贵州省黔西南布依族苗族自治州2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-21 类型：期末考试

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一、选择题．（每题3分，共36分）

1. 中国茶文化源远流长，普安红茶作为黔西南州普安县特产，已成为中国国家地理标志产品，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是 $0.000000007$ 米．数据 $0.000000007$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.7 \times 1 0^{- 8}$ B、 $7 \times 1 0^{- 7}$ C、 $7 \times 1 0^{- 8}$ D、 $7 \times 1 0^{- 9}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $2 + 4 a = 6 a$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 $(- 2 a)^{2} = - 4 a^{2}$ D、 $a^{3} \div a^{2} = a$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 7$ ，则边 $A C$ 的长可能是（）

A、1 B、3 C、4 D、7

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5. 如图，点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一直线上，若 $△ A B C$ $≌ △ C D E$ ， $D E = 4$ ， $B D = 13$ ，则 $A B$ 等于（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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6. 对于分式 $\frac{- x + 2}{3 - x}$ ，下列变形正确的是（）

A、 $- \frac{x + 2}{3 - x}$ B、 $\frac{x - 2}{x - 3}$ C、 $\frac{x + 2}{- 3 - x}$ D、 $\frac{x + 2}{x - 3}$

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7. 将一副含 $30 °$ ， $45 °$ 的三角板按图中的方式放置，则 $∠ α + ∠ β =$ （）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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8. 若 $4 y^{2} + m y + 9$ 是完全平方式，则 $m$ 的值是（）

A、 $- 12$ B、12 C、 $- 12$ 或11 D、 $- 12$ 或12

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9. 一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（）

A、①③ B、②④ C、①④ D、②③

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10. “退耕还林还草”是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积共69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比为 $4 ： 3$ ，设退耕还林的面积为x公顷，下列所列方程哪一个是不正确的？（）

A、 $\frac{x}{69000 - x} = \frac{4}{3}$ B、 $69000 - x = \frac{4}{3} x$ C、 $\frac{69000 - x}{x} = \frac{3}{4}$ D、 $\frac{69000}{x} = \frac{4 + 3}{4}$

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11. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形．其作法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 是高， $B E$ 是中线， $C F$ 是角平分线， $C F$ 交 $A D$ 于点G ，交 $B E$ 于点H ，给出以下结论：① $B F = A F$ ；② $∠ A F G = ∠ A G F$ ；③ $∠ F A G = 2 ∠ A C F$ ；④ $S_{△ A B E} = S_{△ B C E}$ ；⑤ $B H = C H$ ．其中结论正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题．（每题4分，共16分）

13. 若代数式 $\frac{1}{1 - x}$ 有意义，则实数x的取值范围是.

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14. 快过年了，小明和妈妈去商场，发现如图是商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯 $A B$ 的长为 $18 m$ ，倾斜角为 $30 °$ ，则自动扶梯的垂直高度 $B C$ 等于 $m$ ．

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15. 一个多边形的内角和是外角和的一半，这个多边形的边数为．

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16. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $B D = \sqrt{5}$ ， E是边 $A D$ 一个动点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 对折成 $△ B E F$ ，则线段 $D F$ 长的最小值为．

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三、解答题．（共计98分）

17.

(1)、计算： $- 4 x^{2} (3 x + 1)$

(2)、解方程： $\frac{x}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} + 1$

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18. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 1} + 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x = 2$ ．

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19. 数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形 $A B C D$ ，其中 $A B = C D = 4$ 米， $A D = B C = 6$ 米， $∠ B = 30 °$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ C D A$ ；

(2)、求四边形草坪造型的面积．

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20. 先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1$ ．
解：将“ $x + y$ ”看成整体，令 $x + y = m$ ，
则原式 $= m^{2} + 2 m + 1 = {(m + 1)}^{2}$ ．
再将 $x + y = m$ 代入，得原式 $= {(x + y + 1)}^{2}$ ．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)、因式分解： $1 - 2 (x - y) + {(x - y)}^{2} =$ ；

(2)、因式分解： $9 {(x - 2)}^{2} - 6 (x - 2) + 1$ ．

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为 $(3 ， 4)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、在x轴上有一点P ，使得 $P B + P C$ 的和最小，画出点P的位置．（用实线保留画图的痕迹）

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22. 图1是一个长为 $2 x$ 、宽为 $2 y$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．

(1)、对于图2整体大正方形的面积，可以用两种方法表示：
方法一：按照正方形面积公式表示为；
方法二：按照四个小长方形面积+阴影正方形面积表示为，则根据面积相等，可得等式；

(2)、若 $x + y = 4$ ， $x y = 3$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ ．

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23. 中华人民共和国五星红旗上大五角星代表中国共产党，四颗小五角星代表工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级四个阶级．五颗五角星互相连缀、疏密相间，象征中国人民大团结．每颗小星各有一个尖角正对大星中心点，表示人民对党的向心之意，如图①：根据图形填空：

(1)、 $∠ 1 = ∠ C +$ ， $∠ 2 = ∠ B +$ ；

(2)、 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E =$ $+ ∠ 1 + ∠ 2 =$ ；

(3)、【应用】
如图②．求 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E$ 的度数．

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24. 题目：为了美化环境，某地政府计划对辖区内 $60 k m^{2}$ 的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．
甲同学所列的方程为 $\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5 x} = 2$
乙同学所列的方程为 $\frac{60}{y} = 1.5 \times \frac{60}{y + 2}$ ．

(1)、甲同学所列方程中的x表示．乙同学所列方程中的y表示．

(2)、请用甲同学的方法解答这个题目．

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25. 已知，如图①， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 6$ ， $D$ 是线段 $B C$ 上的动点．

(1)、问题解决：在图①中，若 $A D ⊥ B C$ ，根据给出的已知条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；

(2)、问题探究：如图②，在（1）的条件下，以线段 $A D$ 为边在右侧作等边 $△ A D E$ ，连接 $C E$ ，猜想 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系并证明；

(3)、拓展延伸：如图③，以线段 $A D$ 为边在右侧作等边 $△ A D E$ ，在点 $D$ 从点 $B$ 向点 $C$ 的运动过程中，猜想点 $E$ 的运动路径是什么？当 $A E$ 的值最小时， $E$ 点运动路径的长度？（直接写出结果）

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