备考2024年中考数学探究性训练专题8 一元一次方程

试卷更新日期:2024-03-24 类型:二轮复习

一、选择题

  • 1. 如图,表中给出的是某月的月历,任意选取“H”型框中的7个数(如阴影部分所示),请你运用所学的数学知识探究,这7个数的和不可能是(       )

    A、168 B、140 C、98 D、63
  • 2. 幻方的历史很悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中,把“洛书”用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方.请你探究如图洛书三阶幻方中,奇数和偶数的位置、数和数之间的数量关系所呈现的规律,根据这一规律,求出ab , 则ab=( )

    A、16 B、8 C、16 D、8
  • 3. 观察下列两行数:

    1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,…

    1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,…

    探究发现:第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…,若第n个相同的数是103,则n等于(   )

    A、17 B、18 C、19 D、20

二、填空题

  • 4. 甲乙二人在环形跑道上同时同地出发,同向运动.若甲的速度是乙的速度的2倍,则甲运动2周,甲、乙第一次相遇;若甲的速度是乙的速度3倍,则甲运动 32 周,甲、乙第一次相遇;若甲的速度是乙的速度4倍,则甲运动 43 周,甲、乙第一次相遇,…,以此探究正常走时的时钟,时针和分针从0点(12点)同时出发,分针旋转周,时针和分针第一次相遇.

三、理论探究题

  • 5. 用※定义一种新运算:对于任意有理数ab , 规定abab2+2ab+a , 如1※2=1×22+2×1×2+1=9
    (1)、求(﹣4)※3;
    (2)、若a+12※3=﹣16,求a的值.
  • 6. 阅读下面的解题过程:

    解方程:|x+3|=2.

    解:当x+3≥0时,原方程可化成为x+3=2

    解得x=﹣1,经检验x=﹣1是方程的解;

    当x+3<0,原方程可化为,﹣(x+3)=2

    解得x=﹣5,经检验x=﹣5是方程的解.

    所以原方程的解是x=﹣1,x=﹣5.

    解答下面的两个问题:

    (1)解方程:|3x﹣2|﹣4=0;

    (2)探究:当值a为何值时,方程|x﹣2|=a,

    ①无解;②只有一个解;③有两个解.

  • 7. 阅读下列材料:

    问题:怎样将0.8˙表示成分数?

    小明的探究过程如下:

    x=0.8˙①,

    10x=10×0.8˙②,

    10x=8.8˙③,

    10x=8+0.8˙④,

    10x=8+x⑤,

    9x=8⑥,

    x=89⑦.

    根据以上信息,回答下列问题:

    (1)、从步骤①到步骤②,变形的依据是 , 从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是.
    (2)、仿照上述探究过程,请你将0.3˙表示成分数的形式.
  • 8. 定义:对任意一个两位数a , 如果a满足个位数字与十位数字互不相同,且都不为零那么称这个两位数为“互异数”.将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f(a) . 例如:a=12 , 对调个位数字与十位数字得到新两位数21,新两位数与原两位数的和为21+12=33 , 和与11的商为33÷11=3 , 所以f(12)=3 . 根据以上定义,回答下列问题:
    (1)、①下列两位数:50,44,35中,“互异数”为;②计算:f(25)=
    (2)、一个“互异数”b的十位数字是m , 个位数字是n , 且m+n=5 , 求f(b)的值;
    (3)、如果一个“互异数”c的十位数字是2k+1 , 个位数字是k2 , 且f(c)=8 , 求“互异数”c的值.
  • 9. 用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定ab=b2+2ab , 如:13=32+2×1×3=15
    (1)、求(2)5的值;
    (2)、若(a+123)=8 , 求a的值;
    (3)、若12x=m12x=n(其中x为有理数),试比较4m与n的大小.
  • 10. 综合与实践

    阅读材料,解答下列问题:

    幻方历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”,如图1.把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方,如图2,它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等.

    (1)、在图2中,每行、每列、每条对角线上三个数的和都是
    (2)、设图3所示的三阶幻方中间的数为x(x为整数),请用含x的代数式将图3幻方补充完整;
    (3)、如图4是一个三阶幻方,按方格中已给的信息,求x的值.
  • 11. 一般情况a2+b3=a+b2+3不成立,但有些数可以使得它成立,例如:a=b=0.我们称使得a2+b3=a+b2+3成立的一对数ab为“相伴数对”,记为ab.
    (1)、若1b是“相伴数对”,求b值;
    (2)、若mn是“相伴数对”,求代数式m223n[4m2(3n1)]的值。
  • 12. 阅读材料:

    我们定义:如果两个实数的和等于这两个实数的积,那么这两个实数就叫做“和积等数对”,即:如果a+b=a×b , 那么a与b就叫做“和积等数对”,记为(ab).

    例如:2+2=2×212+(1)=12×(1)3+32=3×32

    则称数对(22)(121)(332)是“和积等数对”.

    根据上述材料,解决下列问题:

    (1)、下列数对中,“和积等数对”是 (填序号)

    (232);      ②(545);     ③(12).

    (2)、如果(x4)是“和积等数对”,请求出x的值;
    (3)、如果(mn)是“和积等数对”,那么m=(用含n的代数式表示).
  • 13. 探究题:阅读下列材料,规定一种运|abcd|=adbc , 例如|2345|=2×54×3=1012=2 , 再如|xx332|=2x3(x3)=5x+9 , 按照这种运算的规定,请解答下列问题:
    (1)、|1332|= . (只填结果);
    (2)、若|x+8x132|=0 , 求x的值.(写出解题过程)
    (3)、若|kx2x222|=|2x21x14|化简后是一个关于x的一元一次方程,求k的值.(写出解题过程)
  • 14. 新定义题小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解,他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念:从左到右写下一个自然数,再把它按从右到左的顺序写一遍,如果两数位数相同,这样就得到了这个数的“颠倒数”,如286的颠倒数是682.

    请你探究,解决下列问题:

    (1)、请直接写出2019的“颠倒数”为.
    (2)、能否找到一个数字填入空格,使下列由“颠倒数”构成的等式成立?

    13×6=6×31 。请你用下列步骤探究:

    设这个数字为 x ,将自然数“6□”和“□6”转化为用含 x 的代数式表示分别为

    列出关于 x 的满足条件的方程:

    解这个方程得: x=

    经检验,所求 x 的值符合题意吗?(填“符合”或“不符合”)

  • 15. 定义:如果两个一元一次方程的解之和为1 , 我们就称这两个方程互为“阳光方程”.例如:2x=2的解为x=1x+1=1的解为x=0 , 所以这两个方程互为“阳光方程”.
    (1)、若关于x的一元一次方程x+2m=03x-2=-x是“阳光方程”,则m= 
    (2)、已知两个一元一次方程互为“阳光方程”,且这两个“阳光方程”的解的差为5.若其中一个方程的解为x=k , 求k的值.
    (3)、已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2024 , 请写出解是y=2023的关于y的一元一次方程:     2023+2023   =-a.(只需要补充含有y的代数式)

    若关于x的一元一次方程12023x-1=   12023x-5=2x+a互为“阳光方程”,则关于y的一元一次方程y2023-9-a=2y-22023的解为           

  • 16. 【实验与探究】根据教材“将无限循环小数化为分数”材料,并解决相应问题:

    我们知道分数13写为小数形式即为0.3· , 反之,无限循环小数0.3·写成分数形式即13.一般地,任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗?如果可以,应怎样写呢?

    【发现】先以无限循环小数0.7·为例进行讨论.

    0.7·=x , 由0.7·=0.777可知,10x=7.777 , 即10xx=7.解方程x=79 , 得.于是0.7·=79.

    【类比探究】再以无限循环小数0.7·3·为例,做进一步的讨论.

    无限循环小数0.7·3·=0.737373 , 它的循环节有两位,类比上面的讨论可以想到如下做法.

    0.7·3·=x , 由0.7·3·=0.737373可知,100x=73.7373所以100xx=73.解方程,得x=7399 , 于是得0.7˙3˙=7399

    【解决问题】

    (1)、请你把以下无限小数写成分数形式,0.4˙=0.7˙5˙=
    (2)、根据以上过程比较0.9˙与1的大小关系,并说明你的理由。
  • 17. 我们规定,若关于x的一元一次方程ax=b(a0)的解为x=ab , 则称该方程为“天心方程”.例如,2x=43的解为x=23 , 而243=23 , 则该方程2x=43就是“天心方程”.请根据上述规定解答下列问题:
    (1)、一元一次方程2x=4(填“是”或“不是”) “天心方程”.
    (2)、若关于x的一元一次方程4x=c是“天心方程”,则c=
    (3)、若关于x的一元一次方程3x=a+ab(a0)是“天心方程”,且它的解为x=a , 求ab的值.
    (4)、若关于x的一元一次方程x=3mmn和关于y的一元一次方程3y=mn2n都是“天心方程”,求代数式2(mn3n)+13(33m8mn)13的值.
  • 18.  “数形结合”是一种非常重要的数学思想,它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题.
    (1)、探究:方程|x1|=2 , 可以用两种方法求解,将探究过程补充完整.

    方法一当x1>0时,|x1|=x1=2

    x10时,|x1|==2.

    方法二|x1|=2的意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离是2.

    上述两种方法,都可以求得方程|x1|=2的解是.

    (2)、应用:根据探究中的方法,求得方程|x1|+|x+3|=9的解是.
    (3)、拓展:方程|x1||x3|=12的解是.
  • 19. 阅读下列材料并解决有关问题:

    知道: x=xx>00x=0-xx<0 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,

    如化简代数式x+1+x-2时,可令x+1=0x-2=0 , 分别求得x=-1x=2(称-12分别为x+1x-2的零点值).在有理数范围内,零点值x=-1和,x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:(1x<-12-1x<23x2 . 从而化简代数式x+1+x-2可分以下3种情况:(1)当x<-1时,原式=-x+1-x-2=-2x+1(2)当-1x<2时,原式=x+1-x-2=3;(3)当x2时,原式=x+1+x-2=2x-1 . 综上所述,原式=-2x+1x<-13-1x<22x-1x2.

    通过以上阅读,请你解决以下问题:

    (1)、分别求出x+2x-4的零点值;
    (2)、化简代数式x+2+x-4
    (3)、求方程:x+2+x-4=6的整数解;
  • 20. 定义:关于x的方程axb=0与方程bxa=0(a,b均为不等于0的常数)互为“反对方程”

    例如:方程2x1=0与方程x2=0互为“反对方程”.

    (1)、若方程2x3=0与方程3xc=0互为“反对方程”,则c=
    (2)、若关于x的方程4x+2m+1=0与方程5x3n+2=0互为“反对方程”,求m,n的值.
    (3)、若关于x的方程3x+2b1=0与其“反对方程”的解都是整数,求常数b的值.
  • 21. 定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程4x=8和x+1=0为“美好方程”.
    (1)、若关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“美好方程”,求m的值;
    (2)、若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个解为n , 求n的值;
    (3)、若关于x的一元一次方程12023x+3=2x+k12023x+1=0是“美好方程”,求关于y的一元一次方程12023(y+1)+3=2y+k+2的解.

四、数形结合探究题

  • 22. 操作探究:已知在纸面上有一数轴(如下图所示)左右折叠纸面,折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”.

    (1)、操作一:

    左右折叠纸面,使表示1的点与表示-1的点重合,则表示-3的点与表示的点重合;

    (2)、操作二:

    左右折叠纸面,使表示-1的点与表示3的点重合,回答以下问题:

    ①“对折中心点”所表示的数为 , 对折后表示5的点与表示的点重合;

    ②若数轴上 AB 两点之间的距离为12( AB 的左侧),且 AB 两点经折叠后重合,则 A 点表示的数是B 点表示的数是

  • 23. 综合与探究

    数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.小明在一条长方形纸带上画了一条数轴,进行如下操作探究:

    (1)、操作1:折叠纸带,使数轴上表示 1 的点与表示 1 的点重合,则表示数 2.5 的点与表示数的点重合.
    (2)、操作2:折叠纸带,使数轴上表示 1 的点与表示 3 的点重合,则表示 a2+2 的点与表示数的点重合.
    (3)、操作3:如图,在数轴上剪下6个单位长度(从 1 到5)的一条线段,并把这条线段沿某点向左折叠,然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段,发现这三条线段的长度之比为1:1:2,则折痕处对应的点表示的数可能是几?
  • 24. 如图

    【问题提出】已知∠BOC与∠AOC有共同的始边OC,且满足∠BOC=2∠AOC,若∠AOC=28°,求∠AOB的度数.

    【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形,运用分类讨论的数学思想,解决问题.

    在图①中,当射线OA在∠BOC的内部时,由题意易得∠AOB=28°;

    在图②中,当射线OA在∠BOC的外部时,由题意易得∠AOB=84°.

    【问题应用】请仿照这种方法,解决下面两个问题

    (1)、如图③,已知点A,B,C在数轴上对应的数分别为﹣4,2,1,请在数轴上标出线段AC的中点D并写出D所表示的数;若数轴上存在点E,它到点C的距离恰好是线段AB的长,求线段DE的长.
    (2)、如果两个角的差的绝对值等于90°,就称这两个角互为垂角,例如:∠1=120°,∠2=30°,|∠1﹣∠2|=90°,则∠1和∠2互为垂角(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角).

    ①若∠α=140°,求∠α的垂角;②如果一个角的垂角等于这个角的补角的23 , 求这个角的度数.

  • 25. 某实践小组设计宣传牌:

    如图1是长方形宣传牌,长330cm , 宽220cm , 中间可以用来设计的部分是长方形ABCD , 且AB=1.55BC . 四周空白部分的宽度相等,设四周宽度为xcm

    如图2,为了美观,将长方形ABCD分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目,栏目与栏目之间的中缝间距相等;

    如图3,每个栏目划出8个小正方形方格,中间有十字间隔,竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为12

    (1)、AB=cmBC=cm(用含x的代数式表示);
    (2)、求出图1四周宽度x的值;
    (3)、求每个栏目的水平宽度;
    (4)、求栏目与栏目之间中缝的间距.

五、实践探究题

  • 26. 在学习“一元一次方程的应用”时.小明和小天在一起讨论下列问题:

    某汽车队运送一批援助物资.若每辆车装4吨,还剩下6吨未装;若每辆车装4.5吨,则最后一辆车还能装2吨.这个车队有多少辆车?

    (1)、若设这个车队有x辆车,根据两种装车方案中援助物资的总量不变,请列出方程并解答.
    (2)、小明和小天讨论后,觉得也可以设这批援助物资有y吨,根据两种装车方案中车辆数不变来列方程,请判断他们的说法是否正确,若正确,按这种方法列出方程并进行解答.
  • 27. 列方程解应用题:

    为了丰富社会实践活动,引导学生科学探究.学校组织七年级同学走进中国科技馆.亲近科学,感受科技魅力,来到科技馆大厅,同学们就被大厅里会“跳舞”的“小球矩阵”吸引住了(如图1).白色小球全部由计算机精准控制,每一只小球可以“悬浮”在大厅上空的不同位置,演绎着曲线、曲面、平面、文字和三维图案等各种动态造型.

    已知每个小球分别由独立的电机控制.图2,图3分别是9个小球可构成的两个造型,在每个造型中,相邻小球的高度差均为a米.为了使小球从造型一(如图2)变到造型二(如图3),控制电机使造型一中的②,③,④,⑥,⑦,⑧号小球同时运动,②,③,④小球向下运动,运动速度均为4米/秒;⑥,⑦,⑧号小球向上运动,运动速度均为3米/秒.当每个小球到达造型二的相应位置时就停止运动.已知⑦号小球比②号小球晚53秒到达相应位置,问②号小球运动了多少米?

  • 28. 数学活动-探究日历中的数字规律

    如图1是2022年2月份的日历,小宇在其中画出两个2×2的方框,每个框均框住位置为的四个数,计算“bc-ad”的值,探索其运算结果的规律.

    (1)、计算:2×8-1×9= , 19×25-18×26=.
    (2)、小宇通过特例分析,猜想所有日历中,2×2方框里“bc-ad”的结果都不变,并说明理由如下,请你将其过程补充完整;

    解:bc-ad的值均为  ▲   . 理由如下:

    设a=x,则b=x+7,c=x+1,d=  ▲  

    因为bc-ad=  ▲  

    所以bc-ad的值均为  ▲  

    (3)、同学们利用小宇的方法,借助2022年4月份的日历,继续进行如下探究.

    请从下列A,B两题中任选一题作答.我选择  ▲  

    A,在日历中用“十字框”框住位置为的五个数,探究bc-ad的值的规律,请写出你的结论,并说明理由.

    B.在日历中用日数柜框住位置为的七个数,探究bc-ad的值的规律,请写出你的结论,并说明理由.

  • 29. 为激发学生们对科技的好奇心和探索欲,培养学生的创新意识和创新精神,某学校开展了“智能小车实验探究”活动.某小组观察探究小车运动中的函数关系,如图,在一条长为50cm的水平直线轨道上,放置一辆长为4cm的智能小车,开始时小车左端与A处挡板重合,然后以2cm/s的速度匀速向右行驶,当小车接触到B处的挡板时因为要改变方向需停顿1s , 然后以相同的速度返回,至再次与A处的挡板接触时小车停止运动.在这个过程中,设小车的右端与B处挡板的距离为s(cm) , 小车出发后的时间为t(s) , 请根据所给条件解决下列问题:

    (1)、小车运动时间为3s时,s的值为cm
    (2)、小车从B处驶向A处的过程中,求st的函数表达式;
    (3)、当小车左端与A处挡板的距离比小车右端与B处挡板距离的2倍多4cm时,请求出t的值.
  • 30. 请看“计算框图”,计算框图中有很多的规范要求:“输入输出框”用“”表示(表示输入、输出操作);“处理框”用“”表示(表示数据处理和运算);“判断框”用“”表示(根据条件决定执行两条路径中的某一条)

     

    价目表

    每月用水量

    单价

    不超出15吨的部分

    3元/吨

    超15吨不超25吨的部分

    4元/吨

    超出25吨的部分

    6元/吨

    注:水费按月结算

    (1)、【观察与思考】:

    ①在图1中写出操作过程.

    (2)、【类比与归纳】:

    ①如图2,如果输入的值为2 , 那么输出的结果为

    ②根据图3所示的计算程序,若输出的值y=5 , 则输入的值x=

    (3)、【生活与应用】:

    为加强居民节水意识,东阳市决定对居民用水实行“阶梯价”,见价目表.

    问题①:若该居民1月用水量不超25吨,请你设计“计算框图”,使得输入数据为用水量x , 输出数为水费y

    问题②:若该居民2、3月份共用水34吨(3月份用水超过2月份),共交水费118元,则该居民2、3月份各用水多少吨?