…	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	0	$\frac{1}{3}$	1	2	3	…
y	…	1	$\frac{4}{3}$	2	3	4	3	m	$\frac{4}{3}$	1	…

时间t(分钟)	1	2	3	4	5	***
总水量y(毫升)	7	12	17	22	27	…