云南省下关重点中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-03-21 类型：开学考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．

1. 已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于（）

A、(0，1) B、(0，2] C、(1，2) D、(1，2]

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2. 命题：“∀x∈(－1，1)，都有x²<1”的否定是（）

A、∀x∈(－1，1)，都有x²≥1 B、∀x∉(－1，1)，都有x²≥1 C、∃x∈(－1，1)，使得x²≥1 D、∃x∉(－1，1)，使得x²≥1

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3. 函数f(x)＝ $\sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 1}$ 的定义域为（）

A、{x|x≥－3且x≠－1} B、{x|x>－3且x≠－1} C、{x|x≥－1} D、{x|x≥－3}

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4. $a = \log_{1.1} 0.9$ ， $b = {1.1}^{1.3}$ ， $c = \sin 1$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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5. 函数 $f (x) = x^{3} + \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数f(x)＝sin 2x＋ $\sqrt{3}$ cos 2x的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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7. 函数f(x)＝log₃x＋x³－9的零点所在区间是（）

A、(0，1) B、(1，2) C、(2，3) D、(3，4)

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8. 设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 依次表示函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - x + 1$ ， $g (x) = l o g_{\frac{1}{2}} x - x + 1$ ， $h (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - x + 1$ 的零点，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）．

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 下列结论正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a < b$ ，则 $a^{2} < b^{2}$

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10. 下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $2 s i n 1 5^{0} c o s 1 5^{0}$ B、 $2 c o s^{2} \frac{π}{12} - 1$ C、 $\sqrt{\frac{1 + c o s 3 0^{0}}{2}}$ D、 $\frac{t a n 22 . 5^{0}}{1 - t a n^{2} 22 . 5^{0}}$

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11. 将函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 具有以下哪些性质（）

A、最大值为 $\sqrt{3}$ ，图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、图象关于y轴对称 C、最小正周期为 $π$ D、图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 成中心对称

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x | ， x \leq 1 \\ | l o g_{\frac{1}{2}} (x - 1) | ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{4}{x_{4} + 1} + (x_{1} + x_{2} + 2) x_{3}$ 的值可以是（）

A、4 B、5 C、 $\frac{16}{3}$ D、6

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. log₂4＋log₄2＝.

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14. 设 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 4$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为．

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15. 已知 $t a n α = - \frac{1}{2} ， α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $s i n α - 2 c o s α =$ .

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16. 设函数 $f (x) = \frac{x^{3} + {(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的最大值为M，最小值为N，则 ${(M + N - 1)}^{2023}$ 的值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知集合 $A = {x | - 2 < x \leq 1}$ ，集合 $B = {x | 2 a - 1 \leq x \leq a + 1}$ .

(1)、若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.
（2【答案】

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、当 $x \in [- \frac{7 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $\frac{\cos A - 2 \cos C}{\cos B} = \frac{2 c - a}{b}$

(1)、求 $\frac{\sin C}{\sin A}$ 的值

(2)、若 $\cos B = \frac{1}{4} ， b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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20. 某手机生产商计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产 $x$ （千部）手机，需另投人成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x ， 0 < x < 25 \\ 510 x + \frac{9000}{x} - 4250 ， x \geq 25 \end{array}$ ，由市场调研知，每部手机售价0.5万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)、求出2023年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千部）的函数关系式；（利润 $=$ 销售额 $-$ 成本）

(2)、2023年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ， $g (x) = (a + 4) x - 3$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $\exists x \in [- 1 ， 0]$ ，使得方程 $f (x) - 2^{m} = 0$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若对任意的 $x_{1} \in [- 1 ， 5]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 5]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $h (x) = | f (x) + g (x) |$ ，记 $M (a)$ 为函数 $h (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最大值，求 $M (a)$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，其图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称.

(1)、令 $g (x) = f (x + \frac{π}{3})$ ，判断函数 $g (x)$ 的奇偶性；

(2)、是否存在实数 $m$ 满足对任意 $x_{1} \in [- 1 ， 1]$ ，任意 $x_{2} \in R$ ，使 $4^{x_{1}} + 4^{- x_{1}} + m (2^{x_{1}} - 2^{- x_{1}}) + 5 \geq f (x_{2})$ 成立.若存在，求 $m$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

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云南省下关重点中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．