备考2024年中考数学探究性训练专题10 不等式（组）

①若$a=6$ ， 则不等式组的解集为$3<x\le 6$；

②若$a=3$ ， 则不等式组无解；

③若不等式组有解，则a的取值范围$a\ge 3$；

④若不等式组只有四个整数解，则a的值只可以为7；

其中，正确结论的个数是（    ）

①若a=5，则不等式组的解为3<x≤5；

②若a=2，则不等式组无解；

③若不等式组无解，则a的取值范围为a<3；

④若不等式组只有两个整数解，则a的值可以为5．

其中，正确结论的序号是.

解不等式：$3-\frac{x-7}{8}>\frac{2x+1}{2}$ ．

去分母，得24-（x-7）＞8x+4．

问题提出：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”.例如，$16=5^2-3^2$ ， 16就是一个幸福数.我们按照从小到大的顺序把“3，5，7，8，…，$m$ ， …” 这些幸福数进行排列依次记为：第1个幸福数3，第2个幸福数5，第3个幸福数7，第4个幸福数8，…，第$n$个幸福数$m$.现在需要探究出一种判断一个较大的数是否是幸福数的方法；以及如何求出第$n$个幸福数$m$的值.

实践探究：小明的方法是：在正整数中，从1开始采取从小到大逐个排查的办法一个一个找出来：

$3=2^2-1^2$ ， $5=3^2-2^2$ ， $7=4^2-3^2$ ，

$8=3^2-1^2$ ， $9=5^2-4^2$ ， $11=6^2-5^2$ ，

…

某数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的运算符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个数$a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$ ， 用$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{a\text{，}b\text{，}c\right\}$表示这三个数中最大的数，例如：$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{1\text{，}2\text{，}3\right\}=3$ ， $\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{-5\mathrm{，}-2\mathrm{，}-3\right\}=-2$ ， $\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{2\mathrm{，}2\mathrm{，}1\right\}=2$ ， 请结合上面材料，解决下列问题：

小逸在趣味数学书上看到这样一道题：已知$-x+y=3$ ， 且$x\le 3$ ， $y\ge 0$ ， 设$a=x+y-3$ ， 那么$a$的取值范围是什么？

【回顾】

小逸回顾做过的一道简单的类似题目：

已知$-1<x<3$ ， 设$y=x-1$ ， 那么$y$的取值范围是 ①  ．

【探究】

小逸想：可以将趣味数学书上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目．

由$-x+y=3$得$y=x+3$ ， 则$a=x+y-3=x+x+3-3=2x$ ，

由$x\le 3$ ， $y\ge 0$ ， 得关于$x$的一元一次不等式组 ②  ，

解该不等式组得到$x$的取值范围为 ③  ，

则$a$的取值范围是 ④  ．

学习了一元一次不等式组的解法，老师给同学们布置了一个任务，请大家探究并求出不等式$\left(x-3\right)\left(4+2x\right)>0$ 的解集．

小丽类比有理数的乘法法则，根据“同号两数相乘，积为正”可以得到：①$\{\begin{array}{c}x-3>0\\ 4+2x>0\end{array}$或②$\{\begin{array}{c}x-3<0\\ 4+2x<0\end{array}$ ， 解不等式组①得$x>3$ ， 解不等式组②得$x\text{<}-\text{2}$ ， 所以原不等式解集为$x>3$或$x\text{<}-\text{2}$ ． 请你仿照上述方法，求不等式的$(2x-4)(1+x)<0$的解集．

我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A ， B ， 若数轴上存在点M ， 使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离的2倍，则称点M为点A与点B的“亚运点”．其中在A，B之间的点M为点A与点B的“亚运@未来点”

解答下列问题：

∵$\sqrt{4}$ <$\sqrt{5}$<$\sqrt{9}$ ， 即2<$\sqrt{5}$<3．

∴$\sqrt{5}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}$- 2，

∴1<$\sqrt{5}$-1<2，

∴$\sqrt{5}$-1的整数部分为1，小数部分为$\sqrt{5}$-2．

[解决问题]已知a是$\sqrt{17}$-2的整数部分，b是$\sqrt{17}$-3的小数部分，求：

新定义：对非负实数$x$“四舍五入”到个位的值记为$Z\left(x\right)$ ， 即：当$n$为非负整数时，如果$n-\frac{1}{2}\le x<n+\frac{1}{2}$ ， 则$Z\left(x\right)=n$；

反之，当$n$为非负整数时，如果$Z\left(x\right)=n$ ， 则$n-\frac{1}{2}\le x<n+\frac{1}{2}$ ．

例如：$Z\left(0\right)=Z\left(0\mathrm{.}48\right)=0$ ， $Z\left(0\mathrm{.}64\right)=Z\left(1\mathrm{.}49\right)=1$ ， $Z\left(2\right)=2$ ， $Z\left(3\mathrm{.}5\right)=Z\left(4\mathrm{.}12\right)=4$ ， $\dots$

试解决下列问题：

定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程$2x-1=1$与不等式$x+1>0$ ， 当$x=1$时，$2x-1=2\times 1-1=1$ ， $1+1=2>0$同时成立，则称“$x=1$”是方程$2x-1=1$与不等式$x+1>0$的“理想解”．

问题解决：

小明在一本数学杂志上看到一道有意思的数学题：解不等式$\left|x\right|\text{<}1$ ， 根据绝对值的几何意义，到原点距离小于1的点在数轴上集中在－1和＋1之间，如图：

所以，该不等式的解集为$-1\text{<}x\text{<}1$ ．

因此，不等式$\left|x\right|\text{>}1$的解集为$x\text{<}-1$或$x\text{>}1$ ．

根据以上方法小明继续探究了不等式$\text{2}\text{<}\left|x\right|\text{<}5$的解集，即到原点的距离大于2小于5的点的集合就集中在这样的区域内，如图：

所以，不等式的解集为－5＜x＜－2或2＜x＜5．

仿照小明的做法解决下面问题：

解：⑴当$x-3\ge 0$ ， 即$x\ge 3$时：$x-3\le 4$

解这个不等式，得：$x\le 7$

由条件$x\ge 3$ ， 有：$3\le x\le 7$

⑵当$x-3<0$ ， 即$x<3$时，$-\mathrm{(}x-3\mathrm{)}\le 4$

解这个不等式，得：$x\ge -1$

由条件$x<3$ ， 有：$-1\le x<3$

∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为$-1\le x\le 7$

根据以上思想，请探究完成下列2个小题：

如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞a（a>0）和|x|＜a（a>0）的解集．

小明同学的探究过程如下：

先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2的解集．确定|x|＞2的解集过程如下：

先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下：

问题的提出

根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？

素材1：图1是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20m，开2个门，且门宽均为1m.

素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表.

如表

素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米.

问题解决

探究：设行驶吋间为t分．

问题解决：

学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：购买甲种足球共用2000元，购买乙种足球共花费1400元.已知购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.设购买一个甲种足球的单价是$x$元。