贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-21 类型：期末考试

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一、选择题：（每题3分，12个小题共36分）

1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 的一次项系数是（）

A、2 B、 $- 4$ C、5 D、4

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3. 下列事件中，是随机事件的是（）

A、在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6； B、在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球； C、明天太阳从东方升起； D、画一个三角形，其内角和是 $180 °$ ．

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4. 在平面直角坐标系中有E ， F ， G ， H四个点，其中恰有三点在二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中在函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象上的三个点是（）

A、E ， F ， G B、E ， F ， H C、E ， G ， H D、F ， G ， H

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5. 抛物线 $y = - x^{2} + 4 x - 4$ 与x轴的公共点个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中，点A ， B ， D在 $⊙ O$ 上，且 $O D ⊥ A B$ 于点C ，若 $O D = 13$ ， $A B = 24$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、5 B、6 C、8 D、12

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7. 如图， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径，点B ， C在 $⊙ O$ 上，若 $∠ B C D = 45 °$ ， $A B = 10$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $10 \sqrt{2}$ B、20 C、 $20 \sqrt{2}$ D、 $20 \sqrt{3}$

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8. 小星利用表格中的数据，估算一元二次方程 $2 x^{2} - x - 2 = 0$ 的根．
x
…
0
1.1
1.2
1.3
1.4
…
$2 x^{2} - x - 2$
…
$- 2$
$- 0.68$
$- 0.32$
0.08
0.52
…
由此可以确定，方程 $2 x^{2} - x - 2 = 0$ 的一个根的大致范围是（）

A、 $0 < x < 1.1$ B、 $1.1 < x < 1.2$ C、 $1.2 < x < 1.3$ D、 $1.3 < x < 1.4$

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9. 如图，在长为10的线段 $A B$ 上，作如下操作：经过点B作 $B C ⊥ A B$ ，使得 $B C = \frac{1}{2} A B$ ；连接 $A C$ ，在 $C A$ 上截取 $C E = C B$ ；在 $A B$ 上截取 $A D = A E$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $5 \sqrt{5} - 5$ B、 $10 \sqrt{5} - 5$ C、 $10 \sqrt{5} - 10$ D、 $5 \sqrt{5} + 5$

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10. 如图，某校为生物兴趣小组规划一块长15m，宽12m的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽度的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为 $154 m^{2}$ ．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为 $x m$ ，根据题意所列的方程是（）

A、 $(15 - x) (12 - x) = 154$ B、 $(15 - x) (12 - x) - x^{2} = 154$ C、 $(15 - x) (12 - x) = 77$ D、 $15 \times 12 - (15 - x) (12 - x) = 154$

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11. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $100 °$ ，得到 $△ A D E$ ，点C的对应点为点E ，若点E恰好在 $C B$ 的延长线上，则 $∠ B E D$ 等于（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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12. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x$ 的对称轴为 $x = 1$ ，当 $m \leq x \leq n$ 时，y的取值范围是 $2 m \leq y \leq 2 n$ ．则 $m + n$ 的值为（）

A、 $- 6$ 或 $- 2$ B、 $\frac{1}{4}$ 或 $- \frac{7}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- 2$

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二、填空题：（每个小题4，共16分）

13. 一天中，钟表的时针从上午6时转到上午9时，旋转的角度为度．

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14. 在一个不透明的袋中装有大小和质地都相同的3个红球和n个白球，某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了摸到红球出现的频率，并绘制了该频率的折线统计图如图所示，则白球可能有个．

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15. 如图，将一块 $30 °$ 角的直角三角板 $A C B$ 绕点B顺时针旋转到 $△ A^{'} C^{'} B$ 的位置，点A的对应点为点 $A^{'}$ ，且点C、B、 $A^{'}$ 三点在一条直线上，连接 $C C^{'}$ ，若 $B C = 1$ ，则 $C C^{'}$ 的长为．

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16. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $B C = 4$ ，点P是 $R t △ A C B$ 内一动点，且 $A P = 2$ ，点Q是 $B P$ 的中点，则 $C Q$ 的最小值为．

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三、解答题：（9个小题，共98分）

17. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 3 x = 0$

(2)、 $x^{2} - 5 x - 6 = 0$

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18. 如图，用一条长20m的绳子围成矩形 $A B C D$ ，设边 $A B$ 的长为 $x m$ ．

(1)、直接写出 $A D$ 的长；（用含x的代数式表示）

(2)、矩形 $A B C D$ 的面积是否可以是 $60 m^{2}$ ？请给出你的结论，并用所学知识说明理由．

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19. 如图，点E是正方形 $A B C D$ 内一点，将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转至 $△ A B F$ ，点E的对应点为点F ．

(1)、若 $∠ A D E = 35 °$ ， $∠ D A E = 50 °$ ，求 $∠ A F B$ 的度数．

(2)、连接 $E F$ ，若 $A E = 2$ ，求线段 $E F$ 的长．

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20. 一个不透明的袋子中装有4个小球，这4个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．

(1)、从袋中随机摸出一个小球，则摸出标有数字1的小球的概率为：；

(2)、先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，以点 $M (0 ， \sqrt{3})$ 为圆心， $2 \sqrt{3}$ 为半径作 $⊙ M$ 交x轴于A ， B两点，交y轴于C ， D两点，连接 $A M$ 并延长交 $⊙ M$ 于点P ，连接 $P C$ 交x轴于点E ．

(1)、求证： $△ A M C$ 是等边三角形：

(2)、求点P的坐标．

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22. 某水果店出售一种水果，该水果的进价为8元/千克，经过往年销售经验可知：以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但售价不低于进价．设该水果的销售单价为x元/千克（ $x \geq 8$ ），每天售出水果的总重量为y千克．

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、设水果店每天的销售利润为w元，试求出w与 $x (x \geq 8)$ 的函数关系式，并求出当x为何值时，利润W最大，最大利润是多少？

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23. 如图，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， C O$ 的延长线交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 的切线 $A F$ 于点 $F$ ，且 $A F ∥ B C$ ．

(1)、求证： $A O ∥ B E$ ；

(2)、求证： $A O$ 平分 $∠ B A C$ ．

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ．

(1)、求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示）

(2)、若点 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (4 ， y_{2})$ 在抛物线上，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小；

(3)、若 $- 1 \leq x \leq 1$ ，与其对应的函数的最大值为 $6 b$ ，求b的值．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点D在 $B C$ 边所在直线上，将线段 $A D$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、【动手操作】
如图①，若点D是 $B C$ 边的中点，在图①画出线段 $A E$ 和 $D E$ ，并证明 $∠ E A C = ∠ A D C$ ；

(2)、【问题探究】
如图②，当点D在线段 $B C$ 上时，过点C作 $A B$ 的平行线，交 $D E$ 于点F ，试探究线段 $E F$ 与 $D F$ 的数量关系，请写出探究过程；

(3)、【拓展延伸】
如图③，当点D在线段 $B C$ 的延长线上时，过点E作 $E G ⊥ B C$ 于点G ，探究 $A B$ ， $E G$ ， $C D$ 之间的数量关系，并说明理由．

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x	…	0	1.1	1.2	1.3	1.4	…
$2 x^{2} - x - 2$	…	$- 2$	$- 0.68$	$- 0.32$	0.08	0.52	…