湖北省随州市广水市2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-03-22 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 在平面直角坐标系中，点 $(1，2)$ 关于 $y$ 轴的对称点是（）

A、 $(1，2)$ B、 $(- 1，2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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3. 芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗 $.$ 目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为 $0.000 000 007$ 毫米，将数据 $0.000 000 007$ 用科学记数法表示为（）

A、 $7 \times 10^{- 8}$ B、 $7 \times 10^{- 9}$ C、 $0.7 \times 10^{- 8}$ D、 $0.7 \times 10^{- 9}$

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4. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在 $∠ A O B$ 的两边 $O A$ 、 $O B$ 上分别在取 $O C = O D$ ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 $C$ 、 $D$ 重合，这时过角尺顶点 $M$ 的射线 $O M$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线.这里构造全等三角形的依据是（）

A、 $S A S$ B、 $A S A$ C、 $A A S$ D、 $S S S$

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5. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 $a + 1$ 的是（）

A、 $a^{2} - 1$ B、 $a^{2} + a$ C、 $a^{2} - 2 a + 1$ D、 $(a + 2)^{2} - 2 (a + 2) + 1$

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6. 下列各式中与分式 $\frac{- n}{m - n}$ 相等的是（）

A、 $\frac{n}{- m - n}$ B、 $\frac{n}{m + n}$ C、 $\frac{n}{n - m}$ D、 $- \frac{n}{n - m}$

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7. 某公司准备铺设一条长 $1200 m$ 的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速度比原计划快 $10 %$ ，结果提前 $2$ 天完成任务 $.$ 设原计划每天铺设道路 $x m$ ，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1 + 10 %) x} = 2$ B、 $\frac{1200}{(1 + 10 %) x} - \frac{1200}{x} = 2$ C、 $\frac{1200}{(1 - 10 %) x} - \frac{1200}{x} = 2$ D、 $\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1 - 10 %) x} = 2$

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8. 如图，将一张三角形纸片 $A B C$ 的一角折叠，使点 $A$ 落在 $△ A B C$ 外的 $A'$ 处，折痕为 $D E .$ 如果 $∠ A = α$ ， $∠ C E A' = β$ ， $∠ B D A' = θ$ ，那么下列式子中正确的是（）

A、 $θ = 2 α + β$ B、 $θ = α + 2 β$ C、 $θ = α + β$ D、 $θ = 180 ° - α - β$

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9. 如图，某园林内，在一块长 $33 m$ ，宽 $21 m$ 的长方形土地上，有两条斜交叉的小路，其余地方种植花卉进行绿化 $.$ 已知小路的出路口均为 $1.5 m$ ，则绿化地的面积为（）

A、 $693$ B、 $614.25$ C、 $78.75$ D、 $589$

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10. 如图，等腰 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C$ 的平分线分别交 $A C$ 、 $A D$ 于 $E$ 、 $F$ 两点， $M$ 为 $E F$ 的中点， $A M$ 的延长线交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $D M$ ，下列结论： $① D F = D N$ ； $② △ D M N$ 为等腰三角形； $③ M D$ 平分 $∠ B M N$ ； $④ A E = \frac{2}{3} E C$ ； $⑤ A E = N C$ ，其中正确结论有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 把 $45 b^{2} - 20$ 分解因式的结果是．

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12. 如果 $(a + b)^{2} = 19$ ， $a^{2} + b^{2} = 14$ ，则 $(a - b)^{2} =$ ．

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13. 若关于x的分式方程 $\frac{2}{x + m} = \frac{3}{x + 3}$ 有负数解，则m的取值范围为．

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14. 如图，点 $P$ 关于 $O A$ ， $O B$ 的对称点分别是 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{1} P_{2}$ 分别交 $O A$ ， $O B$ 于点 $C$ ， $D$ ， $P_{1} P_{2} = 6 c m$ ，则 $△ P C D$ 的周长为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = a$ ， $A C = b$ ， $∠ B A C = 150 °$ ，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A H$ 是高， $A E / / B C$ ， $A B = A E$ ，在 $A B$ 边上取点 $D$ ，连接 $D E$ ， $D E = A C$ ，若 $S_{△ A B C} = 5 S_{△ A D E}$ ， $B H = 1$ ，则 $B C =$ ．

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 因式分解：

(1)、 $12 x y z - 9 x^{2} y^{2}$

(2)、 $(a + b)^{2} - 12 (a + b) + 36$ ．

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18.

(1)、计算： $1 - \frac{a - b}{a + 2 b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}}$ ．

(2)、解方程： $\frac{4}{x^{2} - 1} + \frac{x + 2}{1 - x} = - 1$ ．

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19. 已知 $2 x + y = 4$ ，求代数式 $[(x + y)^{2} - (x - y)^{2} - 2 y (x - \frac{1}{2} y)] \div 4 y$ 的值．

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (2 ， 3)$ ， $B (1 ， 1)$ ， $C (2 ， 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标为 ▲

(2)、将 $△ A B C$ 向左平移 $4$ 个单位长度得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，直接写出点 $C_{2}$ 的坐标为

(3)、直接写出点 $B$ 关于直线 $n ($ 直线 $n$ 上各点的纵坐标都为 $- 1)$ 对称点 $B'$ 的坐标为 $；$

(4)、在 $y$ 轴上找一点 $P$ ，使 $P A + P B$ 的值最小，标出 $P$ 点的位置 $. ($ 保留画图痕迹 $)$

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $D$ 、 $E$ ．

(1)、若 $∠ A = 40 °$ ，求 $∠ D C B$ 的度数；

(2)、若 $A E = 5$ ， $△ D C B$ 的周长为 $16$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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22. 金秋时节，八年级的同学组织去公园秋游，从景区 $A$ 出发到相距 $10$ 千米的景区 $B$ ，公园有 $4$ 座脚踏车和 $7$ 座电瓶车 $($ 不包含司机 $)$ 两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从 $A$ 景区先出发，过了 $20$ 分钟后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达 $B$ 景区 $.$ 已知电瓶车的速度是骑脚踏车学生速度的 $2$ 倍，租用一辆脚踏车 $100$ 元，租用一辆电瓶车 $400$ 元．

(1)、请问骑脚踏车学生的速度为多少千米 $/$ 小时？ $($ 请列分式方程解答 $)$

(2)、现共租用脚踏车和电瓶车 $20$ 辆，使可乘坐学生的总数不低于 $110$ 人，且租车总费用不超过 $5600$ 元，请求出费用最少的租车方案及最少费用．

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23. 如图，一块原边长分别为 $a$ ， $b (a > 1 ， b > 1)$ 的矩形，现将原矩形一边增加 $1$ ，另一边减少 $1$ ，变化后的面积为 $S_{2}$ 或 $S_{3}$ ．

(1)、 $S_{1} =$ ； $S_{2} =$ ； $S_{3} =$ ； $($ 用含 $a$ ， $b$ 的式子表示 $)$

(2)、当 $a = b$ 时，变化后的面积会； $($ 增加或减少 $)$

(3)、当 $a > b$ 时，有两种方案，第一种方案如图 $2$ ，第二种方案如图 $3 .$ 请你比较这两种方案，确定哪一种方案变化后的面积比较大．

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24. 在平面直角坐标系中，等腰 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ C A B = 90 °$ ， $A (0 ， a)$ ， $B (b ， 0)$ ．

(1)、如图 $1$ ，若 $\sqrt{2 a - b} + (a - 2)^{2} = 0$ ，求 $△ A B O$ 的面积；

(2)、如图 $2$ ， $A C$ 与 $x$ 轴交于 $D$ 点， $B C$ 与 $y$ 轴交于 $E$ 点，连接 $D E$ ， $A D = C D$ ，求证： $∠ A D B = ∠ C D E$ ；

(3)、如图 $3$ ，在 $(1)$ 的条件下，若以 $P (0 ， - 6)$ 为直角顶点， $P C$ 为腰作等腰 $R t △ P Q C$ ，连接 $B Q$ ，求证： $A P / / B Q$ ．

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