浙江省浙南名校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷

试卷更新日期：2024-03-21 类型：开学考试

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一、选择题

1. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y$ 的焦点在直线 $y = 2 x + 1$ 上，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1 ， - 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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3. 已知点 $A (0 ， 3)$ 及直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 上一点B，则 $| A B |$ 的值不可能是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项为正的等比数列，前项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $S_{2} = \frac{3}{2}$ ， $S_{3} = \frac{7}{4}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{9}{4}$

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5. 若圆 $x^{2} - 2 a x + y^{2} = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 4 = 0$ 只有一个交点，则实数a的值可以是（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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6. 已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为A，B，C，则 $l n A + l n B + l n C$ 的值可能是（）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

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7. 圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，(如图1).如图2，已知 $F_{1}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，O为坐标原点，直线l为椭圆C的任一条切线，H为 $F_{1}$ 在l上的射影，则点H的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲性 D、抛物线

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8. 已知 $a = \frac{1}{2024}$ ， $b = l n \frac{2024}{2023}$ ， $c = e^{\frac{1}{2024}} - 1$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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二、多项选择题

9. 已知m， $n \in R$ ，则方程 $m^{2} x^{2} + n y^{2} = 1$ 表示的曲线可能是（）

A、两条直线 B、圆 C、焦点在x轴的椭圆 D、焦点在y轴的双曲线

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10. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD为正方形， $P A = A B$ ， Q为线段BC上一点(含端点)，则直线PQ与平面PCD所成角不可能是（）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 2 \sqrt{2} + 1$ ，前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 为等比数列 B、数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 为等差数列 C、数列 ${a_{n}}$ 中任意三项不能构成等比数列 D、数列 ${b_{n}}$ 中可能存在三项成等比数列

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12. 如图，已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点P是棱AB的中点，过点P作正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面，关于下列判断正确的是（）

A、截面的形状可能是正三角形 B、截面的形状可能是直角梯形 C、此截面可以将正方体体积分成 $1 ： 3$ D、若截面的形状是六边形，则其周长为定值

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三、填空题

13. 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，第一排21个座位，从第2排起后一排都比前一排多两个位置，那么这个报告厅共有排座位.

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14. 设曲线 $y = e^{a x}$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线与直线 $2 x - y + a = 0$ 垂直，则实数a的值为.

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15. 已知正四面体ABCD，点M为棱CD的中点，则异面直线AM与BC所成角的余弦值为.

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16. 已知点P是直线 $l ： y = x + 4$ 上一点，点Q是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 上一点，设点 $M$ 为线段PQ的中点，O为坐标原点，若 $| O M |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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四、解答题

17. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x$ .

(1)、若 $f (x)$ 有且只有一个零点，求a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 的一个极值点为1，求函数 $f (x)$ 的极值.

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18. 如图，已知等腰三角形ABC中， $A B = A C$ ， D是AC的中点，且 $B (0 ， 0)$ ， $D (3 ， 0)$ .

(1)、求点A的轨迹T的方程；

(2)、设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E，当 $△ A B D$ 面积最大且A在第一象限时，求 $| A E |$ .

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19. 如图， $△ A B E$ 是边长为2的等边三角形，且 $B D = \sqrt{3}$ ， $∠ D B A = 30 °$ .

(1)、若点A到平面BDE的距离为1，求DE；

(2)、若 $B E ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ 且 $A D = \frac{1}{2} B C$ ，求直线AD与平面DCE所成角的正弦值.

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20. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $(n \in N^{*})$ ，已知 $a_{1} = a$ ，且 $a_{n}$ ， $\sqrt{S_{n}}$ ， $a_{n + 1}$ 成等比数列.

(1)、写出 $a_{2}$ ，并求出数列 ${a_{2 n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $T_{n}$ 为数列 ${{(\frac{1}{2})}^{a_{n} + a_{n + 1}}}$ 的前n项和，若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} \leq \frac{1}{4}$ 恒成立，求a的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - l n (x + m) + 1$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，求证： $f (x) > 1$ .

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22. 已知等轴双曲线C过定点 $A (\sqrt{2} ， 1)$ ，直线l与双曲线C交于P，Q两点，记 $k_{A Q} = k_{1}$ ， $k_{A P} = k_{2}$ ， $k_{P Q} = k$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 2 k + 2 \sqrt{2} \neq 0$ .

(1)、求等轴双曲线C的标准方程；

(2)、证明：直线l过定点.

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