2024年浙教版数学八年级下册4.5三角形的中位线课后培优练

试卷更新日期：2024-03-22 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（）

A、28 B、14 C、10 D、7

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2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上-点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，则PQ的长为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、4 C、6 D、 $3 \sqrt{5}$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $F$ 是 $D E$ 上一点， $A F ⊥ F C$ ．若 $A C = 5$ ， $B C = 8$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $1.5$ C、 $2.5$ D、 $3$

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4. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，E、F分别是 $D C$ 、 $A D$ 的中点， $E F ⊥ A B$ ，若 $B C ＝ 13$ ， $A B ＝ 5$ ，则 $E F$ 的长度为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是三边的中点， $A F = 6 \sqrt{2}$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $6$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $12$

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $D$ ， $E$ 为 $B C$ 上的点，连接 $D N$ ， $E M$ ．若 $A B = 13$ cm， $B C = 10$ cm， $D E = 5$ cm，则图中阴影部分面积为（）

A、25cm² B、35cm² C、30cm² D、42cm²

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8. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ C = 45 °$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且满足 $A E = A B$ ， $D$ 为线段 $A E$ 的中点，若 $∠ E D B = ∠ C A B$ ， $D B = 3 \sqrt{2}$ ，则 $A E =$ （）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、6

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二、填空题

9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ ， $A C$ 上的中点，连接 $A D$ ， $B E$ ，分别取 $A D$ ， $B E$ ， $A B$ 的中点 $M$ ， $N$ ， $P$ ，顺次连接 $M$ ， $N$ ， $P$ ，则 $△ M N P$ 的周长为．

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10. 在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折后点 $B$ 落到正方形 $A B C D$ 的内部点 $F$ ，连接 $B F$ 、 $C F$ 、 $D F$ ，如图，如果 $∠ B F C = 90 °$ ，那么 $D F =$ ．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，其中 $D ， E ， F$ 分别是 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 的中点，下列三个结论：①四边形 $B D E F$ 是平行四边形；② $△ D E F ≌ △ H F E$ ；③ $S_{△ D F H} + S_{△ H E C} = S_{△ B D F}$ ．其中正确的结论是．（填上相应的序号即可）

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12. 如图1是雨伞的结构示意图．OP是伞柄，OM，AB，CD是伞骨．已知点A，C分别是OM，AB的中点．CD＝ $\sqrt{7}$ （dm），点B，D在OP上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当OP与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，∠ABD＝90°；再将雨伞收拢到如图3，此时B′D′＝1（dm），且点C′到OP的距离恰好等于图2中BD的长．则伞骨AB的长为（dm），设图2中能罩住的水平面面积是S₁ ，图3中能罩住的水平面面积是S₂ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ ＝．

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三、解答题

13. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别是 $A B$ ， $A C$ 边的中点．求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．

(1)、方法一：证明：如图，延长 $D E$ 到点 $F$ ，使 $E F = D E$ ，连接 $A F$ ， $F C$ ， $D C$ ．

(2)、方法二：证明：如图，取 $B C$ 中点 $G$ ，连接 $G E$ 并延长到点 $F$ ，使 $E F = G E$ ，连接 $A F$ ．

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14. 如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF $∥$ BC．

(1)、求证：四边形BDEF是平行四边形；

(2)、线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．

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15.

(1)、课本再现
已知：如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线．求证： $D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
定理证明
证明：如图1，延长 $D E$ 至点 $F$ ，使得 $E F = D E$ ，连接 $C F$ ．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）

(2)、知识应用
如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $C D = 8$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ A C D = 120 °$ ，点 $E$ ， $F$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点，求 $E F$ 的长．

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