湖南省长沙市四县区2023-2024学年高三下学期3月调研考试数学试卷

试卷更新日期：2024-03-21 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合 $A = {x ∣ - 1 ⩽ x ⩽ 2} ， B = {x ∣ x < 1}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x ∣ x > 1}$ B、 ${x ∣ x ⩾ - 1}$ C、 ${x ∣ 1 < x ⩽ 2}$ D、 ${x ∣ 1 ⩽ x ⩽ 2}$

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2. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = 6 ， a_{6} = 3$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、76 B、72 C、36 D、32

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3. 设 $a ， β$ 是两个不同的平面， $a ， b$ 是两条不同的直线，且 $a ⊥ α ， b \subset β$ ，则“ $a$ $∥$ $b$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到 $A ， B ， C$ 三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（）

A、36种 B、24种 C、18种 D、16种

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6. 过点 $(0 ， 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0$ 相切的两条直线夹角为 $α$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7. 钝角 $△ A B C$ 中， $a s i n C = c c o s B$ ，则 $c o s (A - B) =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、0

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过点 $F$ ，并且与抛物线 $C$ 交于 $A ､ B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $M$ ，与抛物线的准线交于点 $N$ ，若 $\vec{A F} = 2 \vec{M N}$ ，则 $k =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设 $z$ 为非零复数，则下列命题中正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、 $| z |^{2} = z \bar{z}$ C、 $| z^{2} | = z^{2}$ D、若 $| z | = 1$ ，则 $| z + i |$ 的最大值为2

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} c o s (2 x - \frac{π}{3})$ ，把 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，以下说法正确的是（）

A、 $x = \frac{π}{6}$ 是 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴 B、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ C、 $y = g (x)$ 的图象关于原点对称 D、 $f (x) + g (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的连续函数，且满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 2 x y$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，设 $g (x) = f (x) + x^{2}$ （）

A、若 $f (1) \cdot f (- 1) = - 3$ ，则 $f (1) = 1$ B、 $g (x)$ 是偶函数 C、 $g (x)$ 在 $R$ 上是增函数 D、 $(x - 1) g (x) > 0$ 的解集是 $(- ∞ ， 0) \cup (1 ， + ∞)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知一组数据如下： $4 ， 4 ， 4 ， 7 ， 7 ， 8 ， 8 ， 9 ， 9 ， 10$ ，则这组数据的第75百分位数是.

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13. 一个正四棱锥底面边长为2，高为 $\sqrt{3}$ ，则该四棱锥的内切球表面积为.

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14. 已知对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + ∞)$ ，且当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有： $\frac{a (l n x_{2} - l n x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 1 + \frac{1}{x_{1} x_{2}}$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 如图，在圆锥 $S O$ 中， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，且 $△ S A B$ 是边长为4的等边三角形， $C ， D$ 为圆弧 $A B$ 的两个三等分点， $E$ 是 $S B$ 的中点.

(1)、证明： $D E$ $∥$ 平面 $S A C$ .

(2)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B D$ 所成锐二面角的余弦值.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - 2 l n x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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17. 春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有 $A 、 B 、 C$ 三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目 $A$ 中奖的概率是 $\frac{1}{4}$ ，项目 $B$ 和 $C$ 中奖的概率都是 $\frac{2}{5}$ .

(1)、若规定每位参加活动的顾客需要依次参加 $A 、 B 、 C$ 三个项目，如果 $A 、 B 、 C$ 三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获得奖券金额的期望；

(2)、若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是 $A$ 项目的概率.

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18. 如图，已知 $A ， B$ 分别是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右顶点和上顶点，椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2} ， △ A B O$ 的面积为1.若过点 $P (a ， b)$ 的直线与椭圆 $E$ 相交于 $M ， N$ 两点，过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线分别与直线 $A B ， N B$ 交于点 $C ， D$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程.

(2)、证明： $M ， C ， D$ 三点的横坐标成等差数列.

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19. 若存在常数 $t$ ，使得数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{n} = t (n ⩾ 1 ， n \in N)$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“ $H (t)$ 数列”.

(1)、判断数列： $1 ， 2 ， 3 ， 8 ， 49$ 是否为“ $H (1)$ 数列”，并说明理由；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是首项为2的“ $H (t)$ 数列”，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，且 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 满足 $\sum_{i}^{n} a_{i}^{2} = a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{n} + l o g_{2} b_{n}$ ，求 $t$ 的值和数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若数列 ${a_{n}}$ 是“ $H (t)$ 数列”， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} > 1 ， t > 0$ ，试比较 $l n a_{n}$ 与 $a_{n} - 1$ 的大小，并证明 $t > S_{n + 1} - S_{n} - e^{S_{n} - n}$ .

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