四川省乐山市2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-03-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. $- 8$ 的立方根是（）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $- 2$ D、 $\pm 2$

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2. 下列运算正确的是（）．

A、 $a + b = a b$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 $a^{2} + 2 a b - b^{2} = {(a - b)}^{2}$ D、 $3 a - 2 a = 1$

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3. 如图是三种蔬菜的产量情况统计图，已知黄瓜的产量是700千克，则西红柿的产量是（）

A、2000千克 B、900千克 C、450千克 D、400千克

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4. 已知 $a^{2} = 16 ， b^{3} = - 27$ ，且 $| a - b | = a - b$ ，则 $a + b$ 的值为（　　　）

A、 $- 1$ B、 $- 7$ C、1 D、1或 $- 7$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = ∠ A C B$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $P$ ，若 $A B = 5 c m$ ， $B C = 3 c m$ ，则 $△ P B C$ 的周长等于（）

A、4cm B、6cm C、8cm D、10cm

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6. 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　）

A、三个角的比为 $1 ： 2 ： 3$ B、三条边满足关系 $a^{2} = b^{2} - c^{2}$ C、三条边的比为 $1 ： 2 ： 3$ D、三个角满足关系 $∠ B + ∠ C = ∠ A$

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7. 如果 $x^{m + n} = 4 ， x^{n} = \frac{1}{2}$ ，那么 $x^{2 m}$ 的值是（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $64$ D、 $16$

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8. 如图， $A C$ 与 $D B$ 相交于 $E$ ，且 $A E = D E$ ，如果添加一个条件还不能判定 $△ A B E ≌ △ D C E$ ，则添加的这个条件是（）

A、 $A C = D B$ B、 $∠ A = ∠ D$ C、 $∠ B = ∠ C$ D、 $A B = D C$

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9. 设一个正方形的边长为 $a c m$ ，若其边长增加了 $4 c m$ ，则新正方形的面积增加了：（）

A、 $(8 a + 16) c m^{2}$ B、 $8 a c m^{2}$ C、 $16 c m^{2}$ D、 $4 a c m^{2}$

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10. 如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、28° B、36° C、45° D、72°

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11. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2，则图2中阴影部分面积等于（）

A、直角三角形的面积 B、最小正方形的面积 C、较小两个正方形重叠部分的面积 D、最大正方形与直角三角形的面积和

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ，点 $B$ 关于 $A C$ 的对称点 $B^{'}$ 恰好落在 $C D$ 上，若 $∠ B A D = α$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $α - 45 °$ C、 $\frac{1}{2} α$ D、 $90 ° - \frac{1}{2} α$

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二、填空题

13. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是．

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14. 已知： $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ ，则代数式 $2 x^{2} + 6 x + 4$ 的值是

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15. 一次数学测试后，某班 $m$ 名学生的成绩被分为5组，第 $1 ~ 4$ 组的频数分别是10、11、7、12，第5组的频率为 $0.2$ ，则 $m$ 的值为

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = 6$ ，以 $A B$ 、 $A C$ 为边作正方形，这两个正方形的面积和为．

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17. 如图， $A E ⊥ A B$ 且 $A E = A B ， B C ⊥ C D$ 且 $B C = C D$ ，请按图中标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 $S =$ ．

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18. 18世纪欧拉引进了求和符号“ $\sum_{k = i}^{n} k$ ”（其中 $i \leq n$ ，且 $i$ 和 $n$ 表示正整数），对这个符号我们进行如下定义： $\sum_{k = i}^{n} k$ 表示 $k$ 从 $i$ 开始取数一直取到 $n$ ，全部加起来，即 $\sum_{k = i}^{n} k = i + (i + 1) + (i + 2) + (i + 3) + \cdot \cdot \cdot + n$ ．例如：当 $i = 1$ 时， $\sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdot \cdot \cdot + n$ ．若 $\sum_{k = 2}^{n} (x - k) (x - k + 1) = 3 x^{2} + p x + m$ ，则 $n =$ ， $p =$ ， $m =$ ．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 ${(- \frac{1}{2})}^{2} + \sqrt[3]{8} - | 1 - \sqrt{9} |$ ；

(2)、 $3 a^{2} \cdot a^{4} + {(- a^{2})}^{3} + {(2 a^{3})}^{2}$

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20. 因式分解：

(1)、 $x^{2} - 9$ ；

(2)、 ${(m^{2} - 5)}^{2} + 2 (m^{2} - 5) + 1$

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21. 先化简，再求值： $[{(x + 2 y)}^{2} - y (x + 3 y) + (x - y) (x + y)] \div (2 x)$ ，其中 $x = - 3$ ， $y = 2$ ．

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22. 若 $x$ ， $y$ 都是实数，且 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + 3$ ，求 $11 x + 9 y$ 的平方根．

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23. 甲、乙两个长方形，其边长如图所示（ $m > 0$ ），其面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．

(1)、用含m的代数式表示： $S_{1} =$ ， $S_{2} =$ ；（结果化为最简形式）

(2)、用“＜”、“＞”或“=”填空： $S_{1}$ $S_{2}$ ；

(3)、若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为 $S_{3}$ ，试探究： $S_{3}$ 与 $2 (S_{1} + S_{2})$ 的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．

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24. 如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.

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25. 我市某化工厂从2008年开始节能减排，控制二氧化硫的排放 $.$ 图 $③$ ，图 $④$ 分别是该厂 $2008 - 2011$ 年二氧化硫排放量 $($ 单位：吨 $)$ 的两幅不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．

(1)、该厂 $2008 - 2011$ 年二氧化硫排放总量是吨；这四年平均每年二氧化硫排放量是吨 $.$

(2)、把图中折线图补充完整．

(3)、2008年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是度，2011年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是．

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26. 如图， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D ⊥ C E$ ， $B E ⊥ C E$ ，垂足分别为 $D$ ， $E$ ．

(1)、证明： $△ B C E ≌ △ C A D$ ；

(2)、若 $A C = 13 c m$ ， $B E = 5 c m$ ，求 $D E$ 的长．

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27. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，基于此，请解答下列问题：

(1)、【直接应用】若 $x + y = 3$ ， $x^{2} + y^{2} = 5$ ，求 $x y$ 的值；

(2)、【类比应用】
①若 $(x - 3) (x - 4) = 1$ ，则 ${(x - 3)}^{2} + {(x - 4)}^{2} =$ ；
②若 $x$ 满足 ${(2023 - x)}^{2} + {(2020 - x)}^{2} = 2023$ ，求 $(2023 - x) (2020 - x)$ 的值．

(3)、【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（ $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ）如图2所示放置，其中A ， $O$ ， $D$ 在一直线上，连接 $A C$ ， $B D$ ．若 $A D = 16$ ， $S_{△ A O C} + S_{△ B O D} = 68$ ，求一块直角三角板的面积．

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28.

(1)、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①， $△ A B C$ 中，若 $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．小明经过组内合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．请根据小明的方法思考：
①由已知和作图能得到 $△ A D C ≌ △ E D B$ ，依据是     ▲     ．
A． $S A S$     B． $S S S$     C． $A A S$     D． $H L$
②由“三角形的三边关系”可求得 $A D$ 的取值范围是     ▲  ．

(2)、【初步运用】
如图②， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B E$ 交 $A C$ 于 $E$ ，交 $A D$ 于 $F$ ，且 $A E = E F$ ，若 $E F = 4$ ， $E C = 3$ ，求线段 $B F$ 的长．

(3)、【灵活运用】
如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $D E ⊥ D F$ ， $D E$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $D F$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ．若 $B E = \sqrt{3}$ ， $C F = 2$ ，求 $E F$ 的长度．

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