广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-22 类型：开学考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， A = {- 2 ， - 1 ， 0} ， B = {0 ， 1 ， 2}$ 则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${- 2 ， - 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数z₁=3+4i，z₂=a+i，且z₁ ${\bar{z}}_{2}$ 是实数，则实数a等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、- $\frac{4}{3}$ D、- $\frac{3}{4}$

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为（）.

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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4. 已知直线 $l_{1} ： a x + y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： x + a y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ 或1 B、0或1 C、1 D、 $- 1$

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5. 直线 $3 x + y - b = 0$ 与圆 $(x - 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 10$ 相切，则实数b的值是（）

A、 $- 8$ 或12 B、8或 $- 12$ C、8或 $- 12$ D、8或12

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6. 已知点F是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（）

A、 $(3 ， 2 \sqrt{3})$ B、 $(3 ， \sqrt{3})$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 2 \sqrt{2})$

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7. 等比数列{a_n}中，a₄＝2，a₇＝5，则数列{lg a_n}的前10项和等于（）

A、2 B、lg 50 C、5 D、10

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} ＋ \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1的左焦点为F₁ ，右顶点为A，上顶点为B.若∠F₁BA＝90°，则椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦距是4，则实数m的值可能为（）

A、5 B、13 C、8 D、21

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10. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为 $\frac{1}{3}$ ，公比为q的等比数列， $S_{n}$ 是其前n项和，且 $9 S_{3} = S_{6}$ ，则（）

A、 $q = 2$ B、 $q = 1$ 或2 C、 $a_{3} = \frac{4}{3}$ D、 $a_{2} + a_{3} = 2$

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11. 已知函数 $f (x) = a | x - 1 |$ 的图象与直线 $y = 2 x + a$ 有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（）

A、2 B、3 C、4 D、1

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，（ $a > 0$ ）的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则实数a的值为.

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13. 若圆x²＋y²＝4与圆x²＋y²＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则a＝.

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14. 将石子摆成如图的梯形形状，各梯形里石子的个数为5，9，14，20，…，即构成一个数列，根据图形的构成，此数列的第n项即 $a_{n} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 1) ， \vec{b} = (- 2 ， 1 ， 1)$ ．

(1)、计算 $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 和 $5 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角 $θ$ 的余弦值．

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16. 已知 ${a_{n}}$ 是一个等差数列，且 $a_{2} = 1 ， a_{5} = - 5$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最大值．

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17. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $4 x - 4 y + 1 = 0$ 相切．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、已知过点 $(\frac{1}{4} ， 0)$ 且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A，B两点．若 $| A B | = 4$ ，求弦 $A B$ 的中点到直线 $x + 2 = 0$ 的距离．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D ， A B ∥ C D ， A D = C D = 1 ， ∠ B A D = 120 ° ， ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ．

(2)、若平面 $D P C$ 与平面 $P C A$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求点A到平面 $P B C$ 的距离．

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19. 对于无穷数列 ${a_{n}}$ ， “若存在 $a_{m} - a_{k} = t (m ， k \in N^{*} ， m > k)$ ，必有 $a_{m + 1} - a_{k + 1} = t$ ”，则称数列 ${a_{n}}$ 具有 $P (t)$ 性质.

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = {\begin{array}{l} 2 n & (n = 1 ， 2) \\ 2 n - 5 & (n \geq 3 ， n \in N^{*}) \end{array}$ ，判断数列 ${a_{n}}$ 是否具有 $P (1)$ 性质？是否具有 $P (4)$ 性质？

(2)、对于无穷数列 ${a_{n}}$ ，设 $T = {x | x = a_{j} - a_{i} ， i < j}$ ，求证：若数列 ${a_{n}}$ 具有 $P (0)$ 性质，则 $T$ 必为有限集；

(3)、已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正整数的数列，且 ${a_{n}}$ 既具有 $P (2)$ 性质，又具有 $P (3)$ 性质，是否存在正整数 $N$ ， $k$ ，使得 $a_{N}$ ， $a_{N + 1}$ ， $a_{N + 2}$ ， …， $a_{N + k}$ ， …成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.

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