上海师大附中2024年高考数学模拟试卷（3月份）

试卷更新日期：2024-03-21 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 ${A = x | x > - 2}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x - 15 \geq 0}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $A \cap B = ⌀$ C、 $\bar{A} \subseteq \bar{B}$ D、 $\bar{A} \cap \bar{B} \neq ⌀$

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2. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位： $d m$ ）的关系式为 $V = \frac{π d^{3}}{6}$ ，当 $d = 2 d m$ 时，气球体积的瞬时变化率为（）

A、2π B、π C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ，且 $c - 2 b + 2 \sqrt{3} c o s C = 0$ ，则该三角形外接圆的半径为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $∠ C = 90 ° . P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C = 2$ ，若 $\vec{C P} = λ \vec{C A} + μ \vec{C B}$ ，则给出下面四个结论：
$① λ + μ$ 的最小值为 $- \frac{4}{5}$ ；
$② \vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为 $- 6$ ；
$③ λ + μ$ 的最大值为 $\frac{3}{4}$ ；
$④ \vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为 $8$ ．
其中，正确结论的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题：本题共12小题，共54分。

5. 复数 $\frac{3 + 4 i}{3 - 4 i}$ 的虚部是．

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6. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距是．

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7. 若抛物线 $x^{2} = m y$ 的焦点到它的准线距离为 $1$ ，则实数 $m =$ ．

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8. $(x + \frac{3}{x})^{n}$ 的二项展开式的各项系数之和为 $256$ ，则该二项展开式中的常数项为．

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9. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| 4 \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{13}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为．

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10. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，当 $x \in [0，1]$ 时， $f (x) = x (1 - x)$ ，则 $f (\frac{3}{2}) =$ ．

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11. 设圆锥的底面中心为 $O$ ， $P B$ 、 $P C$ 是它的两条母线，且 $| B C | = 2$ ，若棱锥 $O - P B C$ 是正三棱锥，则该圆锥的体积为．

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12. 已知函数 $f (x) = 2 f^{'} (3) \cdot x - \frac{2}{9} x^{2} + l n x$ ，则 $f (1) =$ ．

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 是公差相等的等差数列，且 $a_{n} + b_{n} = 2 n + 5$ ，若 $b_{n}$ 为正整数，设 $c_{n} = a_{b_{n}} (n \in N^{*})$ ，则数列 ${c_{n}}$ 的通项公式为 $c_{n} =$ ．

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14. 如图 $A B C D E F - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}$ 为正六棱柱，若从该正六棱柱的 $6$ 个侧面的 $12$ 条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是．

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} | = 3 | F_{1} Q |$ ，则 $C$ 的离心率是．

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16. 已知 $n \in N^{*}$ ，集合 $A = {s i n \frac{k π}{n} | k \in N ， 0 \leq k \leq n}$ ，若集合 $A$ 恰有 $8$ 个子集，则 $n$ 的可能值的集合为．

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三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.

(1)、已知 $t a n (\frac{3 π}{4} + α) = 3$ ，求 ${s i n}^{2} α + c o s (π + α) s i n (\frac{π}{2} - α) + s i n 2 α + \frac{s i n α}{{c o s}^{3} α}$ 的值．

(2)、已知 $△ A B C$ 中， $t a n A + t a n B + \sqrt{3} = \sqrt{3} t a n A t a n B$ ，且 $s i n B c o s B = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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18. 如图，在圆柱中，底面直径 $A B$ 等于母线 $A D$ ，点 $E$ 在底面的圆周上，且 $A F ⊥ D E$ ， $F$ 是垂足．

(1)、求证： $A F ⊥ D B$ ；

(2)、若圆柱与三棱锥 $D - A B E$ 的体积的比等于 $3 π$ ，求直线 $D E$ 与平面 $A B D$ 所成角的大小．

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19. 某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班 $(45$ 人 $)$ 和高三二班 $(30$ 人 $)$ 进入决赛 $.$ 决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有 $4$ 个选择题和 $2$ 个填空题，乙箱中有 $3$ 个选择题和 $3$ 个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱，并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．

(1)、环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取 $20$ 名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为 $1$ ，方差为 $1$ ；二班抽取同学答对题目的平均数为 $1.5$ ，方差为 $0.25$ ，求这 $20$ 人答对题目的均值与方差；

(2)、环节二，王刚先从甲箱中依次抽出两道题目，答题结束后将所答题目放入乙箱，然后李明在乙箱中再依次抽取两道题目，求李明抽取的两题均为选择题的概率．

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20. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，直线 $l$ ： $y = k x + 1$ 与 $Γ$ 有两个不同的交点 $A$ ， $B$ ．

(1)、当 $F_{1} \in l$ 时，求 $F_{2}$ 到 $l$ 的距离；

(2)、若 $O$ 为原点，直线 $l$ 与 $Γ$ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 $C$ ， $D$ ，证明；当 $△ C O D$ 的面积最小时，直线 $C D$ 平行于 $x$ 轴；

(3)、设 $P$ 为 $x$ 轴上一点，是否存在实数 $k (k > 0)$ ，使得 $△ P A B$ 是以点 $P$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 $k$ 的值及点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - (a + 2) x$ ， $h (x) = l n x$ ，令 $f (x) = g (x) + h (x)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $a$ 为正数且 $1 \leq x \leq e$ 时， $f (x)_{m i n} = - 2$ ，求 $a$ 的最小值；

(3)、若 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 2$ 对一切 $0 < x_{1} < x_{2}$ 都成立，求 $a$ 的取值范围．

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