云南省保山市腾冲市第八中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷

试卷更新日期：2024-03-21 类型：开学考试

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一、选择题

1. 函数 $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ 的图象是（）

A、一条射线 B、一个圆 C、两条射线 D、半圆弧

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2. 已知 $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + 2$ ，且 $f^{'} (- 1) = 4$ ，则实数a的值为（）

A、 $\frac{19}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{13}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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3. 已知函数 $f (x) = s i n x$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (\frac{π}{3} + Δ x) - f (\frac{π}{3})}{Δ x} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = 9$ 若数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} =$ （）

A、 $\frac{n}{2 n + 1}$ B、 $\frac{2 n}{2 n + 1}$ C、 $\frac{1}{n^{2}}$ D、 $\frac{2 n - 1}{2 n + 1}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 都是等差数列，记 $S_{n}$ ， $T_{n}$ 分别为 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前n项和，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{7 n - 1}{3 n}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ （）

A、 $\frac{34}{15}$ B、 $\frac{23}{10}$ C、 $\frac{31}{7}$ D、 $\frac{62}{27}$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{(x + 1)^{2} + s i n x}{x^{2} + 1}$ ，其导函数记为 $f^{^{'}} (x)$ ，则 $f^{'} (2024) - f^{'} (- 2024) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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7. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点P在C上， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{^{'}} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列数值排序正确的是（）

A、 $0 < f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $0 < f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ C、 $0 < f^{'} (3) < f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $0 < f (3) - f (2) < f^{'} (3) < f^{'} (2)$

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二、多项选择题

9. 下列关于空间向量的命题中，不正确的是（）

A、长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B、平行且模相等的两个向量是相等向量 C、若 $\vec{a} \neq \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | \neq | \vec{b} |$ D、两个向量相等，则它们的起点与终点相同

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10. 下列说法中错误的是（）

A、已知 $F_{1} (- 4 ， 0)$ ， $F_{2} (4 ， 0)$ ，平面内到 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B、已知 $F_{1} (- 4 ， 0)$ ， $F_{2} (4 ， 0)$ ，平面内到 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C、平面内到点 $F_{1} (- 4 ， 0)$ ， $F_{2} (4 ， 0)$ 两点的距离之和等于点 $M (5 ， 3)$ 到 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的距离之和的点的轨迹是椭圆 D、平面内到点 $F_{1} (- 4 ， 0)$ ， $F_{2} (4 ， 0)$ 距离相等的点的轨迹是椭圆

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11. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前n项和， $a_{1} = 15$ ， $S_{5} = S_{11}$ ，则以下正确的是（）

A、 $d = - 1$ B、 $| a_{4} | = | a_{13} |$ C、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{8}$ D、使得 $S_{n} > 0$ 的最大整数 $n = 15$

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12. 过点 $(2 ， 0)$ 作曲线 $f (x) = x^{3}$ 的切线l，则直线l的方程可能为（）

A、 $y = 0$ B、 $x = 0$ C、 $12 x - y - 24 = 0$ D、 $27 x - y - 54 = 0$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个空间向量，若 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7}$ ，则 $c o s 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 =$ .

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14. 若 $A (0 ， 2 ， \frac{19}{8})$ ， $B (1 ， - 1 ， \frac{5}{8})$ ， $C (- 2 ， 1 ， \frac{5}{8})$ 是平面内的三点，设平面的法向量 $\vec{a} = (x ， y ， z)$ ，则 $x ： y ： z =$ ．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线 $y^{2} = 6 x$ 的焦点，A，B是抛物线上两个不同的点，若 $| A F | + | B F | = 5$ ，则线段AB的中点到y轴的距离为.

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16. 等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 $\frac{85}{32}$ ，偶数项之和为 $\frac{21}{16}$ ，则这个等比数列的公比 $q =$ .

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四、解答题

17. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A B_{1} ⊥ B C_{1}$ ，点O， $O_{1}$ 分别是边 $A C$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)、求正三棱柱的侧棱长；

(2)、求向量 $\vec{A B_{1}}$ 与 $\vec{B C}$ 所成角的余弦值.

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18. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当x＜0时， $f (x) = l n (- x) + 3 x$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， - 3)$ 处的切线方程.

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19. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 12$ ，且 $2 a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b n = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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20. 如图，在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $A B = 2 D E$ ， G，H分别为AC，BC的中点.

(1)、求证： $B D / /$ 平面FGH；

(2)、若CF⊥平面ABC， $A B ⊥ B C$ ， $C F = D E$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.

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21. 在①对任意 $n > 1$ 满足 $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 (S_{n} + 1)$ ；② $S_{n + 1} - 2 = S_{n} + a_{n}$ ；③ $S_{n} = n a_{n + 1} - n (n + 1)$ .这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， a_{2} = 4 ，$ _▲_，若数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；若数列 ${a_{n}}$ 不是等差数列，说明理由.

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22. 设函数 $f (x) = a x - \frac{b}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $7 x - 4 y - 12 = 0$ .

(1)、求 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 上任一点处的切线与直线 $x = 0$ 和直线 $y = x$ 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

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