【提升卷】2024年北师大版数学八（下）4.3 公式法同步练习

试卷更新日期：2024-03-24 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列变形中，是因式分解且正确的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = (x + y) (x - y)$ B、 $a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2}$ C、 $(a - 3) (a + 7) = a^{2} + 4 a - 21$ D、 $- x^{2} + 6 x - 9 = (x - 3)^{2}$

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2. 将下列多项式分解因式，结果中不可能含因式 $x - 1$ 的是（）

A、 $x^{2} - 1$ B、 $x (x - 2) + (2 - x)$ C、 $x^{2} - 2 x + 1$ D、 $x^{2} + 2 x - 1$

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3. 下列不能分解因式的是（）

A、 $a^{2} - 4$ B、 $a^{2} + 16$ C、 $9 a^{2} - 6 a + 1$ D、 $4 a + 2 b$

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4. 下列分解因式正确的是（）

A、 $a^{2} - a b + a = a (a - b)$ B、 $a^{2} b - 2 a b + b = b (a^{2} - 2 a + 1)$ C、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ D、 $4 a^{2} - b^{2} = (4 a + b) (4 a - b)$

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5. 数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学（）
董天宇： $a (x + y) = a x + a y$ 秘锦航： $x^{2} - 4 x + 4 = x (x - 4) + 4$
夏渤骅： $10 x^{2} - 5 x = 5 x (2 x - 1)$ 武帅： $x^{2} - 16 + 3 x = (x - 4) (x + 4) + 3 x$

A、董天宇 B、秘锦航 C、夏渤骅 D、武帅

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6. 下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（）

A、a²＋4 B、a²＋2a＋1 C、a²－1 D、9a²－6a＋1

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7. 已知 $a$ 、 $b$ 、是三角形的三条边，那么代数式 ${(a - b)}^{2} - c^{2}$ 的值（）

A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、无法确定

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8. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： $a - b ， x - 1 ， 3 ， x^{2} + 1 ， a ， x + 1$ 分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将 $3 a (x^{2} - 1) - 3 b (x^{2} - 1)$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、你爱数学 B、你爱学 C、爱中国 D、中国爱你

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二、填空题

9. 分解因式： $m^{2} - 2 m - 8 =$ ．

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10. 分解因式： $x^{2} - 4 y^{2} + x - 2 y =$ .

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11. 已知： $x^{2} + y = 10$ ， $y^{2} + y = 6$ ， $x - y = - 1$ ，则 $x y =$ ．

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12. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：．

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三、计算题

13. 将下列各式分解因式：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 15$

(2)、 $9 {(x + 2 y)}^{2} - 4 {(x - y)}^{2}$

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14. 分解因式.

(1)、a²+b²﹣2ab﹣1；

(2)、(2x+y)²﹣(x﹣2y)²；

(3)、(a+b)²﹣6(a+b)+9；

(4)、﹣4(m+n)²+25(m﹣2n)².

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四、综合题

15. 分解因式 $x^{2} + a x + b$ 时，甲看错了a的值，分解的结果是 $(x + 6) (x - 1)$ ，乙看错了b的值，分解的结果为 $(x - 2) (x + 1)$ ．

(1)、求a、b的值．

(2)、分解因式 $x^{2} + a x + b$ 的正确答案是什么？

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16. 阅读下列分解因式的过程：
$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y = (x^{2} - 4 y^{2}) + (- 2 x + 4 y) =$ $(x + 2 y) (x - 2 y) - 2 (x - 2 y) = (x - 2 y) (x + 2 y - 2)$ ．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

(1)、分解因式： $a^{2} - 4 a - b^{2} + 4$ ；

(2)、 $△ A B C$ 三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} - a b - a c + b c = 0$ ，判断 $△ A B C$ 的形状

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五、实践探究题

17. 阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x + a^{2}$ 这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成 $(x + a)^{2}$ 的形式，但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，例如： $x^{2} + 2 a x - 3 a^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2} - a^{2} - 3 a^{2} = (x + a)^{2} - (2 a)^{2} =$ ____．

(1)、用平方差公式补全上面算式最后一步．

(2)、用上述方法把 $m^{2} + 6 m + 8$ 分解因式．

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18. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 4 x = y$

原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4$ （第一步）

$= y^{2} + 8 y + 16$ （第二步）

$= {(y + 4)}^{2}$ （第三步）

$= {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}$ （第四步）

回答下列问题：

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是；

(2)、该因式分解的最后结果应该是；

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解．

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19. 阅读材料，并解决问题：
分解因式 $(a ＋ b)^{2} + 2 (a ＋ b) + 1$ ．

解：设 $a + b = t$ ，则原式 $= t^{2} + 2 t + 1 = (t + 1)^{2} = (a + b + 1)^{2}$ ．

这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．

请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：

(1)、 $(m + n)^{2} - 10 (m + n) + 25$ ；

(2)、 $(x^{2} - 6 x + 8) (x^{2} - 6 x + 10) + 1$ ．

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20. 阅读下列材料：将一个形如 $x^{2} + p x + q$ 的二次三项式因式分解时，如果能满足 $q = m n$ 且 $p = m + n$ ，则可以把 $x^{2} + p x + q$ 因式分解成 $(x + m) (x + n)$ ．
例如：（1） $x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3)$ ；（2） $x^{2} - 4 x - 12 = (x - 6) (x + 2)$ ．

根据材料，把下列式子进行因式分解．

(1)、 $x^{2} - 6 x + 8$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 x - 15$ ；

(3)、 $(x - 4) (x + 7) + 18$ ．

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六、解答题

21. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式： $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ 因式分解的结果为 $(x - 1) (x + 1) (x + 2)$ ，当 $x = 18$ 时， $x - 1 = 17$ ， $x + 1 = 19$ ， $x + 2 = 20$ ，此时可以得到六位数的数字密码171920．

(1)、根据上述方法，当 $x = 21$ ， $y = 7$ 时，对于多项式 $x^{3} - x y^{2}$ 分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）

(2)、若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式 $x^{3} y + x y^{3}$ 分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；

(3)、若多项式 $x^{3} + (m - 3 n) x^{2} - n x - 21$ 因式分解后，利用本题的方法，当 $x = 27$ 时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．

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【提升卷】2024年北师大版数学八（下）4.3 公式法 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、综合题

五、实践探究题

六、解答题

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