湖南省岳阳市平江重点中学2023-2024学年高二下学期开学数学试卷

试卷更新日期：2024-03-21 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O A}$ ， $\vec{B N} = \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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2. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $B C$ 的中点，则直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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3. 已数列 ${a_{n}}$ 是等比数列， $a_{2} = 3$ ， $a_{5} = \frac{1}{9}$ ，则公比 $q$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 已知点 $A (- 1，3)$ ， $B (3，1)$ ，过点 $C (0 ， - 1)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 相交，则 $l$ 的斜率的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{4} ， \frac{3}{2}]$ B、 $[- 4 ， \frac{2}{3}]$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{4}] ⋃ [\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 4] \cup [\frac{2}{3} ， + \infty)$

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5. 已知双曲线的上、下焦点分别为 $F_{1} (0 ， - 3)$ ， $F_{2} (0，3)$ ， $P$ 是双曲线上一点且 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 4$ ，则双曲线的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，点 $P$ 在椭圆上，且 $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ ， $∠ P F_{2} F_{1} = 60 °$ ，则椭圆的离心率等于（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$

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7. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $f' (x)$ 为其导函数， $f (2) = 0$ ，当 $x > 0$ 时，有 $x f' (x) > f (x)$ 恒成立，则不等式 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2，2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (0，2)$ C、 $(- 2，0) \cup (0，2)$ D、 $(- 2，0) \cup (2 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = x (\ln x - a x)$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是 (　　）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知三条直线：直线 $l_{1}$ ： $a x + y - 3 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + y - 1 = 0$ ， $l_{3}$ ： $2 x - y - 5 = 0$ 不能围成一个封闭图形，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、 $- 2$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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10. 一条直线经过点 $M (- 3 ， - \frac{3}{2})$ ，被圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 截得的弦长等于 $8$ ，这条直线的方程为（）

A、 $x = - 3$ B、 $y = - \frac{3}{2}$ C、 $3 x + 6 y + 5 = 0$ D、 $3 x + 4 y + 15 = 0$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 33 n - n^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = 34 - 2 n$ B、 $S_{16}$ 为 $S_{n}$ 的最小值 C、 $| a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{16} | = 272$ D、 $| a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{30} | = 450$

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12. 若函数 $f (x) = 3 x - x^{3}$ 在区间 $(a^{2} - 12 ， a)$ 上有最小值，则实数 $a$ 的可能取值是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 过点 $P (2，3)$ 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为．

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14. 已知点 $A (2 ， - 1，3)$ ，若 $B (1，0 ， 0)$ ， $C (1，2 ， 2)$ 两点在直线 $l$ 上，则点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为．

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15. 如果椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 上一点 $P$ 到焦点 $F_{1}$ 的距离是 $8$ ，则 $P$ 到另一焦点 $F_{2}$ 的距离是．

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16. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x f' (2022) - 2022 l n x$ ，则 $f' (2022) =$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 $(1 ， 1)$ ，动点P满足 $| P A | = \sqrt{2} | P O |$ .

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、若直线l过点 $Q (1 ， 2)$ 且与轨迹C相切，求直线l的方程.

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18. 已知如图 $1$ 直角梯形 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A D = C D = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，沿 $E C$ 将梯形 $A B C D$ 折起 $($ 如图 $2)$ ，使平面 $B E D ⊥$ 平面 $A E C D$ ．

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $A E C D$ ；

(2)、在线段 $C D$ 上是否存在点 $F$ ，使得平面 $F A B$ 与平面 $E B C$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ，若存在，求出点 $F$ 的位置：若不存在，请说明理由．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N *)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 3 x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间及极值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0，6]$ 上的最值．

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $O$ 是坐标原点， $F$ 是 $C$ 的焦点， $M$ 是 $C$ 上一点， $| F M | = 4$ ， $∠ O F M = 120 °$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、设点 $Q (x_{0} ， 2)$ 在 $C$ 上，过 $Q$ 作两条互相垂直的直线 $Q A$ ， $Q B$ ，分别交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点（异于 $Q$ 点）．证明：直线 $A B$ 恒过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 (1 - a) x - 2 l n x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e ， f (e))$ 的切线方程；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性．

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