河北省2024年中考数学模拟试卷（一）

试卷更新日期：2024-03-24 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 要使算式（-1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　）

A、+ B、- C、× D、÷

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2. 有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是（）

A、a-b<0 B、|a|<|b| C、a+b>0 D、ab>0

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3. 如果长方形的长为(4a²-2a+1)，宽为(2a+1)，则这个长方形的面积为（）

A、8a³-4a²+2a-1 B、8a³+4a²-2a-1 C、8a³-1 D、8a³+1

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4. 一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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5. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞(如图)，则破损部分的式子可能是（）
化简： $(- \frac{3}{1 - x}) \div \frac{x}{x + 1} = \frac{x + 1}{\underline{x - 1}} \sqrt$

A、 $\frac{x - 3}{x - 1}$ B、 $\frac{x + 3}{x - 1}$ C、 $\frac{x^{t} - x + 1}{x^{2} - x}$ D、 $\frac{x^{2} + 5 x + 1}{x^{2} - x}$

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6. 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到 $△ D E F$ ， DF交BC于点H ， $C H = 2 c m$ ， $E F = 4 c m$ ，则阴影部分的面积为（）

A、6cm² B、8cm² C、12cm² D、16cm²

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7. 某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是 (　　)
①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得4x+3× $\frac{120 - x}{2}$ =360；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得3× $\frac{m}{2}$ +4(120-m)=360；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张.

A、1　　　　 B、2　　　　 C、3　　　　 D、4

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8. 如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（）

A、20cm³以上，30cm³以下 B、30cm³以上，40cm³以下 C、40cm³以上，50cm³以下 D、50cm³以上，60cm³以下

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9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，以点 $B$ 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ，分别以 $E$ ， $F$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径作弧，两弧在 $∠ A B C$ 内交于点 $P$ ，作射线 $B P$ ，交 $A D$ 于点 $G$ ，交 $C D$ 的延长线于点 $H .$ 若 $A B = A G = 4$ ， $G D = 5$ ，则 $C H$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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10. 已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 $S = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}}$ ，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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11. 如图， $P_{1} ~ P_{8}$ 是 $⊙ O$ 的八等分点. 若 $△ P_{1} P_{3} P_{7}$ ，四边形 $P_{3} P_{4} P_{6} P_{7}$ 的周长分别为 a， b，则下列判断正确的是（）

A、a<b B、a=b C、a>b D、a，b大小无法比较

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12. 已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与三角形内角和为180°矛盾．
②因此假设不成立，∠B<90°．
③假设在△ABC中，∠B≥90°．
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90° ，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（）

A、④③①② B、③④②① C、①②③④ D、③④①②

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13. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ .
证明：延长 DE 至点 F，使 EF=DE，连结 FC，DC，AF.
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形.
以下是接着的排序错误的证明步骤：
①∴DF∥BC.
②∴CF∥AD，即CF∥BD.
③∴四边形 DBCF 是平行四边形.
④∴DE∥BC，且 $D E = \frac{1}{2} B C .$ 正确的证明顺序应是（）

A、②→③→①→④ B、②→①→③→④ C、①→③→④→② D、①→③→②→④

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14. 如图，不等边 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， I是其内心， $B I ⊥ O I$ ， $A C = 14$ ， $B C = 13$ ， $△ A B C$ 内切圆半径为（）

A、4 B、 $\frac{7}{2} \sqrt{2}$ C、 $\frac{5}{2} \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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15. 学校组织学生参加知识问答，问答活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了A、B、C三名学生的得分情况，按此规则，参赛学生D的得分可能是（）．
参赛学生
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
15
5
65

A、75 B、63 C、56 D、44

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16. 如图 $1$ ，动点 $K$ 从 $△ A B C$ 的顶点 $A$ 出发，沿 $A B - B C$ 匀速运动到点 $C$ 停止．在动点 $K$ 运动过程中，线段 $A K$ 的长度 $y$ 与运动时间 $x$ 的函数关系如图 $2$ 所示，其中点 $Q$ 为曲线部分的最低点，若 $△ A B C$ 的面积是 $5 \sqrt{5}$ ，则图 $2$ 中 $a$ 的值为（）

A、 $\sqrt{30}$ B、 $5$ C、 $7$ D、 $3 \sqrt{5}$

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二、填空题

17. 已知a ， b互为相反数，c ， d互为倒数，m的绝对值是2，则 $\frac{| a + b |}{2 m^{2} + 1} + 2 m - {(- c d)}^{2023}$ ＝．

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18. 有一种手持烟花，该烟花有10个花弹，每1秒发一发花弹，每一发花弹的飞行路径均相同.第一发花弹的飞行高度 $h$ (米)与飞行时间 $t$ (秒)满足关系式： $h = - \frac{5}{2} t^{2} + m t$ .当 $t = 1$ 秒时，该花弹的高度为 $\frac{15}{2}$ 米.

(1)、第一发花弹的飞行高度 $h$ 的最大高度是米.

(2)、第一发花弹飞行过程中与其他花弹同一高度时，其 $t$ 的值为.

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ， $R t △ A B C$ 的顶点在 $y$ 轴的正半轴上，点 $B$ ，点 $C$ 在第一象限，且直角边 $A C$ 平行于 $x$ 轴，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0$ 且 $x > 0)$ 的图象经过点 $B$ 和边 $A C$ 的中点 $D$ ，则 $k$ 的值为．

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三、解答题

20. 聪聪根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了如下水费计算程序转换机示意图：

(1)、根据该程序转换机计算表中a、b的值；

(2)、当 $x > 15$ 时，月应缴纳水费（元）用x的代数式表示为 ▲ ；
用户
张大爷
刘奶奶
王阿姨
聪聪家
用户
输入（ $m^{3}$ ）
8
15
18
25
输入（ $m^{3}$ ）
输出（元）
24
a
60
b
输出（元）

(3)、小丽家比小明家用水量多 $10 m^{3}$ ，水费多44元，则小丽家该月用水多少 $m^{3}$ ?

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21. 教育部办公厅印发了《关于加强中小学生手机管理的工作通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园，确有需求的，须经家长同意、书面提出申请，进校后应将手机由学校统一保管，禁止带入课堂.为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图(1)，图(2)所示的统计图，已知“查资料”的人数是48人.
解答下列问题：

(1)、在扇形统计图中，表示“玩游戏”的扇形圆心角度数为，补全条形统计图；

(2)、该校共有学生2 100人，估计每周使用手机时间在2 h以上(不含2 h)的人数；

(3)、请写出一条学生健康使用手机的建议.

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22. 有4张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其中正面分别画有如图所示4个不同的几何图形，小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀后再摸1张.

(1)、用画树状图或列表的方法表示两次摸牌所有可能出现的结果.(纸牌可用A，B，C，D表示)

(2)、求摸出的两张纸牌正面所画的几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率.

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23. 已知 $y + 3$ 与 $x + 2$ 成正比例，且 $x = 2$ 时， $y = 7$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、将所得函数图象向上平移 $3$ 个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．

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24.

(1)、【感知】如图（1）已知四边形 $A B C D$ 是圆O的内接四边形， $A D = A B$ ，易知 $∠ D C A = ∠ A C B$ ．（不用证明）

(2)、【拓展】在【感知】的条件下， $B D$ 与 $A C$ 交于点E，已知 $A D = 4$ ， $A C = 10$ ，求 $A E$ 的长．

(3)、【应用】已知 $△ A B C$ 中 $A B = A C = 5$ ，点D为 $B C$ 中点，以 $A C$ 为斜边向上作等腰直角三角形，当 $A C$ 把 $△ A D E$ 的面积分为 $1 ： 2$ 两部分时， $D F =$ ．

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25. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度 $y_{1}$ （米）与小钢球运动时间 $x$ （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度 $y_{2}$ （米）与它的运动时间 $x$ （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．

(1)、直接写出 $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、求出 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(3)、小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

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26. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 6$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点 $.$ 四边形 $D E F G$ 是菱形 $(D ， E ， F ， G$ 按逆时针顺序排列 $)$ ， $∠ E D G = 60 °$ ，且 $D E = 2$ ，菱形 $D E F G$ 可以绕点 $D$ 旋转，连接 $A G$ 和 $C E$ ，设直线 $A G$ 和直线 $C E$ 所夹的锐角为 $α$ ．

(1)、在菱形 $D E F G$ 绕点 $D$ 旋转的过程中，当点 $E$ 在线段 $D C$ 上时，如图 $①$ ，请直接写出 $A G$ 与 $C E$ 的数量关系及 $α$ 的值；

(2)、当菱形 $D E F G$ 绕点 $D$ 旋转到如图 $②$ 所示的位置时， $(1)$ 中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)、设直线 $A G$ 与直线 $C E$ 的交点为 $P$ ，在菱形 $D E F G$ 绕点 $D$ 旋转一周的过程中，当 $E F$ 所在的直线经过点 $B$ 时，请直接写出 $△ A P C$ 的面积．

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参赛学生	答对题数	答错题数	得分
A	20	0	100
B	19	1	93
C	15	5	65

用户	张大爷	刘奶奶	王阿姨	聪聪家	用户
输入（ $m^{3}$ ）	8	15	18	25	输入（ $m^{3}$ ）
输出（元）	24	a	60	b	输出（元）